NOVA School of Business & Economics CÁLCULO I 2ºSEM 2011/2012

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1 NOVA School of Business & Economics CÁLCULO I ºSEM /

2 Equipa Docente Responsável: Maria Helena Almeida.... Assistentes: Cláudia Alves.... Cláudia Andrade.... Ernesto Freitas.... Guilherme Pereira....

3 Material de Apoio 3 Livros de Teto: R. Adams e C. Esse, Calculus: A Complete Course, Pearson Canadá, Toronto J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, 9ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 998

4 Material de Apoio 4 Material Online: Cadernos de eercícios (aulas práticas) Slides (aulas teóricas) Eames passados (com resoluções) Site da cadeira: docentes.fe.unl.pt/~mhalmeida

5 Avaliação Mini-testes (%): Realizados nas aulas teóricas Média dos melhores (em 3) 5 Teste Intermédio (5%): Data a anunciar Sairá toda a matéria dada até à data

6 Avaliação 6 Eame Final (55%): Nota mínima 8 valores ª ou ª época Melhorias de nota: regime obrigatório de avaliação contínua

7 Programa 7 Capítulo -: Revisões de matemática elementar Aulas práticas Capítulo : Noções de Lógica e Teoria dos Conjuntos Capítulo : Estudo de funções reais de variável real e variável vectorial; limites e continuidade; derivadas Aulas teóricas

8 Capítulo : Primitivação, integração, cálculo de áreas Capítulo 3: Programa Sucessões e Séries Geométricas Capítulo 4: 8 Complementos sobre funções: topologia, limites por vizinhanças, função composta e inversa, fórmula de Talor e McLaurin, regra de Cauch, teoremas clássicos sobre funções diferenciáveis

9 SUMÁRIO Funções reais de variável real Funções reais de variável vectorial Domínio e contradomínio Curvas de nível Capítulo - Funções Pontos de intersecção com os eios Monotonia Gráficos de famílias de funções Limites Continuidade Definição e regras de derivação 9

10 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL f ( ) ( ) t + g ( t) h( s) ln( 5s) t 4 Estas funções são reais porque todos os valores que assumem são números reais. Dito de outro modo, o conjunto das imagens está contido em R,. CD R São funções de variável real pois o seu domínio é um subconjunto de números reais, ou seja,. D R

11 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL f ( ) ( ) t + g ( t) h( s) ln( 5s) t 4 É usual escrever-se: f : D R R

12 Representações gráficas de funções reais de variável real ( ) + 3 f ( ) +

13 3 f ( ) + 4

14 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL VECTORIAL z z f + ), ( 4 + log ), ( g ),, ( + ab c c b a h

15 5 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL VECTORIAL Estas funções são reais porque todos os valores que assumem são números reais, o conjunto das imagens está contido em R. São funções de variável vectorial pois o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço n- dimensional, com n>.

16 6 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL VECTORIAL É usual escrever-se: f : D R n R Estas funções serão alvo de uma abordagem mais profunda na cadeira de Cálculo.

17 7 Representações gráficas de funções reais de variável vectorial f + (, ) f : D R R

18 8 g (, ) g : D R R

19 9 Eemplos práticos de funções reais de variável vectorial pão f ( água, farinha) salário f ( média, seo, eperiênci a ) limonada f(água, limões, açúcar) produção f(máquinas, trabalhadores) Invente outras!

20 Numa FUNÇÃO há uma correspondência unívoca entre os elementos de dois conjuntos: Conjunto dos argumentos (ou objectos) designado por D f Conjunto das imagens designado por CD f

21 Correspondência unívoca implica que a cada argumento corresponde uma e uma só imagem 4 7 ln9-3 Trata-se de uma função, neste caso real de variável real!

22 4 3 8 Não se trata de uma função! Há argumentos com mais do que uma imagem!

23 3 (; 4) 5 (; 3) 9 (; 7) - Trata-se de uma função, neste caso real de variável vectorial!

