FUNÇÃO QUADRÁTICA. Vamos fazer agora o estudo da função, tendo em conta a sua representação geométrica.

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1 FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição: Uma função quadrática é uma função f definida por f () a b c, a 0 a, b e c são números reais. - O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais. - O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 1. ESTUDO DA FUNÇÃO f() Construa-se o gráfico da função f : y y Vamos fazer agora o estudo da função, tendo em conta a sua representação geométrica. Domínio: (como aliás já tinha sido dito na definição); Contradomínio: 0 ; Zeros: 0; Sinal da função: f é não negativa em todo o seu domínio, ou seja, em ; Monotonia: f é decrescente no intervalo,0 f é crescente no intervalo 0 ; Injectividade: A função é não injectiva, pois eistem objectos diferentes que têm a mesma imagem, Eio de simetria: O eio de simetria é OY (uma vez que é par); Vértice da parábola: (0,0); Skype: 1

2 Concavidade: Voltada para cima. 1º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO a,a 0 (a) Consideremos as seguintes funções em que a>0: f () g() 0,5 h()= Vamos representar graficamente estas três funções: Conclusões: Verificamos que nestas três funções o que varia é a abertura da parábola, mantendo-se todas as outras características. Então podemos concluir que quanto maior é o valor de a, mais fechada é parábola. (b) Consideremos agora as funções em que a<0: a() b() 0,5 c() Voltemos novamente a representá-las geometricamente: Conclusões: Verificamos que o que varia nestas três funções é novamente a abertura da parábola. Neste caso, quanto menor é o valor de a, mais fechada é a parábola. Em relação às funções consideradas em (a) já vão variar outras características. Skype:

3 Principais características da função do tipo y a,a 0 : a<0 a>0 À medida que a diminui, a abertura também diminui À medida que a aumenta, a abertura diminui Concavidade Voltada para baio Voltada para cima Domínio 0 0, = Contradomínio, 0 Monotonia Crescente,0 Decrescente 0 0 Crescente 0 Decrescente,0 Zeros 0 0 Vértice (0,0) (0,0) Eio de simetria Eio OY de equação 0 Eio OY de equação 0 Sinal Não positiva em Não negativa em º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO a k, a 0 Consideremos as funções: f () g() h() Geometricamente temos: Skype: 3

4 Conclusões: A abertura das parábolas é a mesma, assim como a concavidade (a é o mesmo); Houve uma translação vertical nas funções h e g em relação a f; Os vértices vão passar a ser: - em h (0,) - em g (0,-) Os eios de simetria são os mesmos, ou seja, a recta 0 ;, O contradomínio também vai sofrer alterações: - D g - Zeros: Neste caso poderemos ter 0, 1 ou zeros: Sintetizando: a 0 k 0 a 0 k 0 a 0 k 0 a 0 k 0 D h Concavi- Voltada para cima Voltada para cima Voltada para baio Voltada para baio dade Domínio Contradomínio k k,k,k Monotonia Decrescente:,0 Decrescente:,0 Decrescente: 0 Decrescente: 0 Crescente: 0 Crescente: 0 Crescente:,0 Crescente:,0 Zeros Não tem 1 e 1e Não tem Vértice (0,k) (0,k) (0,k) (0,k) Eio de Eio OY de equação Eio OY de Eio OY de Eio OY de simetria 0 Equação 0 equação 0 Equação 0 Positiva: Positiva: 1, Sinal Positiva em, 1, Negativa: Negativa em Negativa:,, 1, 1 3º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO a( h) A partir do gráfico da função f (), constrói os gráficos das seguintes funções: g() ( 1) h() ( 3) Skype: 4

5 Conclusões: Obtivemos os gráficos das funções g e h através de uma translação horizontal, segundo o vector (h,0). Vamos ter alterações nos zeros, nas coordenadas do vértice, o eio de simetria e na monotonia. Sintetizando: a>0 a<0 Concavidade Voltada para cima Voltada para baio Domínio Contradomínio 0 0 Monotonia Decrescente:,h Decrescente: h Crescente: h Crescente:,h Zeros h h Vértice (h,0) (h, 0) Eio de simetria Recta de equação h Recta de equação h Sinal Não negativa em Não positiva em Acompanhe com atenção estes eemplos: Eercício: Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico de cada uma das funções: (a), 5 (b) 3 4 (c) ( 3) Resolução: (a) v = (0;,5) (b) v = (0;-4) Skype: 5

6 (c) v = (3,0) 4º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO a( h) k Consideremos a função f () ( 1) 3. Que transformações devem ser feitas ao gráfico da função gráfico da função f? g() para obter o 1º) Passar de y para y : º) Passar de y para y ( 1) : Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação (-1,0). 3º) Passar de y ( 1) para y ( 1) 3 : Skype: 6

7 Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (0,-3). Conclusões: Obtemos o gráfico de f através de uma translação do gráfico da função Sintetizando: a>0 a<0 Concavidade Voltada para cima Voltada para baio Domínio k,,k Monotonia Crescente em h Crescente em,h Decrescente em Decrescente em,h h Vértice ( h,k) ( h,k) Contradomínio Eio de simetria Recta de equação h Recta de equação h y. Acompanhe com atenção este eemplo: Eercício: Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico da seguinte função: 5( 3) Resolução: v = (-3,0) Skype: 7