Funções. 1. Interpretação de Gráficos. O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos.

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Brenda Gusmão Fidalgo
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1 1. Interpretação de Gráficos O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos Distância ( Km) Tempo (horas)

2 1. Interpretação de Gráficos A que distância de casa estava a Joana quando efectuou a primeira paragem? A Joana estava a 10km de casa. Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa? A distância máxima que a separou de casa foi 15km. Quanto tempo demorou a viagem? A viagem demorou 3h30m. Quanto tempo esteve parada a Joana? A Joana esteve parada 1h30m.

3 1. Noção de Função Considera os seguintes conjuntos A e B Objectos D 1 3 A 4 2 Definição de Função: f Uma função f é uma correspondência entre dois conjuntos A e B em que a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B. Diz-se que f é uma função ou aplicação de A para B. 7 B C Imagens

4 1. Noção de Função A esta correspondência chama-se. função Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou Domínio e representa-se por. D f = { 1, 2, 3, 4 } D f A todo o elemento de A chamamos. Objectos Ao conjunto B chamamos Conjunto de Chegada da função. Conjunto de chegada de f = { 5, 6, 7, 8, 9 } A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos. imagem Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A Ao conjunto C chamamos contradomínio da função e representa-se por D f D f = { 5, 6, 7 }

5 1. Noção de Função Funções Simboliza-se do seguinte modo: f: A B x y=f(x) x é variável independente e y a variável dependente Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por D f Ao conjunto B chamamos Conjunto de Chegada Ao conjunto das imagens chama-se Contradomínio da função e representa-se por D f A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y=f(x);

6 1. Interpretação de diagramas Exemplo 1: A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem. Exemplo 2: A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.

7 2. Representação gráfica de uma Função Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Temperatura º C Horas Indique: o domínio; 1 o contradomínio; 0;24] 2-3;6] as horas do dia em que se registou a temperatura 0ºC 3 os intervalos de tempo onde a temperatura: - é positiva; - é negativa; 4 os intervalos onde a temperatura: - aumenta; -aumenta e é positiva; - diminui; - diminui e é positiva; - é constante; 5

máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.

8 2. Representação gráfica de uma Função Como averiguar se se trata de uma função Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical. Não se trata de uma representação de uma função Trata-se de uma representação de uma função

9 Interpretação gráfica do domínio Domínio O domínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos xx

10 Contradomínio Funções Interpretação gráfica do Contradomínio O Contradomínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos yy

11 Zeros de uma função Funções 3. Noções gerais de uma função Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula. DDeterminação dos zeros de uma função: Graficamente Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas ( xx ) Analiticamente Determinar os valores de x para os quais f(x)=0 isto é, x: f (x)=0 zeros

12 Sinal de uma função Funções 3. Noções gerais de uma função Definição : Seja f uma função de domínio D, dizemos que : - f é positiva em I (I D) se e só se f(x) > 0, para todo o x I. - f é negativa em I (I D) se e só se f(x) < 0, para todo o x I. DDeterminação do sinal de uma função: Graficamente -A função é positiva para todos os valores de x cujas imagens estão acima do eixo das abcissas. -A função é negativa para todos os valores de x cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas. f(x) >0 f(x) < 0

13 Monotonia de uma função Funções Noções gerais de uma função f(b) f(a) f O a b A função f é crescente num intervalo E. g(b) g(a) A função g é decrescente num intervalo E. g O a b f(b) f(a) f a b A função f é estritamente crescente num intervalo E. g(b) g(a) a A função g é estritamente decrescente num intervalo E. Definição : Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em E D f se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a) f(b) / se a < b, então f(a)< f(b). Definição : Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em E D f se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a) g(b) / se a < b, então g(a)>g(b). Definição : Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona. Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente. g b

14 Noções gerais de uma função Monotonia de uma função Definição : Seja f uma função de domínio D. f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a) f(x) f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x) Definição : Seja f uma função de domínio D. f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a) f(x), qualquer que seja o x E D f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x), qualquer que seja o x E D Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos relativos da função chamam-se maximizantes / minimizantes

15 FDefinição : Uma função f é injectiva num intervalo E D f se para dois valores quaisquer de E, x 1 e x 2, se x 1 x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ). Funções Noções gerais de uma função Injectividade de uma função Definição : Uma função f é não injectiva num intervalo E D f se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem.

16 Noções gerais de uma função Injectividade de uma função Graficamente Vê-se que uma função é não injectiva se existir pelo menos uma recta horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto. f é função injectiva f é função não injectiva

17 Noções gerais de uma função Sobrejectividade de uma função FDefinição : Uma função g é sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada. g é sobrejectiva f é não sobrejectiva

18 Taxa de Variação Média Funções Noções gerais de uma função A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é: t.v.m. = [a, b] f(b) - f(a) b - a f(b) f(a) a f b-a b f(b)-f(a)

19 Noções gerais de uma função Observações se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo. se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo

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