Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas

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1 Cálculo Diferencil e Integrl - Nots de Aul Márci Federson e Gbriel Plns de mrço de 03

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3 Sumário Os Números Reis. Os Números Rcionis Os Números Reis Módulo de um Número Rel *Limitção de Subconjuntos de R Funções 7. Noções Geris Operções com Funções Definições Adicionis Funções Trigonométrics Funções Exponenciis e Logrítmics *Seqüêncis Limite de um Seqüênci Limite e Continuidde Noção Intuitiv Definições Proprieddes do Limite Limites Lteris i

4 3.5 Proprieddes ds Funções Contínus Limites Infinitos Limites no Infinito Limites Infinitos no Infinito O Número e Outrs Proprieddes ds Funções Contínus *Limite de Funções e Seqüêncis A Derivd Motivção e Definição A Derivd Como um Função Fórmuls e Regrs de Derivção A Regr d Cdei Derivção Impĺıcit e Derivd d Função Invers Derivds de Ordens Superiores Txs Relcionds Aproximções Lineres e Diferencil Aplicções d Derivd Máximos e Mínimos O Teorem do Vlor Médio e sus Conseqüêncis Concvidde e Pontos de Inflexão Regrs de L Hospitl Polinômios de Tylor Assíntots Esboço de Gráficos de Funções Problems de Mínimos e Máximos ii

5 6 A Integrl 7 6. A Integrl de Riemnn Proprieddes d Integrl O Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo Antiderivds ou Primitivs O Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo O Logritmo Definido como um Integrl Mudnç de Vriável ou Regr d Substituição Integrção por Prtes Aplicções d Integrl Deslocmento e Espço Percorrido Cálculo de Áres Volume de Sólido de Revolução Secções Trnsversis Cscs Ciĺındrics Comprimento de Arco Áre de Superfície de Revolução Trblho Centro de Mss Técnics de Integrção Integris Trigonométrics Substituição Invers Primitivs de Funções Rcionis Denomindores Redutíveis do o Gru Denomindores Redutíveis do 3 o Gru iii

6 8.3.3 Denomindores Irredutíveis do o Gru A Substituição u = tg(x/) Integris Imprópris Intervlos Infinitos Testes de Convergênci Integrndos Descontínuos iv

7 Cpítulo Os Números Reis. Os Números Rcionis Indicmos por N, Z e Q os conjuntos dos números nturis, inteiros e rcionis respectivmente. Assim N = {0,,, 3,...}, Z = {. {.., 3,,, 0,,, 3,...}, } Q = b ;, b Z, b 0. A som e o produto em Q são ddos, respectivmente, por: b + c d b c d := d + bc bd := c bd. Chmmos dição operção que cd pr (x, y) Q Q ssoci su som x + y Q e chmmos multiplicção operção que cd pr (x, y) Q Q ssoci seu produto x y Q. A tern (Q, +, ), ou sej, Q munido ds operções + e stisfz s proprieddes de um corpo. Isto quer dizer que vlem s proprieddes seguintes: (A) (ssocitiv) (x + y) + z = x + (y + z), pr quisquer x, y, z Q ;

8 (A) (comuttiv) x + y = y + x, pr quisquer x, y Q ; (A3) (elemento neutro) existe 0 Q tl que x + 0 = x, pr todo x Q ; (A4) (oposto) pr todo x Q, existe y Q (y = x), tl que x + y = 0 ; (M) (ssocitiv) (xy)z = x(yz), pr quisquer x, y, z Q ; (M) (comuttiv) xy = yx, pr todo x, y Q ; (M3) (elemento neutro) existe Q, tl que x = x, pr todo x Q ; (M4) (elemento inverso) pr todo x Q, x 0, existe y Q, ( y = x), tl que x y = ; (D) (distributiv d multiplicção) x(y + z) = xy + xz, x, y, z Q. Apens com ests 9 proprieddes podemos provr tods s operções lgébrics com o corpo Q. Vmos enuncir lgums e demonstrr outrs seguir. Proposição. (Lei do Cncelmento). Em Q, vle x + z = y + z = x = y. Prov. x + z = y + z +( z) = (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z) (A) = x + (z + ( z)) = y + (z + ( z)) (A4) = x + 0 = y + 0 (A3) = x = y. As seguintes proposições seguem d Lei do Cncelmento. Proposição.. O elementos neutros d dição e d multiplicção são únicos. Proposição.3. O elemento oposto e o elemento inverso são únicos. Proposição.4. Pr todo x Q, x 0 = 0. Proposição.5. Pr todo x Q, x = ( )x.