24 4 Funções reais de variável real f () imagem argumento t f (s) imagem argumento

25 5 Funções reais de variável vectorial z f (, ) imagem argumentos imagem f (,, ) 3 argumentos

26 6 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL: Conjunto de valores de onde a epressão algébrica tem sentido. R f ( ) 4 { R : 4 } { R : 4} R \ { 4} D f

27 7 g( ) 9 D g { R : 9 } [ 3;3] h( ) 5 D h { } + R 5 \ { 5} R :

28 8 m( ) ln ( ln ) D m { R : > ln > ln(ln ) } { R : > > e} ] ; + [ \ { e}

29 9 Mais domínios k ln ) ( { } + > > R R R D k : :

30 3 j( ) + 6 D j { R :6 > } ] 4;4[ \ { }

31 3 p( ) ln ( ) + { > } D R : R p

32 3 r( ) log ( ) 5 D r { R : > } { }

33 ATENÇÃO: Serão as seguintes funções iguais? 33 f ( ) ln ln g( ) ln Cautela! É preciso ver caso a caso. Duas funções só são iguais se as epressões forem equivalentes e os domínios forem iguais

34 34 Serão as seguintes funções iguais? m ( ) ln ( ) 4 + ln ( ) n( ) ln +

35 35 Serão as seguintes funções iguais? s ( ) 3 t( ) 3

36 36 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL VECTORIAL: n Conjunto de elementos de R onde a epressão algébrica tem sentido. f (, ) 3 { } (, ) R : R \ {(; ) } D f

37 37 g (, ) + { } (, ) R : R D + g

38 38 h(, ) [ ] ( )( + ) D h {( ) }, R : + R \ {(; ),( ; ) }

39 39 m (, ) ln( + ) D m { } (, ) R : + > { } (, ) R : >

40 Vamos eplorar um pouco mais os domínios de funções reais de variável vectorial 4 EXEMPLO : f (, ) +

41 Calculemos analiticamente o seu domínio 4 f (, ) + D f { (, ) R : + } { (, ) R : } Graficamente confirma-se que há pontos no plano z que não irão pertencer ao domínio da função, não irão ter imagem segundo f. São os pares que pertencem à bissectriz dos quadrantes pares. (, )

42 Como representar graficamente o domínio da função? f (, ) + 4 D f { (, ) R } : Domínio de representado no espaço (3 dimensões) f

43 43 Domínio de f representado no plano XOY ( dimensões)

44 EXEMPLO : 44 g (, ) +

45 45 Calculemos analiticamente o seu domínio g + (, ) { } (, ) R : R D + g Graficamente confirma-se este resultado uma vez que não eiste qualquer par (, ) do plano XOY que não tenha associada uma imagem segundo. g

46 46 Domínio representado no espaço

47 47 Domínio representado no plano XOY

48 48 EXEMPLO 3: h(, ) 3 4

49 Calculemos analiticamente o seu domínio h(, ) D h R Graficamente confirma-se este resultado uma vez que não eiste qualquer par do plano XOY que não tenha associada uma imagem segundo h.

50 5 Domínio representado no espaço

51 5 Domínio representado no plano XOY

52 O que são Curvas de Nível? Qual a sua utilidade? - Por vezes não é simples representar graficamente uma função de variável vectorial. - Eistem métodos geométricos que ajudam a obter uma melhor informação sobre a função. 5 - Um dos métodos consiste na projecção no plano XOY das intersecções da função com planos da forma zk.

53 53 N { } D f k (, ) : (, ) k f - Tratam-se dos pontos do domínio para os quais a função toma um valor constante k. Confuso? Vamos a dois ou três eemplos

54 54 Função: Curvas de nível: g (, ) + g (, ) k + k + k Trata-se de uma família de circunferências de centro (,) e raio k. D g R

55 55 Curvas de nível: g (, ) k + k + k k k 4 3 k k 3 k 4 k 5

56 ), ( k k h Função: Curvas de nível: 3 4 ), ( h ), ( k k k k h + Trata-se de uma família de rectas horizontais. D h R

57 Curvas de nível: Capítulo - Funções 57 h (, ) k 4 k 4 k k,5 k k.5 k k,5 k k.5 k

58 58 Função: w(, ) + Curvas de nível: w(, ) k + k k ± k Trata-se de uma família de rectas verticais, aos pares. D h R

59 59 Curvas de nível: w(, ) k + k ± k k 8 k k 4 k 8 k k 4 k 4 k k 8

60 CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL : 6 Conjunto de valores de R onde a epressão algébrica tem sentido, ou seja, que são imagem de algum argumento. f ( ) 4 + f CD f R \ { }

