Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet

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1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Cristineguedes.pro.br/ceet

2 Vizinhnç de um ponto Pr um vlor rbitrrimente pequeno >, vizinhnç de é o conjunto dos vlores de pertencentes o intervlo: - + OBS: d AB = I A B I

3 Limite de um unção Sej Y= um unção deinid n vizinhnç do ponto, ou, em certos pontos dest vizinhnç. A unção tende b, qundo tende, ou b se, pr cd número positivo ε >, tão pequeno qunto se queir, pode-se indicr um δ > tl que, pr todo dierente de, veriicndo - < δ, desiguldde - b < ε, ic stiseit. Diz-se então que b é o ite de. b

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 Limites Lteris 9 Deinições: Limites Lteris à Direit e à Esquerd. Sej deinid em um intervlo, b, onde < b. Se ic rbitrrimente próimo de L conorme se proim de nesse intervlo, dizemos que tem ite lterl à direit L em e escrevemos: se proim de por vlores miores que L

10 Sej deinid em um intervlo c,, onde c <. Se ic rbitrrimente próimo de M conorme se proim de nesse intervlo, dizemos que tem ite lterl à esquerd M em e escrevemos: se proim de por vlores menores que M

11 Eemplo: Pr unção n igur, temos: e

12 Teorem Um unção terá um ite qundo se proimr de c se e somente se tiver um ite lterl à direit e um à esquerd e os dois ites lteris orem iguis: c L c c L

13 Proprieddes dos Limites Sejm b e c dois números reis, e sej n um inteiro positivo. Então: I b b c II c c III c n c n c n n IV c Obs.: Em IV, se n or pr, c deve ser positivo.

14 Operções com Limites 4 Sejm b e c dois números reis, n um inteiro positivo e e g unções pr s quis L e g M. I [b.] bl c II [ g] L M c III [.g] c L.M c c n c c L IV ; g c g M c n V L n n VI L Obs.: Em VI, se n or pr, L deve ser positivo.

15 Eemplo: Eemplo: Eemplo:

16 6 Se P é um unção polinomil e c é um número rel, então c P P c Limite de um unção polinomil Teorem Os Limites de Funções Polinomiis podem ser obtidos por Substituição: Se... P n n n n então... c c c P P n n n n c

17 7 Eemplo

18 Limites de Funções Rcionis 8 Teorem Os Limites de Funções Rcionis podem ser obtidos por Substituição, cso o ite do denomindor não sej zero: P Q Q c Se e são polinômios e, então: c P Q P c Q c

19 Eemplo

20 Eercícios se, / se, onde ; 4 Respost: ; 4 Respost:, Respost:/4, 4 / Determine os seguintes ites:

21 Eercícios, 4, ; b, b b

22 6 7

23 Eercícios Lim 5 4 R: - Lim R: 4 Lim 4 Lim Lim R: 6 R: 4/ 5 R: /

24 Limites no Ininito 4 L signiic que pr qulquer Ԑ >, eiste A> tl que I L I < Ԑ sempre que > A. L signiic que pr qulquer Ԑ >, eiste B< tl que I L I < Ԑ sempre que < B.

25 Teorem: n * n Eemplos:... / b c

26 Assíntot Horizontl 6 A ret y = L é um Assíntot Horizontl d unção y=, se pelo menos um ds seguintes condições or stiseit: L L

27 Eemplo : Gráico de 5 8 7

28 Limites Ininitos 8 signiic que podemos zer os vlores de icrem rbitrrimente grndes, tomndo suicientemente próimo de. signiic que podemos zer os vlores de icrem rbitrrimente grndes em módulo, porém negtivos, tomndo suicientemente próimo de.

29 Considere, por eemplo, unção Perceb que, qundo tende pel direit, isto é, qundo tende por vlores menores que, os vlores d unção tendem crescer indeinidmente. 9

30 Eemplo: não eiste 6 6

31 Assíntot Verticl A ret = é um Assíntot Verticl d unção y=, se pelo menos um ds seguintes condições or stiseit:

32 Os símbolos + e -, não representm números reis, não podendo ser plicds eles, portnto, s técnics usuis de cálculo lgébrico. Ddo b IR, teremos s seguintes igulddes simbólics: b + + = + b + - = = = = nd se pode irmr inicilmente. É um indeterminção = + +. = nd se pode irmr inicilmente. É um indeterminção. / = nd se pode irmr inicilmente. É um indeterminção.

33 Continuidde Um unção é contínu em um número pertencente o seu Domínio se:

34 Eemplos: Veriique continuidde ds seguintes unções: 4 se se c se se b

35 Questão d prov se 5 m se se Determine m pr que eist b Pr esse vlor de m, é contínu? c Clcule

36 Limites Fundmentis 6 sen

37 7 Eercícios: : Re cos 5 : / Re 5 : Re cos : Re 4 : Re / : Re :/ Re / sp g sp sen sen sp sen e sp sen d sp sen c b sp b sen b sp sen

38 Número de Euler 8,597,748,769,78 e, ,7868 6,788

39 Outro Limite Fundmentl 9 ln ln ln ln ln ln.ln / ln ln ln ln ln log / e u u u u u u u u u u u u u

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