( 2 5 ) simplificando a fração. Matemática A Extensivo V. 8 GABARITO. Matemática A. Exercícios. (( ) ) trocando a base log 5 01) B 04) B.

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1 Mtemátic A Etensivo V. Eercícios 0) B 0) B f() = I. = y = 6 6 = ftorndo 6 = = II. = y = 6 = 6 = pel propriedde N = N = De (I) e (II) podemos firmr que =, então: ) 6 = = 6 ftorndo 6 = = pel propriedde N = N = = ) 6 = = 6 = = Multiplicndo (). () =. = (( ) ) trocndo se = ( N) M = N M ( ). ( ) simplificndo frção pel propriedde. =. ( ) d propriedde = = 0) B Do gráfico temos I. y = 0 = = 0 0 = II. y = = = = De (I) e (II) podemos firmr que =. 0) B 0) C 06) C 0) B 0) B f() = g() = d propriedde N = N. = = = 0. ( ) = 0 = 0 ou = 0 = Pel condição de eistênci: N N > 0 > 0 e Então eles se interceptm qundo =. g() = pel propriedde c = c g() = = y y = y = g() = g() = f() = 6 y = n 6 = n = 6 ftorndo 6 = n = n = Então, f() =, o f() = = y y = ftorndo = e = y = y = y = h(t) =, (t ), =, (t ),, = (t ) = (t ) = t 9 = t 9 = t = t Do gráfico temos = y = n = n = = n = n = Então: ( ) = ( ) = 6 ftorndo 6 = = = Mtemátic A

2 09) 0 0) B 0. Verddeir. Semos que função rítmic dmite invers, o podemos firmr que el é ijetor, ou sej, injetor e sorejetor o mesmo tempo. 0. Verddeir. y = ( 9) = (y 9) = (y 9) ( ) = y 9 ( ) 9 = y 0. Flso. Por definição, domínio de é R *. 0. Flso. Pr um função ser pr f() = f( ), então: f( ) = ( 9) ( 9) = f(). 6. Flso. < f( ) < f( ) Sej = 0, então: f(0) = (0 9) f(0) = = = f(0) = 0 = 0 f(0) = = 0 Sej = 6, então: f(6) = (6 9) f(6) = = = f(6) = = f(6) = 9 = I. Flso. ( ) = = = 0 = = ± ± = ( ) " = II. Verddeiro. f() = ( ) e g() =. f() = g() ( ) = pel propriedde N. = N ( ) =. ( ) = (I) = = 0 = ( ) ± ± 9 = ± = " = esse vlor não pertence D. III. Verddeiro. g() = 0 0 por mudnç de se 0 0 = = 0 0 = = g ( ) = g() =. f() = g() ( ) =. ( ) = ( ) = 9. ( ) = = 0 = ± ± 9 = ± = 9 " = " D ) C ) D ) A Como s funções e são inverss, então os gráficos são simétricos em relção y =. y = = y. t y = 9. e t = 9. e t = 9. e t 9 = e n t = n e 9 n = t 9. n e. n = t 9 n = t 9 n 9 = t Mtemátic A

3 ) A f() = trocndo se do denomindor pr f() = f() =. simplificndo f() =. f() =. Note que f() é constnte. ) D f() = n A (9, ) = n 9 n = 9 ftorndo 9 = n = n = * Pr B(, ) = = = 6) D = 6 por mudnç de se = = = 6 por operção de frção. = = 6 pel propriedde c c = c c = 6 6 = 6 = ) B ) B 9 60 = 60 9 ftorndo 60 = 0. e 9 = 9 60 =. 0 pels proprieddes 9 60 = 0 = De P.A semos que =. =. = mudndo pr se. =. = = = =. =.. =.. = = = Então, =.. 6 = 6 = = =, = y y = = y = = y = y = 6 = z z = 6 z = 6 z = 6 z = 6 = 9) D 0) E DP DS = 0 = 0 = = 6 = = 0 (0 ) = ( ) (0 ) = ( ) 0 = 0 = 0 6 = 0 6 = ± ± = = 0 " Condição de eistênci: I. 0 > 0 0 > > >, 0 Mtemátic A