9 Definição.. Diremos que { b Q é não-negtivo, se b N positivo, se b N e 0 e diremos que b Q é não-positivo, se não for positivo b negtivo, se não for não-negtivo. b Definição.. Sejm x, y Q. Diremos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se existir t Q positivo tl que y = x + t. Neste mesmo cso, poderemos dizer que y é mior do que x e escrevemos y > x. Em prticulr, teremos x > 0 se x for positivo e x < 0 se x for negtivo. Se x < y ou x = y, então escreveremos x y e lemos x é menor ou igul y. D mesm form, se y > x ou y = x, então escreveremos y x e, neste cso, lemos y é mior ou igul x. Escreveremos x 0 se x for não-negtivo e x 0 se x for não-positivo. A quádrupl ( Q, +,, ) stisfz s proprieddes de um corpo ordendo, ou sej, lém ds proprieddes nteriores, tmbém vlem s proprieddes seguintes: (O) (reflexiv) x x, pr todo x Q ; (O) (nti-simétric) x y e y x = x = y, pr quisquer x, y Q ; (O3) (trnsitiv) x y, y z = x z, pr quisquer x, y, z Q ; (O4) Pr quisquer x, y Q, x y ou y x ; (OA) x y = x + z y + z ; (OM) x y e z 0 = xz yz. Proposição.6. Pr quisquer x, y, z, w no corpo ordendo Q, vlem () x y z w } = x + z y + w. 3

10 (b) 0 x y 0 z w } = xz yw. Prov. Vmos provr o ítem (b). 0 x y 0 z w } (OM) = xz yz yz yw } (O3) = xz yw Outrs proprieddes: Sejm x, y, z, w Q. Então vlem x < y x + z < y + z; z > 0 z > 0; z > 0 z < 0; Se z > 0, então x < y xz < yz; Se z < 0, então x < y xz > yz; 0 x < y 0 z < w } = xz < yw; 0 < x < y 0 < y < x ; (tricotomi) x < y ou x = y ou x > y; (nulmento do produto) xy = 0 x = 0 ou y = 0.. Os Números Reis Os números rcionis podem ser representdos por pontos em um ret horizontl ordend, chmd ret rel. 4

11 Se P por representção de um número rcionl x, diremos que x é bsciss de P. Nem todo ponto d ret rel é rcionl. Considere um qudrdo de ldo e digonl d. Pelo Teorem de Pitágors, d = + =. Sej P intersecção do eixo x com circunferênci de rio d. d 0 P x Mostrremos que P é um ponto d ret com bsciss x Q. Proposição.7. Sej Z. Temos () Se for ímpr, então é ímpr; (b) Se for pr, então é pr. Prov. () Se for ímpr, então existe k Z tl que = k +. Dí segue que = (k + ) = 4k + 4k + = (k } {{ + k } ) + = l +, l onde l = k + k, e portnto tmbém será ímpr. (b) Suponh, por bsurdo, que não é pr. Logo é ímpr. Então, pel Proposição.7 (), tmbém é ímpr, o que contrdiz hipótese. Portnto é pr necessrimente. 5

12 Proposição.8. A equção x = não dmite solução em Q. Prov. Suponhmos, por bsurdo, que x = tem solução em Q. Então podemos tomr x = b com, b Z e b irredutível. Logo ( b ) =, ou sej, = b e portnto é pr. Segue d Proposição.7 (b) que tmbém é pr. Portnto existe k Z tl que = k. Ms = b = k } = b = 4k = b = k. Portnto b é pr e, pel Proposição.7 (b), b tmbém é pr. Ms isto implic que b é redutível (pois e b são divisíveis por ) o que é um contrdição. Portnto não existe ( b b Q tl que ) =. Denotmos o conjunto dos números reis por R. Temos R Q e todo número rel que não é rcionl é dito irrcionl. Em R, definimos um dição (+), um multiplicção ( ) e um relção de ordem ( ). Então quádrupl ( R, +,, ) stisfz s condições (A) (A4), (M) (M4), (D), (O) (O4), (OA) e (OM) como n seção nterior e portnto é um corpo ordendo. Pr resolver um equção em x é necessário encontrr o conjunto dos números reis x que stisfzem equção. Pr resolver um inequção em x é necessário encontrr o conjunto dos números reis x que stisfzem desiguldde. Exemplo.. A inequção x < 4 result em x < 6. Exemplo.. Resolv inequção 3(4 x). Multiplicndo mbos os ldos d desiguldde por, temos 4 x 4. Subtrindo 4 result 3 em x 8 e multiplicndo por obtemos x 8. Exemplo.3. Resolv inequção πx + 79 < 4x +. Vmos começr dicionndo o oposto de x dos dois ldos d inequção. Assim πx x < 4x x 6