61 6 g( ) + 5 CD g [ 5;+ [ g

62 6 h( ) 3 + CD h ] ; ] h

63 63 j( ) + π + CD j ] ; ] j

64 Mais alguns eemplos importantes 64 m ( ) 4 + sen( ) [ ;6] CD m p( ) 3 + e ] e [ CD p ; v( ) cos( ) [ ; ] CD v

65 Mais alguns Capítulo - Funções 65 k( ) ln(3 + 6) CD k R b( ) 8 CD b R + d ( ) 3 + CD d R

66 E finalmente Capítulo - Funções r ( ) CD R /{ } tg( ) r s ( ) c. sen( a + b) + ( c > ) t( ) a + c, a > 66 d [ c + d c d] CD s ; + b ] c;+ [ CD t

67 67 Eercício: Encontre o valor das constantes a, b, c de modo a garantir que o contradomínio da função f ( ) a.cos( b ) + c seja o intervalo,6; 5,. [ ] Também é possível calcular o contradomínio de uma função através do cálculo do domínio da função inversa, mas é preciso que esta eista, o que nem sempre acontece. A função pode não ser injectiva!

68 68 PONTOS DE INTERSECÇÃO COM OS EIXOS (funções reais de variável real) Eio XX - para descobrir os objectos cujas imagens são zero basta igualar a função a zero. f ( ) Teremos assim pontos do tipo (,). Eio YY - estaremos à procura do único ponto do tipo (, ). Para o encontrar, bastará calcular: f ()

69 69 PONTOS DE INTERSECÇÃO COM OS EIXOS (funções reais de variável vectorial) A intersecção com qualquer um dos eios obriga a anular as restantes duas coordenadas. Vamos ver um eemplo! h(, ) 3 4 Intersecção com o eio dos YY: z (,4,)

70 7 h(, ) 3 4 (,4,) Calcule ainda a intersecção da função h com os eios ZZ e XX e comprove graficamente os resultados.

71 Vamos praticar! Quais as intersecções com os eios? Eio XX f ( ) 7 e Capítulo - Funções 3 3 ln 3 ln 3 Intersecção com o eio XX: e 3 ( ln 3 ;) ln f ( ) 3 e Eio YY f () 3 e Intersecção com o eio YY: ( ; )

72 Vamos praticar! Eio XX 7 Capítulo - Funções Quais as intersecções com os eios? f ( ) log( ) log( ). sen( ) sen( ) kπ, ( ; ) Pontos de intersecção com o eio XX: e k Z + ( kπ ;) g ( ) log( ). sen( ) Eio YY f ( ) log(). sen()?? log() A função não está definida no ponto zero, logo não eiste intersecção com o eio dos YY.

73 Vamos praticar! Quais as intersecções com os eios? h(, ) Eio XX 73 Capítulo - Funções h(,) Ponto de intersecção com o eio XX:( ;; ) Eio YY h(, ) Ponto de intersecção com o eio YY: Eio ZZ h(,) Ponto de intersecção com o eio ZZ: 4 ( ; 4;) ( ;;4)

74 h(, ) Capítulo - Funções 74 Vamos comprovar os resultados obtidos observando o gráfico da função! Intersecções com os eios: ( ;; ) ( ; 4;) ( ;;4) No fundo temos a equação cartesiana de um plano: z z + 4

75 Função crescente Capítulo - Funções 75 Definição: Uma função real de variável real f é crescente em [ a;b] se e só se quaisquer que sejam os pontos tttttttttttttttse a; b tiver f ) f ( ) sempre que <., [ ] ( Diz-se genericamente que todo o seu domínio. f é crescente se for crescente em Atenção! Uma função constante (ou constante em apenas alguns subconjuntos do seu domínio) pode ser considerada crescente!

76 76 f (, ) (, ) Função crescente em [ ;+ [

77 77 (, ) (, ) f Função crescente em R

78 78 Função estritamente crescente Definição: Uma função real de variável real f é estritamente crescente em [ a;b ] se e só se quaisquer que sejam os pontos tttttttttttttttse a; b tiver ) f ( ) sempre que <., [ ] f < ( Diz-se genericamente que f é estritamente crescente se for estritamente crescente em todo o seu domínio.