4 ) D II. ( ) > 0 > 0 = ± = 6 6 = > Note que o único vlor que stisfz condição de eistênci é: = = = 0 = ) A ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = ( ) = = = = = ) B ( ) = = = = 0 = 0 = ( ) ± ± 6 = ± = " = Logo, somndo s rízes ' " = ( ) = =. ) 0 ( ) ( ) = ( ). ( ) = ( ). ( ) = = = 0 0 = 0 ) A 6) D ) B = ± 0 ± = ± = " = 6 Condição de eistênci: I. > 0 II. > 0 > > D intersecção de (I) e (II), então >. Logo, S = {}. ( ) ( ) = = = = ( ) = 6 = 6 = = 6 Resolução:. = 0 trocndo = y (I) y y = 0 y(y ) = 0 y' = 0 ou y" = = 0 y" = * Sustituindo os vlores de y em (I) temos: = y' = y" = 0 0 = = = = = Somndo s rízes: = = 9 ( 0) ( ) = 0 pel propriedde c = c 0 = 0 reescrevendo equção de º gru d form ftord ( ) ( ) = ( ) 0 simplificndo ( ) do numerdor com o denomindor Mtemátic A

5 ) E ( ) = 0 = 0 = 0 = = mudndo pr se. = = y y y = y =. = (: ). = simplificndo o numerdor e 9 (: ) denomindor. = multiplicndo tod equção por = trocndo = y (I) y = y y y = 0 y(y ) = 0 y' = 0 ou y" = 0 y" = 9) D Sustituindo y em (I) temos: = y' = y" = 0 0 = = = = = Somndo os vlores de = 9. ( ) = trocndo por se ( ) = = y y = y = y = ( ). = pels proprieddes n n = N m e = m n ( ). = pel propriedde c = c = = = elevndo equção o qudrdo = = 0 = 0 0) B ) C * Encontrndo s rízes: = ± 6 6 ± = ± = = = " " = Semos que >, então nlisndo s rízes temos: ' = ', > '' = " 0,6 < ( ) co ( ) = co = ( ) ( ) = pel propriedde c = c = 0 = por produto notável = ( )( ) ( 00 = ) ( ) 00 = ( ) 00 = = 99 Semos que rzão d P.G é =, então: = =. ftorndo = e = =. d propriedde n. = n =. simplificndo do numerdor com o denomindor = 9 pels proprieddes N n. = n M M N e = = 9 = = 6 Mtemátic A

6 ) D * Se N = N, então: N = 0 0 I pel propriedde N. = N N = 0 I 0 * Se N = N, então: N = 0 0 I pel propriedde N. = N N = 0 I 0 * Semos que N N = 0 db, então: 0 I 0 (0 I 0 ) = 0 0 I 0 0 I 0 = 0 I 0 I 0 = 0 pels proprieddes 0 I I = 0 0 I 0 = I d equção 0 ) E 0 0 I ( ) = I 0 = I I c = c e 0 N N = elevndo os dois ldos pel propriedde ( N ) M = ( cos ) ( cos ) = pel propriedde: c = c [( cos ). ( cos )] = por produto notável: ( )( ) = ( cos ) = sen² cos² = sen² = cos² sen = sen = N = N sen = sen = 9 sen ± Como 0 < < π, então sen =. cos () sen = cos = cos sen cos sen sen cos sen = cos² = sen sen sen² sen sen sen. ( 9 ) = 9 = 9 0 = 9 9 N M N ) * Primeiro vmos encontrr o vlor de p: 6 = 0 = y (I) y y 6 = 0 y = ± ± y y = ± = y" = ) C 6) E ) B Sustituindo y em I temos: y' = = y" = = 0 = = 0 Então, p = p = 0. 0 p = 0 * Agor vmos clculr o vlor de m: ( m = ) p p. ( ) 0 0. ftorndo = p 0 m = 0 ( ). note que temos 0. =. 0 ( ) 0 * Com isso podemos firmr que: 60 < m < 0 e que m > p 0, < 0, 0, < 0, ( ) (I) Condição de eistênci: > 0 > (II) Solução d inequção: ( ) n = n ( ) (se > ) 6 6 Fzendo intersecção de (I) e (II) temos. ( ) (I) Condição de eistênci: > 0 > 6 Mtemátic A