13 ou sej πx 4x < 79 que tmbém pode ser escrit como (π 4)x < 78. Agor multiplicremos últim inequção pelo inverso de π 4, que é negtivo. Obtemos, então, ou sej Exemplo.4. Qul é o sinl de x + x x > 78 π 4 x > 78 4 π. em função de x? O numerdor é positivo qundo x >, negtivo qundo x < e zero qundo x =. O denomindor é positivo qundo x <, negtivo qundo x > e zero qundo x =. Portnto frção será positiv qundo < x <, negtiv qundo x < ou x > e zero qundo x =. Exercício: Resolv inequção x + x 4 < 0. [R : < x < 4]..3 Módulo de um Número Rel Definição.3. Sej x R. O módulo ou vlor bsoluto de x é ddo por { x = x, x 0 x, x < 0. Segue d definição cim que x 0 e x x x, pr todo x R. Exemplo.5. Mostre que x = x, ou sej, o qudrdo de um número rel não mud qundo se troc seu sinl. 7

14 Lembre que x signific riz qudrd positiv de x. Logo, segue do Exemplo.5 que x = x Exemplo.6. A equção x = r, com r 0, tem como soluções os elementos do conjunto {r, r}. O resultdo do Exemplo.6 pode ser generlizdo como no exemplo seguinte. Exemplo{.7. A equção x b = r, com r 0 e 0, tem como soluções os elementos do b + r conjunto, b r }. Exemplo.8. Resolv equção x + = 3. Temos x + = 3 ou x + = 3, o que nos lev à solução x = ou x =. Sejm P e Q dois pontos d ret rel de bscisss x e y respectivmente. Então distânci de P Q (ou de x y) é dd por x y. Assim x y é medid do segmento P Q. Em prticulr, como x = x 0, então x é distânci de x 0. O próximo exemplo diz que distânci de x 0 é menor do que r, com r > 0, se e somente se x estiver entre r e r. Exemplo.9. Sej com r > 0. Então x < r r < x < r. Suponhmos que x < r. Anlisndo o sinl de x, temos x 0 = r > x = x, x < 0 = r > x = x = r < x. Portnto r < x < r. Agor suponhmos que r < x < r. Então, x 0 = x = x < r, x < 0 = x = x < r. 8

15 Portnto, x < r. A seguinte figur ilustr o significdo geométrico do exemplo. ( r x < r 0 ) r x Agor, vmos generlizr o Exemplo.9. Exemplo.0. Resolv inequção x b < r n vriável x, com r > 0 e 0. De form similr o exemplo nterior, r < x b < r. Somndo b os termos d inequção obtemos b r < x < b + r. Logo, > 0 = b r < 0 = b + r < x < b + r ; < x < b r. Como cso prticulr do Exemplo.0, se distânci de x p for menor do que r, isto é, x p < r, r > 0, então x estrá entre p r e p + r. Geometricmente, ( p r x p < r p ) p + r x Exemplo.. Pr quisquer x, y R, vle xy = x y. Temos que xy = (xy) = x y = x y = ( x y ). Como xy 0 e x y 0 result xy = x y. 9

16 Exemplo. (Desiguldde tringulr). Pr quisquer x, y R, vle x + y x + y. Somndo x x x e y y y obtemos x y x + y x + y. Exemplo.3. Descrev o vlor de x + + x sem utilizr o módulo. { Se x, então x + = x + x = x e, portnto, x + + x = x + + x = x. { Se x <, então x + = x + x = x + e, portnto, x+ + x = x+ x+ =. { Se x <, então x + = x x = x + e, portnto, x+ + x = x x+ = x. x, x Logo x + + x =, x < x, x <. Definição.4. Um intervlo em R é um subconjunto de R que tem um ds seguintes forms: [, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : < x < b } [, b) = { x R : x < b }, (, b] = { x R : < x b }, (, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : x < b }, [, + ) = { x R : x }, (, + ) = { x R : < x }, (, + ) = R. Intervlo fechdo, Intervlo berto, Exemplo.4. { x R : x 3 < x + } = { x R : x < 4 } = (, 4). 0