79 79 ( ), f ( ), Função estritamente crescente em R

80 Função decrescente Capítulo - Funções 8 Definição: Uma função real de variável real f é decrescente em [ a;b] se e só se quaisquer que sejam os pontos, [ atttttt ; b] se tiver f ( ) f ( ) sempre que <. Diz-se genericamente que em todo o seu domínio. f é decrescente se for decrescente Atenção! Uma função constante (ou constante em apenas alguns subconjuntos do seu domínio) pode ser considerada decrescente!

81 8 ( ), ( ), f Função decrescente em R

82 8 Função estritamente decrescente Definição: Uma função real de variável real f é estritamente decrescente em [ a;b ] se e só se quaisquer que sejam os pontos [ a; btttse ] tiver f ) > f ( ) sempre que <., ( Diz-se genericamente que f é estritamente decrescente se for estritamente decrescente em todo o seu domínio.

83 83 ( ), ( ), f Função estritamente decrescente em R

84 84 Questões f - Será f uma função crescente? - Será f uma função decrescente [ ] no intervalo ;4? 3- Será f uma função estritamente crescente? 4- Será f uma função estritamente decrescente em R?

85 85 Questões g g - Será uma função estritamente decrescente? g - Será uma função decrescente? g 3- Será uma função estritamente [ ] decrescente em ;?

86 Como provar pela definição a monotonia de uma função? 86 (A) Seja a função f ( ) crescente em? R 3. Como provar que é estritamente < Sejam, tais que. < < < 3 < 3 3 < 3

87 87 (B)Seja a função f ( ) decrescente em R?. Como provar que é estritamente Sejam R tais que <., < > > > Nota: quanto mais negativo é um número, mais positivo é o seu quadrado!

88 88 QUIZZ VERDADEIRO OU FALSO? - Uma função pode ter dois pontos de intersecção com o eio dos YY, sendo o eemplo perfeito uma circunferência de raio e centro na origem. - Uma função estritamente crescente é também crescente. 3- Uma função pode ser simultaneamente crescente e decrescente em todo o seu domínio.

89 89 QUIZZ VERDADEIRO OU FALSO? 4- Dada a função f ( t ) + k, k R, o domínio e o t k contradomínio são iguais As funções m ( ) e n ( ) são iguais. 6- Uma função constante é crescente e decrescente.

90 9 GRÁFICOS DE FAMÍLIAS DE FUNÇÕES - Função Linear - Função Eponencial - Função Logarítmica - Função Quadrática - Função Módulo - Funções Irracionais - Funções Racionais (hipérboles) - Funções Trigonométricas

91 - Função Linear Capítulo - Funções 9 O gráfico de uma função linear corresponde a uma recta não vertical de equação: m + b Declive Ordenada na Origem

92 m: se aumenta unidade, aumenta unidades m-4: se aumenta unidade, diminui 4 unidades

93 93 m 3 -

94 b

95 95 Dados dois pontos da recta ( ; ) e ( ; ), como encontrar o declive? m m + b f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Por eemplo, tendo os pontos e (;) : m (;) m +

96 96 O declive também pode ser visto como a tangente da inclinação da recta! 5º 45º m tg( α) tg(45º ) m tg( 5º ) tg(3º ) 3 3

97 97 Equação reduzida de uma recta: m + b Equação geral de uma recta (única forma em que qualquer recta pode ser definida, incluindo as verticais): Eemplos: A + B z A equação geral + 4 define uma recta que passa nos pontos ( ;) e (;).

98 98 A equação geral 3 define uma recta vertical. Claro que não se trata de uma função! Cuidado! O objecto 3 teria infinitas imagens! Nem todas as rectas são funções 4 A equação geral define uma recta horizontal. Esta recta já era definida pela equação reduzida. Neste caso estamos perante uma função constante (que por sinal é crescente e decrescente).

99 99 Equação aial de uma recta: (é sempre possível traduzir uma recta na forma aial, ecepto no caso das rectas horizontais e verticais): a + b Intersecção com o eio XX: Intersecção com o eio YY: (a;) ( ; b) Assim, as constantesaebrepresentam o zero da recta e a ordenada na origem!

100 - Função Eponencial f ( ) a, a > Capítulo - Funções A função eponencial de base e é a mais conhecida: f ( ) e, e, e e e e - - e e

101 e + k e e + e - e k< a função desloca-se k unidades para baio. Se k> a função desloca-se k unidades para cima e se

102 e + k e e e e + e Se k> a função e desloca-se k unidades para a esquerda e se k< a função desloca-se k unidades para a direita.