7 ) D (II) Solução d inequção: ( ) (0 < se < ) Fzendo intersecção de (I) e (II) temos <. * Agor vmos nlisr inequção: ( ). pel propriedde N. = N ( ) pel propriedde N = N 9) D ( ) (I) Condição de eistênci: ) > 0 e ) > 0 > (II) Solução d inequção: (0 < se < ) > Fzendo intersecção de (I. ), (I. ) e (II) temos <. ( ) * Encontrndo s rízes: = 0 = ± 6 ± 00. = ± 0 = " = 0) C Então, temos (II). Fzendo intersecção entre (I) e (II) temos S = { R/ < ou < }. * Primeiro vmos nlisr condição de eistênci: > 0 * Encontrndo s rízes: = 0 = ± 6 0 ± 6 y = ± 6 = " = Então, temos < ou > (I). I. Flso. 9 = 9 pel propriedde N = N e ftorndo 9 = e = pel propriedde N. = N = = II. Verddeir. = = =. = Então = III. Verddeir. 9 < (se 0 < < ) 9 > Mtemátic A

8 ) C ( ) ( ) < ( ) Primeiro vmos nlisr condição de eistênci: (I) > 0 (II) > 0 (III) > 0 > > > Então, temos > (). * Vmos verificr inequção: ( ) ( ) < ( ) pels proprieddes de ritmos. < ( ). (se 0 < < ) > > < 0 encontrndo s rízes, temos: = 0 ( ) = 0 ' = 0 ou = 0 < < () ) E Fzendo intersecção entre () e (), temos: S = { R / < < } ( ) > ) A ) A ( ) > pel propriedde de potênci ( ) > 0 potênci se 0 < < ( ) < 0 < 0 < < < () Pel condição de eistênci: > 0 > () Fzendo intersecção entre () e () temos < <. >. * Primeiro vmos mudr se: = = = = = = * Voltndo pr inequção temos: > se 0 < < < * Anlisndo condição de eistênci: ( ) > 0 > Então, temos > (I). * Anlisndo inequção: ( ) > (se 0 < < ) < pel propriedde de potênci < < (II) Fzendo intersecção entre (I) e (II) < <, então: 6 = Pr comprr frção, vmos encontrr um equivlente, então: ( ) < ( ) < ) D ( ) ( ) > * Primeiro vmos verificr condição de eistênci: (I) > 0 (II) > 0 > > > > Então, temos > (I). * Anlisndo inequção: ( ) ( ) > pel propriedde de ritmo. Mtemátic A

9 > > > 6 > 6 > < (II) 6) C Fzendo intersecção entre (I) e (II) temos < <. * Sustituindo s rízes em (I) temos: = y' = y" = = = = = = ( ) ( ) Verificndo condição de eistênci: (I) > 0 (II) > 0 > > > Então, > (I). > * Anlisndo inequção: ( ) ( ) > pel propriedde de ritmo. > > > 6 > 6 > < (II) ) A Fzendo intersecção entre (I) e (II) temos < <. ) E 9) E m = 0, pr que ess equção tenh rizes Δ 0, então:.. c 0.. m 0 m 0 m m m m Pel condição de eistênci, m > 0. Então, 0 < m Anlisndo o domínio de cd função temos: I. f() = ( 6 ² 6 0 Encontrndo s rízes: 6 = 0 6 = ± ± 00.( ) = 6 ± 0 = " = ( ) 0 troque = y (I) y y 0 Encontrndo s rízes, temos: y y = 0 y = ± ± 9 y y = ± = y" = Então, domínio de f() = [, ]. Mtemátic A 9

10 0) E II. g() = ( ) > 0 > Então, domínio de g() = ], ). Logo, D (f) D (g) = ], ]. Pel condição de eistênci: > 0, semos que qulquer vlor em módulo é mior ou igul zero, então temos que verificr qundo o vlor do módulo é diferente de zero, pois o domínio d função rítmic é estritmente mior que zero. I. 0 I. 0 * Anlisndo inequção temos: ( ) ( ) < 0 ( ) ( ) < 0 pels proprieddes de ritmo:.. < 0 se >.. < 0 pel propriedde de módulo ( ). ( ) < 0. por produto notável 9 < 6 Cso I Cso II 9 > 6 9 < 6 > 6 9 ² < 9 6 > < < < Então, o conjunto solução é: S = ], [ \ {, }. ) 0. Verddeiro. 0, = (0,) = = ftorndo =, =. e =. (.. ) = = = = pels proprieddes de potênci 0. Verddeiro. = c = c = ( c ) = c 0. Verddeiro. Aplicndo mudnç de se temos: = c 0. Verddeiro. = 6 ( ) = 6 troque = y (I) y y 6 = 0 * Encontrndo s rízes y = ± ± y y = ± = y" = c * Sustituindo s rízes em (I) temos: ) = y' ) = y" = = = = 6. Verddeiro., >, propriedde de potênci ) >, >,,, se > 0. Flso. ( 9) ( ) * Condição de eistênci: (I) 9 > 0 (II) > 0 < ou > () > () = 0 Mtemátic A