17 .4 *Limitção de Subconjuntos de R Definição.5. Um conjunto A R será dito itdo, se existir L > 0 tl que x L, pr todo x A. Proposição.9. Um conjunto A R será itdo se, e somente se, existir L > 0 tl que A [ L, L]. Exemplo.5. () A = [0, ] é itdo (b) N não é itdo (será mostrdo mis trde) { } n (c) B = : n N é itdo n { } n (d) C = : n N é itdo. n Definição.6. Um conjunto A R será dito iitdo, se ele não for itdo. Proposição.0. Um conjunto A R será iitdo se, e somente se, pr todo L > 0, existir x A tl que x > L. Definição.7. Sej A R. Diremos que A será dito itdo superiormente, se existir L R tl que x L, pr todo x A. Neste cso, L será chmdo itnte superior ou cot superior de A. A será dito itdo inferiormente, se existir l tl que x l, pr todo x A. Neste cso, l será chmdo itnte inferior ou cot inferior de A. Segundo definição cim, podemos notr que A R será itdo se, e somente se, A for itdo superiormente e inferiormente. Exemplo.6. () Considere A = [0, ). Então e 0 são itntes inferiores de A;, π e 0 são itntes superiores de A.

18 (b) N não é itdo ms é itdo inferiormente por 0, pois 0 x, pr todo x N. (c) B = {x Q : x } não é itdo, ms é itdo superiormente por L, onde L. Definição.8. Sej A R itdo superiormente (respectivmente itdo inferiormente), A. Se L R for cot superior (resp. cot inferior) de A e pr tod cot superior (resp. cot inferior) L de A, tivermos L L (resp. L L ), então L será chmdo supremo (resp. ínfimo) de A. Neste cso, escreveremos L = sup A (resp. L = inf A ). Se L = sup A A, então L será máximo (resp. mínimo de A ). Neste cso, escreveremos L = mx A (resp. L = min A ). Proposição.. Sej A R itdo superiormente, A. Então L = sup A se, e somente se, vlerem s proprieddes seguintes () L é cot superior de A. (b) Pr todo ε > 0, existe A tl que > L ε. Anlogmente temos Proposição.. Sej A R itdo inferiormente, A. Então L = inf A se, e somente se, vlem s seguintes proprieddes () L é cot inferior de A. (b) Pr todo ε > 0, existe A tl que < L + ε. Exemplo.7. () Sej A = (0, ]. Então 0 = inf A e = mx A. (b) Sej B = N. Então 0 = min N.

19 (c) Sej C = {x Q : x }. Então = sup C e = inf C. Note que, / C. Axiom. (d Completez ou do Sup). Sej A R, A. Se A for itdo superiormente, então existirá L = sup A. Proposição.3. Se A R for itdo inferiormente (superiormente), então o conjunto A = { x : x A} será itdo superiormente (inferiormente) e inf A = sup( A) (resp. sup A = inf( A)). Corolário.. Sej A R, A. Se A for itdo inferiormente, então existirá L = inf A. Corolário.. Sej A R itdo, A. Então A dmite ínfimo e supremo. Teorem. (Propriedde Arquimedin de R). Sej x 0. Então o conjunto A = {nx : n N} é iitdo. Prov. Suponhmos, primeirmente, que x > 0 e suponhmos, por bsurdo, que A sej itdo. Então existirá L = sup A pois A (por que?). Logo, ddo m N, existirá x R tl que L x < mx (vej Proposição.). Portnto L < (m + )x o que contrdiz suposição. O cso x < 0 segue de modo nálogo. Corolário.3. O conjunto dos números nturis não é itdo superiormente. Corolário.4. Pr todo ε > 0, existe n N tl que Corolário.5. Se A = n < ε. { } n : n N, então inf A = 0. Definição.9. Um vizinhnç de R é qulquer intervlo berto d ret contendo. Exemplo.8. O conjunto V δ () := ( δ, + δ), onde δ > 0, é um vizinhnç de R. Definição.0. Sejm A R e b R. Se pr tod vizinhnç V δ (b) de b existir V δ (b) A, com b, então b será dito ponto de cumulção de A. 3