103 3 e k e e e

104 4 k e.5 e e - -3 e 3e e k>: Se a função for multiplicada por k, eiste uma epansão vertical do gráfico se k> e uma contracção vertical se k<. e k<: Se a função for multiplicada por k, eiste uma epansão vertical do gráfico se k< e uma contracção vertical se k>.

105 5 e k e 4 e e

106 6 e k e e.5 e e k>: Se for multiplicado por k, eiste uma contracção horizontal do gráfico se k> e uma epansão horizontal se <k<. k<: Se for multiplicado por k, eiste uma contracção horizontal do gráfico se k<- e uma epansão horizontal se -<k<.

107 7 f ( ) a, a > f ( ) a, a > f ( ) a, < a < 3 e 3 3 e

108 8 - Função Logarítmica f ( ) log, a > a Logaritmo Neperiano (base e ): f ( ) loge ln a e e Logaritmo Decimal (base ): f ( ) log log ln

109 9 f ( ) log, a > a log ln ln log4 a a 4

110 f ( ) log, < a < a log log log 5 Serão as funções e log simétricas em relação ao eio XX? log

111 Para meditar Serão iguais as seguintes funções logarítmicas? ln ln log e log log e Se sim, comprove! Se não, diga porquê.

112 ln ln( ) ln ln Simetria em relação ao eio XX Simetria em relação ao eio YY f () f ( )

113 3 + ln ln ln ( +) ln Deslocamento vertical de unidade para cima Deslocamento horizontal de unidade para a esquerda

114 4 ln ln ln ln

115 - Função Quadrática Capítulo - Funções 5 O gráfico de uma função quadrática corresponde a uma parábola de epressão geral: f ( ) a + b + c, a e b, c R Esta não é a única forma de escrever a epressão geral de uma função quadrática.

116 ( ) a c a b a b a c b a δ β Pode igualmente ser escrita na forma: 6 c a b e a b com a a δ β Esta última forma permite obter uma boa ideia do gráfico da função. ) ; ( δ β Vértice da parábola β Eio de simetria

117 7

118 8 ( ) + 3 ( ) 3 Por curiosidade serão os gráficos das funções e iguais?

119 9.8 ( ) +

120 - Função Módulo Capítulo - Funções +

121

122 - Funções Irracionais Capítulo - Funções 3

123 3 + +

124 4 Algumas funções irracionais um pouco mais compleas

125 5 Atenção! Uma circunferência não é uma função irracional. Nem sequer é uma função real de variável real pois é possível encontrar objectos com mais do que uma imagem ± 4

126 6 Quando se trabalha com circunferências deve-se ter cuidado com a linguagem usada: Está correcto dizer que a epressão uma circunferência de centro (,) e raio. + 4 traduz Está incorrecto dizer que a função + circunferência de centro (,) e raio. 4 traduz uma

127 7 Na verdade a epressão + 4 contém duas funções (duas semi-circunferências): ± 4

128 8 Recapitulando ( ) ( ) 5 A epressão + + não é uma função, embora traduza uma circunferência de centro (; -) e raio 5. Na verdade, incorpora as seguintes duas funções: Semi-circunferência 5 ( ) Semi-circunferência 5 ( )

129 9 - Funções Racionais (hipérboles)

130

131 3

132 Qual a diferença entre as funções e? 3 Atenção! As duas funções estão sobrepostas para >.

133 33 Qual a diferença entre as funções e?

134 - Funções Trigonométricas 34 sen( ) + sen( )

135 35 π sen + 4 sen( )

136 36 sen( ) sen( )

137 37,5sen( ) sen( )

138 38 sen() sen( )

139 39 sen(,5 ) sen( )

140 4 Como calcular o período destas funções seno? sen() Período π sen( ) sen(,5) Período π Período 4π sen(c) Período π C

141 4 cos( ) cos( ) 3 + cos( )

142 4 3cos( ) 3 cos(3) cos( )

143 43 tan( ) tan( ) tan( )

144 44 tan( ) tan (,5)

145 45 Como calcular o período destas funções coseno e tangente? cos() cos( C) tg () tg (C) Período π π Período C Período π π Período C

146 46 Vamos praticar cos(4 π ) D? CD? Período? tan () + 7 D? CD? Período? 4 sen( π ) D? CD? Período? π tan + e,5 3 D? CD? Período?