11 * Anlisndo inequção: ( 9) ( ) Encontrndo s rízes: = ± ± 9 = ± = " = 6. Verddeiro. 60 =.. 60 = 60 = Flso. N = N = (,) =,06. (c) ) 0. Flso. = = * Fzendo intersecção entre (), () e (c) temos: Então, S = (, [. 0. Flso. Sej = e, tl que R*, então n < e n e < e e n e < e e < e e 0 < e < 0. Flso. e = e = = 0 ( ) = 0 = 0 ou = 0 = Note que s dus soluções são inteirs. 0. Flso. Pr >, s dus funções são crescentes. 0. Verddeiro.. =. =. 0. Verddeiro. 9 =. 9 =. = (. ) =. = Verddeiro. 0 pel propriedde de ritmo = 6. Flso. A = = = B ) F F F V F Flso. ph A = ph B H A = H B H A = H B H A = H B H = A H ( ) H B = ( H ) A B Flso. Semos que o ph d águ é, tmém semos que ph io de é ácido. Pr deir águ com o ph lclino, é necessário dicionr OH, ) V V V V V f() = e g() = Verddeiro. Podemos firmr que f() é crescente, pois se é mior que zero. Verddeiro. Semos que função rítmic é ijetor, o el é sorejetor. Mtemátic A

12 6) B Verddeiro. g(f()) = f () = = = =. = Verddeiro. = = = Verddeiro. Semos que f() é crescente, então, pr <, temos f() < f(). ( ) ( ) = ( )( ) = ( ) = = 0 = 0 = 0 = ± * Anlisndo condição de eistênci, temos: (I) > 0 (II) > 0 > > Fzendo intersecção de I e II: > Então, o único vlor que pertence o domínio d função é. ) E () 9 = 9 = 9 = * =. 9 = = = 9 = 9 = 9 60) C 6) A c = multiplicndo por c = 6 c = 6 c. = 6 c. = 6. c = 6 = c 6 = ; =. 0 = y; =. 0 = z (yz) = (). (. 0 ). (. 0 ) (yz) = (. 0 ) = 0 = (yz) = 0 Então: (yz) = = = = multiplicndo por. = Cso I Cso II = = = = () ) C = 9 ² = 0 = ( ) = 0 = ' = 0 ou " = = Sej 0 < <, então: ) Flso. 0 > 0 < ) Flso. =. = ² = c) Verddeiro. =. = d) Flso. Bst tomr = 0, pois = 9) D e) Flso.. c =.. c = = =. = 6) D = = Então, = 6 =. A M = A 0 A l. Flso. 9 = 09 = A. A 0 A 0 Mtemátic A

13 A ll. Flso. = 0 = A A 0 A = A. A 0 A Ill. Verddeiro. = 0 = A A 0 A = A A 0 lv. Verddeiro. Dos itens cim, é possível firmr que qunto menor mgnitude, menor rzão A. A 0 6) E M W = 0, M 0, = 0, M 0, 0, = M 0 6) B 6) D. = M 0 = M 0 = M 0 0 = M 0 h(t) =, (t ), =, (t ),, = (t ) = (t ) = t 9 = t 9 = t = t Er = E L ph = H I. Verddeiro. Pr que s dimensões possm ser em entendids oservndo os epoentes ds potêncis n se 0, por isso o uso do ritmo é justificdo. II. Verddeiro. = H 0 = H = H 0 = H H = 0 H = 0 Já que 0 0 = 0, concentrção de H pr ph = é 0 mil vezes mior que d solução com ph =. III. Flso. E L = = EL 0. 0 = EL Mtemátic A

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1;

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