20 Exemplo.9. () Sej A = (, b). Então o conjunto dos pontos de cumulção de A é [, b]. (b) Sej B = Z. Então B não tem pontos de cumulção. (c) Qulquer subconjunto finito de R não dmite pontos de cumulção. Exercício: Mostre que se um conjunto A R tiver um ponto de cumulção, então A será um conjunto com infinitos elementos. Definição.. Sej B R. Um ponto b B será dito um ponto isoldo de B, se existir δ > 0 tl que V δ (b) não contém pontos de B distintos de b. Exemplo.0. () Sej B = {, /, /3,...}. Então o conjunto dos pontos de cumulção de B é {0} e o conjunto dos pontos isoldos de B é o próprio conjunto B. (b) O conjunto Z possui pens pontos isoldos. Observção: Podem hver conjuntos infinitos que não possuem pontos de cumulção (por exemplo Z). No entnto, todo conjunto infinito e itdo possui pelo menos um ponto de cumulção. Pel propriedde rquimedin de R, podemos provr proposição seguinte. Proposição.4. Qulquer intervlo berto não-vzio contém um número rcionl. Dí, segue que Corolário.6. Qulquer intervlo berto não-vzio contém um número infinito de números rcionis. Proposição.5. O conjunto dos pontos de cumulção de Q é R. Exercícios: () Mostre que se r for um número rcionl não nulo, então r será um número irrcionl. 4

21 (b) Mostre que todo intervlo berto contém um número irrcionl. (c) Mostre que todo intervlo berto contém um número infinito de números irrcionis. (d) Mostre que qulquer número rel é ponto de cumulção do conjunto dos números irrcionis. 5

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23 Cpítulo Funções. Noções Geris O objeto fundmentl do cálculo são s funções. As funções surgem qundo um quntidde depende de outr. Por exemplo, áre A de um círculo depende de seu rio r. A lei que relcion r com A é dd por A = πr, neste cso dizemos que A é um função de r. Outros exemplos são, populção P de um determind espécie depende do tempo t, o custo C de envio de um pcote pelo correio depende de seu peso w. Definição.. Ddos dois conjuntos A, B, um função f de A em B (escrevemos f : A B ) é um lei ou regr que cd x A, ssoci um único elemento f(x) B. Temos A é chmdo domínio de f ; B é chmdo contr-domínio de f ; o conjunto Im(f) = {y B ; y = f(x), x A}. é chmdo imgem de f. Notções lterntivs. Sej f : A B um função. Podemos denotr D f = D(f) = A pr o domínio de f; f(d f ) := Im(f) pr imgem de f. 7

24 Tmbém podemos descrever ção de f ponto ponto como x A f(x) B. Convenção: Se o domínio de um função não é ddo explicitmente, então, por convenção, dotmos como domínio o conjunto de todos os números reis x pr os quis f(x) é um número rel. Definição.. Sejm f : A B um função e A, B R. O conjunto G(f) = G f = {(x, f(x)) : x A} é chmdo gráfico de f. Decorre d definição cim que G(f) é o lugr geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) R R, qundo x percorre o domínio D f. Observe que, por exemplo, um circunferênci não represent o gráfico de um função. Exemplo.. Sej f : R R. Temos () função constnte: f(x) = k; (b) função identidde: f(x) = x; (c) função liner: f(x) = x; (d) função fim: f(x) = x + b; (e) função polinomil: f(x) = 0 + x + x + + n x n = se n =, f(x) = x + bx + c é um função qudrátic, n i x i ; em prticulr, i=0 se n = 3, f(x) = x 3 + bx + cx + d é um função cúbic; (f) função potênci: f(x) = x, onde é um constnte; em prticulr, se = n, f(x) = x/n = n x, onde n é um inteiro positivo, é um função riz; temos que D f = [0, + ) se n é pr e D f = R se n é ímpr; 8

