FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

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1 FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Deinição inormal de unção Uma unção é uma regra que a cada elemento de um dado conjunto A associa um e um só elemento de um outro conjunto B. : A B ( ) Simbolicamente, 1 a A b B : ( a) = b. A domínio, conjunto de originais ou conjunto de partida. B conjunto de chegada ou conjunto das imagens. Chama-se contradomínio de ao conjunto deinido por ( A) = { ) : A} B (. As unções cujo domínio e o conjunto de chegada são subconjuntos de IR são chamadas unções reais de variável real (.r.v.r.). Nesta disciplina iremos estudar apenas.r.v.r.. 1

2 Gráico Seja uma unção de domínio A e conjunto de chegada B. Chama-se gráico de ao subconjunto do produto cartesiano de A por B, A B, deinido por gra {(, y) A B : y = ( ) } = {(, ( )) A} = :. Chama-se representação gráica de, a qualquer representação geométrica adequada aos pontos do gráico de. y () (, ()) O 2

3 É ácil ver geometricamente quando uma igura pode ou não ser representação gráica de alguma unção. Cada recta vertical = a só pode intersectar a igura uma única vez. Eemplo: y = a y 2 y 1 O a A igura não é representação gráica de nenhuma unção. A representação gráica pode variar se, por eemplo, izermos variar as unidades no eio dos XX ou no dos YY. 3

4 Eemplo: : IR IR 2 admite, entre outras, as duas representações gráicas seguintes Figura 1 Figura 2 Além disso a mesma igura pode ser a representação gráica de unções dierentes. Eemplo: A igura seguinte é uma representação gráica das unções (entre outras) : IR IR 2 : IR + IR 0 2 ou da unção 4

5 : IR IR Considerando, neste último caso, que as unidades no eio dos XX valem o dobro das anteriores. Figura 3 Funções injectivas Uma unção de domínio A diz-se injectiva se a pontos dierentes do domínio correspondem imagens dierentes no conjunto de chegada. Simbolicamente, a, b A, a b ( a) ( b) ou a, b A, ( a) = ( b) a = b. Graicamente, qualquer recta horizontal só poderá intersectar o gráico de uma vez. 5

6 Eemplo: y k y = k () O a b a b e ( a) = ( b), logo não é injectiva. Funções sobrejectivas Uma unção de domínio A diz-se sobrejectiva se qualquer ponto do conjunto de chegada B pertencer ao contradomínio, ou seja, se o conjunto de chegada B coincidir com o contradomínio (A). Simbolicamente, Observação: b B a A : ( a) = b. Em termos gráicos, não se pode ver se uma unção é sobrejectiva pois a representação gráica apenas dá o contradomínio. 6

7 Funções bijectivas Uma unção injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva ou uma bijecção. Simbolicamente, Funções monótonas: 1 b B a A : ( a) = b. Seja uma unção de domínio ] a, b [ : é monótona crescente ou simplesmente crescente se ] a, b [, < y ( ) ( ), y y. é monótona decrescente ou simplesmente decrescente se ] a, b [, < y ( ) ( ), y y. é estritamente crescente se ] a, b [, < y ( ) ( ), y < y. é estritamente decrescente se ] a, b [, < y ( ) ( ), y > y. 7

8 Funções limitadas: Seja uma.r.v.r. de domínio D. Diz-se que é limitada se e só se o conjunto dos valores que a unção assume or um conjunto limitado, isto é, se eistir um número real M (positivo) tal que para todo o do domínio de se tiver ( ) M. Graicamente, O gráico da unção encontra-se compreendido entre as rectas de equação y = M e y = M. y y = M O y = - M 8

9 Eemplo: Depois de as esboçar graicamente, veriique se são ou não limitadas as seguintes unções: 1 ) ( ) =1 sen ; 2 ) g( ) = sen ; 1 3 ) h( ) = ; 4 ) i( ) = sen 1 ( ) se se se 0 < <. Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 9

10 Funções pares e ímpares: Seja uma.r.v.r. de domínio IR. Diz-se que é par (respectivamente ímpar) se e só se para todos os números reais se tem ( ) = ( ) ( respectivamente ( ) = ( ) ). Graicamente, Uma unção par tem o gráico simétrico em relação ao eio dos YY. Uma unção ímpar tem o gráico simétrico em relação à origem dos eios coordenados. Representações gráicas de algumas unções pares e ímpares: Figura 8 Figura 9 10

11 Figura 10 Figura 11 Funções periódicas: Seja uma.r.v.r. de domínio IR. Diz-se que é periódica se eistir algum real α (não nulo) tal que para todo o real se tenha ( +α ) = ( ). Simbolicamente, α 0 : IR ( + α) = ( ). Ao real α chama-se período da unção. Se α é um período positivo de e é inerior a todos os outros períodos positivos de, então a α chama-se período undamental ou período positivo mínimo de. 11

12 Representações gráicas de algumas unções periódicas: Figura 12 Figura 13 Figura 14 12

13 Composição de unções Sendo : A B e g : C D duas unções, a composta de e g, designada por g, é a unção cujo domínio é o conjunto = IR : C g( ) A D og tal que ( g)( ) = ( g( )). { } Função Restrição Sejam : A B e C A. A restrição de a C, designada por C, é a unção de domínio C e conjunto de chegada B tal que C ( ) = ( ) para cada e C. Função Inversa Sendo 1 : A B injectiva chama-se a : ( A) A a unção inversa de. 13

14 Algumas classes de unções i) Funções Polinomiais Sejam a 0, a 1,, a n 1, an números reais : A IR ( ) n n 1 a + a + + a + a Casos Particulares: = 0 1 n 1 n Função Constante: Função Linear: Função Aim: Função Quadrática: ( ) = an ( ) = an 1 ( ) a + a = n 1 n 2 = an 2 + an 1 ( ) + a n ii) Funções Racionais Sejam P ( ) e Q( ) polinómios : A IR ( ) = P( ) Q( ) D { IR : Q( 0} = ) 14

15 iii) Funções Irracionais Seja P () um polinómio : A IR q ( ) [ ] p = P( ) D = IR se q or ímpar { IR : P( 0} D = ) se q or par 15