147 47 sen() cos() Estas funções trigonométricas não são injectivas, logo não admitem inversa. No entanto, se restringirmos o domínio das funções a um intervalo em que sejam injectivas, então será possível considerar a eistência de função inversa nessa partição do domínio. tan()

148 48 sen() Eemplo : sen() cos() π π No intervalo, a função inversa do seno eiste: sen( ) arcsen( ) arcsen() tan()

149 π π, Capítulo - Funções 49 arcsen() sen() Dizer que o seno de 9º é equivale a dizer que o arco cujo seno é é 9º. π sen arcsen() π

150 5 π π, arcsen() sen() Dizer que o seno de -6º 3 é equivale a dizer que o arco cujo seno é 3 é -6º. π sen 3 3 arcsen É neste conteto que é definida a função arco cujo seno é como a função inversa do seno. arcsen() 3 π 3

151 5 Notar que estamos a definir a função seno apenas no π π intervalo,. Caso contrário vamos incorrer num erro grave: π 4 π 4 Se sen então arcsen ou arcsen 3π 4

152 5 Temos que garantir a famosa relação unívoca necessária na definição de função e para tal temos forçosamente que trabalhar em intervalos onde a função seno seja injectiva. Só assim eistirá uma e uma só imagem para cada objecto na função arco seno. Para cada intervalo definido, teremos a capacidade de encontrar a respectiva função inversa.

153 53 Eemplo : arccos() [, π ] cos() Consideremos agora a função cos() [, π ] no intervalo. Como a função é injectiva neste intervalo poderemos definir a função inversa do coseno como o arco cujo coseno é. cos( ) arccos() arccos( )

154 54 arccos() cos() Dizer que o coseno de 6º é / equivale a dizer que o arco cujo coseno é / é 6º. π cos 3 arccos π 3 [, π ]

155 55 Eemplo 3: tan() arctan() Consideremos a função π π, tan() no intervalo. Como a função é injectiva neste intervalo poderemos definir a função inversa da tangente como o arco cuja tangente é. tan( ) arctan( ) π π, arctan()

156 56 tan() arctan() Dizer que a tangente de 45º é equivale a dizer que o arco cuja tangente é é 45º. π tan 4 ( ) arccos π 4 π π,

157 Vamos praticar: Capítulo - Funções Inverta as seguintes funções indicando um intervalo onde a operação seja possível. a) b) c) π + 3cos π tan sen( π +π ) 57

158 LIMITE DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO 58 Seja uma função real de variável real f definida numa vizinhança de um ponto mas não obrigatoriamente em. Seja a um número real. Diz-se que lim f ( ) a se f() tende para a (no eio dos YY) quando tende para (no eio dos XX).

159 Observações: Capítulo - Funções 59 - Se ambos os limites laterais eistirem terão de ser iguais, ou seja: lim o f ( ) a lim + o f ( ) - O limite, se eistir, é um número finito, ou seja, não é correcto dizer que o limite num ponto é infinito. Neste caso dizemos que não eiste limite, embora seja correcto escrever : a lim o f ( ) +

160 6 - O estudo do limite de uma função num ponto é independente da imagem da função nesse ponto. - Se f() não se aproimar de nenhum número real a quando tende para, devemos concluir que o limite não eiste.

161 Propriedades dos limites lim f a - Se e então: o ( ) o 6 lim g( ) b lim [ f ( ) + g( ) ] a + b lim[ f ( ) g( ) ] a b o o [ f ( ). g( ) ] a. b lim lim o o [ f ( ) / g( ) ] a / b, b [ ] p / q p / q f ( ) a lim o (desde que a epressão faça sentido)

162 6? ) ( lim f? ) ( lim f? ) ( lim f? ) ( lim f f? ) ( lim f

163 63 4 ) ( + f Analiticamente, trabalhando com o infinitésimo? ) ( lim f ε > ε 5 4 lim 4 lim + + ε ε 5 4 lim 4 lim ε ε 5 ) ( lim f

164 64 Analiticamente, trabalhando com o infinitésimo ε f ( ) + 4 lim f ( ) 4? ε > lim lim lim 4 ε 4 ε + 4 ε 4 + ε lim ε lim lim + 4 ε 4 + ε + 4 ε Não eiste limite! Os limites laterais nem são finitos nem iguais!