25 (g) função rcionl: f(x) = p(x) q(x) D f = {x R ; q(x) 0};, onde p(x) e q(x) são funções polinomiis. Note que (h) função lgébric: função construíd usndo operções lgébrics começndo com polinômios; por exemplo, f(x) = (x 4) x +, D f = R, g(x) = x x +, Dg x (0, + ). = Definição.3. Sejm f : A B e D A. Denotmos por f D restrição de f o subconjunto D de A. Então f D (x) = f(x), pr todo x D. Observção: Sej D R. Denotremos por I D : D D função identidde definid por I D (x) = x pr todo x D. Exemplo.. Função definid por prtes: definid de form divers em diferentes prtes de seu domínio; por exemplo, { { x se x, x se x 0, () f(x) = (b) g(x) = x = x se x > ; x se x < 0. Exemplo.3. Esboce o gráfico de f(x) = x + 3. { x + se x, Primeiro einmos o módulo. Assim, f(x) = 4 x se x <. Exemplo.4. Um fbricnte de refrigernte quer produzir lts ciĺındrics pr seu produto. A lt dever ter um volume de 360 ml. Expresse áre superficil totl d lt em função do seu rio e dê o domínio d função. Sej r o rio d lt e h ltur. A áre superficil totl (topo, fundo e áre lterl) é dd por S = πr + πrh. Sbemos que o volume V = πr h deve ser de 360 ml, temos πr h = 360, ou sej h = 360/πr. Portnto, S(r) = πr + πr360/πr = πr + 70/r. Como r só pode ssumir vlores positivos, D S = (0, + ). Exemplo.5. Esboce os gráficos de f(x) = x e g(x) = x +. 9

26 Fórmuls de trnslção: f(x) + k trnsld o gráfico de f, k uniddes pr cim se k > 0 e k uniddes pr bixo se k < 0, f(x + k) trnsld o gráfico de f, k uniddes pr esquerd se k > 0 e k uniddes pr direit se k < 0. Exemplo.6. Esboce os gráficos de f(x) = (x ) e g(x) = (x + ). Exemplo.7. Esboce o gráficos de f(x) = x + 6x + 0. Completndo o qudrdo, escrevemos f(x) = (x + 3) +. Logo, o gráfico é prábol y = x deslocd 3 uniddes pr esquerd e então um unidde pr cim.. Operções com Funções Definição.4. Dds funções f : D f R e g : D g R e ddo x D f D g, podemos definir lgums operções com funções: som: (f + g)(x) = f(x) + g(x); produto: (fg)(x) = f(x)g(x); ( ) f quociente: (x) = f(x), se g(x) 0. g g(x) Exemplo.8. Se f(x) = 7 x e g(x) = x, então D f D f D g = [, 7]. Temos que, = (, 7], D g = [, + ) e () (f + g)(x) = 7 x + x x 7, (b) (fg)(x) = 7 x x = (7 x)(x ) x 7, ( f ) 7 x 7 x (c) (x) = = < x 7. g x x 0

27 Definição.5. Dds funções f : D f R e g : D g R, com Imf D g, definimos função compost h : D f R por h(x) = g(f(x)), pr todo x D f. Neste cso, escrevemos h = g f. Exemplo.9. Se f(x) = x + e g(x) = x + 3x, então () g f(x) = g(x + ) = (x + ) + 3(x + ) = 4x + 0x + 4, (b) f g(x) = f(x + 3x) = (x + 3x) + = x + 6x +. Observção: Em gerl, f g g f. Exemplo.0. Encontre f g h se f(x) = x x +, g(x) = x0 e h(x) = x + 3. f g h(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3) 0 ) = (x + 3)0 (x + 3) 0 +. Exercício: Se f(x) = x e g(x) = x, encontre e determine o domínio ds funções: () f g(x) = 4 x, D f g = (, ] (b) g f(x) = (c) f f(x) = 4 x, D f f = [0, + ) (d) g g(x) = x, D g f = [0, 4] x, D g g = [, ]..3 Definições Adicionis No que segue, considerremos f : D f R um função. Definição.6. Diremos que f é pr se, e somente se, f( x) = f(x), pr todo x D f ; f é ímpr se, e somente se, f( x) = f(x), pr todo x D f.