165 65 f + ) ( Analiticamente, trabalhando com o infinitésimo? ) ( lim f ε > ε lim lim lim lim ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε lim lim lim lim ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

166 66 f ) sin( ) ( Analiticamente, trabalhando com o infinitésimo? ) ( lim f ε > ε ) sin( lim ) sin( lim ) sin( lim ) sin( lim ε ε ε ε ε ε ε ε ε ) sin( lim ) sin( lim ) sin( lim ε ε ε ε ε ε

167 CONTINUIDADE Capítulo - Funções 67 Diz-se que uma função real de variável real é contínua em se: lim f ( ) f ( ) Os limites laterais têm de eistir (ser finitos), ser iguais entre si e ser iguais à imagem do ponto. Diz-se genericamente que uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

168 68 f - Em que ponto(s) há limite mas a função não é contínua? - Prolongue por continuidade a função ao ponto. 3- É possível afirmar que a função é contínua?

169 69 Verdadeiro ou Falso? - Uma função ser contínua num ponto é condição suficiente para que esse ponto pertença ao domínio da função. - A não eistência de limite num ponto é condição suficiente para que uma função não seja contínua nesse ponto. - A eistência de limite num ponto é condição necessária para que a função possa ser contínua nesse ponto.

170 Propriedades Capítulo - Funções 7 - Se lim f ( ) f ( ) e lim g( ) g( ) então as funções o f ( ) + g( ) f ( ) g( ) f ( ). g( ) f ( ) / g( ) (se ) g( ) o [ ] p / f ( ) q (desde que a epressão faça sentido) também são contínuas em.

171 7 CÁLCULO DIFERENCIAL Definição de Taa Média de Variação de uma função em [ ] ; TMV [ ; ] f ( ) f ( ) A Tmv traduz o declive da recta secante ao gráfico!

172 7 Vamos ver o que acontece quando aproimamos de. Estas rectas ainda são secantes ao gráfico da função!

173 73 No limite vamos obter uma recta tangente ao gráfico em. Ao declive dessa recta chamamos de derivada em.

174 74 Definição de Derivada f f (. + h) f ( ) '( ) lim h h '( lim OU f ) f ( ) f ( )

175 75 Eemplo 4 ) ( f f 8 ) ( ' f 8 ) ( ' Pelas regras de derivação sabemos que: Pela definição: ( ) 8 lim 8 8 lim 4 ) 4( lim ) ( ) ( lim ) '( h h h h h h h f h f f h h h h

176 76 Eemplo g ln ) ( g ) ( ' g ) ( ' Pelas regras de derivação sabemos que: Pela definição: ( ) ( ) ( ) ( ) / / ln lim / ln lim / ln lim ln ) ln( lim ) ( ) ( lim ) '( h h h h h h h h h f h f g h h h h h

177 77 Eemplo 3 w ) ( w ) ( ' w ) ( ' Pelas regras de derivação sabemos que: Pela definição: ( )( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ) ( ) ( lim ) '( h h h h h h h h h h h w h w w h h h h h

178 78 Eemplo 4 r( ) sin r ' ( π ) Usando a definição de derivada calcule. r '( π ) sin( π + lim h h sin( π + h) lim h h h) lim h sin( π ) sin( h) h

179 79 No eemplo 4 calculamos a derivada pela definição no ponto π usando apenas um limite. Será sempre assim? Não! Em pontos do domínio que sejam problemáticos (pontos angulosos, pontos de mudança de ramo, etc) temos que calcular as derivadas laterais esquerda e direita, separadamente, usando dois limites distintos. Neste caso, a função seno não era problemática! Estes são os casos mais interessantes de estudar.

180 8 h f h f f h e ) ( ) ( lim ) (. ' + Derivada lateral esquerda: h h h < h f h f f h h d ) ( ) ( lim ) (. ' + > Derivada lateral direita:

181 8 Eemplo Haverá derivada em?

182 8 Derivada lateral esquerda: f ' e () lim h h< f ( + h) h f () lim h h h< Derivada lateral direita: f ' d () lim h h> f ( + h) h f () lim h h> 3 h + Não eiste derivada em

183 83 Regras de Derivação Finalmente as tão aguardadas regras de derivação que evitam o uso da definição de derivada com os indesejáveis limites! Poderei usá-las sempre? Não, atenção! Não poderemos usar as regras se quisermos calcular, por eemplo, a derivada num ponto de mudança de ramo. É muito perigoso! Devemos usar a definição, calculando separadamente as derivadas laterais por dois limites distintos.

184 84 Regras ' ( f + g) f ' + g' ' ( f. g ) f '. g + f. g ' ( 4 ) 3 ' 4 [ ( 3 ) ] ' 3( ). 4 f g ' f '. g g f. g' ( n ) n u ' n. u. u' ( ) e ' e ( 5 ) ( 5 4 ' 5 4 ) ln 4 ( u ) u a ' u'. a.ln a

185 85 Regras ( 5 ) ( u) u' u.ln a log a ' ( ) 5 log 3 ' 5 ln3 ln ' ln e ln3 (sin u)' u' cos u ( cosu) ' u' sinu u' tan ' ( ) u' u ( cosu) ( cos u) ( ) ( sin 5 ' cos 5 ) 9 tan ' cos ( 9) ( 9)

186 86 Derivada da função composta: [ f ( g( )) ]' f '( g( )). g'( ) Não é nada de novo! Retomemos um dos eemplos anteriores [( ) ] 3 ' 3(). 4 3 f ( ) g( ) Seja e então: ( ) [ ] fog '( ) f ( g( )) ' f '( g( )). g '( ) 3(). 4

187 87 Atenção! E quando a base e epoente são ambos funções? [ ] g g g f ' g f f ' + g' f ln f Primeiro derivamos como se fosse uma potência e depois como se fosse uma eponencial. No final somamos as epressões obtidas! [( ) ] ( ) '. +.() ln() [ ] ( ) ( ) sin 5 ' sin 5 cos(5 ).5 ( sin 5 ) + ln(sin(5))

188 88 Derivadas Parciais: Voltemos às funções reais de variável vectorial z f (, ) Se pretendermos avaliar a variação em z decorrente de uma variação unitária apenas em, calculamos a derivada parcial em ordem a, dada por: f Se pretendermos avaliar a variação em z decorrente de uma variação unitária apenas em, calculamos: f

189 89 z f 5 8 (, ) f f 4 8 Tratamos como sendo constante! f Tratamos como sendo constante!

190 9 z f (, ) f f

191 9 w f (,, z) z + 4 f z f z f z z

192 9 Derivada e diferenciabilidade: - Só eiste derivada em pontos que pertençam ao domínio da função. - Se as derivadas laterais eistirem, forem iguais e infinitas, podemos afirmar que eiste derivada (infinita) nesse ponto do domínio da função. - Se as derivadas laterais eistirem, forem iguais e finitas, a função tem derivada finita, ou seja, é diferenciável nesse ponto do domínio.

193 93 f ' ' e ( d ) f ( ) Eiste derivada infinita em. A função tem derivada neste ponto mas não é diferenciável neste ponto.

194 94 Resultados importantes - Se uma função é diferenciável num ponto do domínio tem necessariamente derivada nesse ponto. - Se uma função é diferenciável num ponto do domínio implica que seja contínua nesse ponto. - Se uma função for contínua num ponto do domínio pode, ou não, ter derivada nesse ponto. - Se uma função não tiver derivada num ponto do domínio é prematuro afirmar que a função é descontínua nesse ponto.

195 Primeira derivada Capítulo - Funções 95 Permite estudar a monotonia (variação) e etremos de uma função. - Se a primeira derivada é positiva a função é estrit. crescente. - Se a primeira derivada é negativa a função é estrit. decrescente. - Se a primeira derivada em certo ponto é nula e muda de sinal nesse ponto, há um etremo: Mínimo se passa de negativa para positiva Máimo se passa de positiva para negativa

196 Segunda derivada Capítulo - Funções Permite estudar a concavidade e os pontos de infleão de uma função. - Se a segunda derivada é positiva a função é convea. - Se a segunda derivada é negativa a função é côncava Se a segunda derivada em certo ponto é nula e muda de sinal na vizinhança desse ponto, há um ponto de infleão. Neste ponto a função passa de convea a côncava ou de côncava a convea!

197 97 Segunda derivada de funções de variável vectorial 4 ), ( f z 4 4 f z 4 f z 3 6 f z 3 6 f z Derivadas directas Derivadas cruzadas Primeiro em ordem a. Primeiro em ordem a.