28 Observção: O significdo geométrico de um função pr é que seu gráfico é simétrico em relção o eixo y e de um função ímpr é que seu gráfico é simétrico em relção à origem. Exemplo.. f(x) = x é pr; função identidde I(x) = x é ímpr; f(x) = x x não é nem pr nem ímpr. Exercício: Determine se função é pr, ímpr ou nenhum desses dois. () f(x) = x 5 + x, (b) f(x) = x 4, (c) f(x) = 3x + x +. Definição.7. Sej ω 0. Então f será dit periódic de período ω ou ω-periódic se, e somente se, tivermos f(x) = f(x + ω), pr todo x D f. Em prticulr, se existir um menor ω 0 positivo tl que f sej ω 0 -periódic, então diremos que ω 0 será o período mínimo de f. Proposição.. Sejm c 0 ω. Se f : R R for ω-periódic, então serão válids s firmções: () f é nω-periódic pr todo inteiro não nulo n. (b) g : R R definid por g(x) = f(cx) é ω/c-periódic. Exemplo.. () f(x) = x [x], onde [x] = mx{n Z : n x} é função mior inteiro, é -periódic e o período mínimo de f é. Note que [x + ] = [x] +. {, se x Q (b) f(x) = é r-periódic pr cd r Q\{0}. Então f não tem período 0, se x R\Q mínimo. Definição.8. Diremos que f : D f B f é sobrejetor se, e somente se, Im(f) = B. f é injetor se, e somente se, f(x ) = f(x ) = x = x, pr quisquer x, x D f.

29 f é bijetor se, e somente se, f for injetor e sobrejetor. Observção: Note que f será injetor se, e somente se, x x = f(x ) f(x ), pr quisquer x, x D f. Exemplo.3. A função módulo f(x) = x não é injetor pois, por exemplo, = e. f não é sobrejetor pois Im(f) = R + R. Agor, considerndo f R + : R + R + função será bijetor. Observção: Se tommos B = Im(f) então f sempre será sobrejetor. Definição.9. Um função f : A B será dit invertível, se existir g : B A (denotd por f ) tl que g f = I A e f g = I B. Proposição.. Um função f : A B será invertível se, e somente se, f for bijetor. Neste cso, função invers está definid por f (y) = x f(x) = y, y B. Exemplo.4. A função f(x) = x 3 é injetor e su invers é f (x) = x /3. Observção: f (x) não signific Pr chr função invers:. Escrev y = f(x). f(x) = [f(x)].. Resolv ess equção pr x em termos de y. 3. Troque x por y pr expressr f como função de x. Exemplo.5. Clcule f pr função f(x) = + 3x,. Escrevemos y = +3x. Resolvemos pr x, ou sej, x = y. E substituindo y por x, obtemos 3 f (x) = x. 3 3

30 Exercício: Determine função invers de: () f(x) = x ; (b) f(x) = x 3 +. Observção: Note que G(f ) = { (y, f (y)) : y B } = {(f(x), x) : x A}. Com isto, fic fácil verificr que G(f ) é reflexão de G(f) em torno d ret y = x. Exercício: Esboce os gráficos de f(x) = x e de su função invers. Definição.0. Diremos que f é itd se, e somente se, o conjunto Im(f) for itdo. Cso contrário, função f será dit iitd. Se A A, então f será itd em A se, e somente se, restrição f A for itd. Observção: Segue d Definição.0 que se existir L > 0 tl que f(x) L, pr todo x D f, ou, equivlentemente, se existirem L, l R tis que l f(x) L, pr todo x D f, então f será itd. Exemplo.6. () f(x) = x x é itd; (b) f(x) = x4 x 4 + é itd; (c) f(x) = x é iitd. 4

31 Definição.. Definimos sup(f) = sup{f(x) : x D f }. inf(f) = inf{f(x) : x D f }. Se sup(f) = f(x 0 ) pr lgum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o máximo de f ou o vlor máximo de f. O ponto x 0 será chmdo ponto de máximo de f. Se inf(f) = f(x 0 ) pr lgum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o mínimo de f ou o vlor mínimo de f. O ponto x 0 será chmdo ponto de mínimo de f. Definição.. Definimos Se vler implicção x < y = f(x) < f(y), então f será estritmente crescente. Se vler implicção x < y = f(x) f(y), então f será crescente. Se vler implicção x < y = f(x) > f(y), então f será estritmente decrescente. Se vler implicção x < y = f(x) f(y), então f será decrescente. Definição.3. Se f : A B stisfizer um ds condições d Definição., diremos que f é um função monóton ou monotônic. Exemplo.7. f(x) = x é estritmente crescente pr x > 0 e estritmente decrescente pr x < 0. Exemplo.8. f(x) = x + x é estritmente decrescente. Observe que se x < y então f(x) = + x > + y = f(y)..4 Funções Trigonométrics Sbemos que em um triângulo retângulo de hipotenus e ângulos gudos B e Ĉ opostos, respectivmente, os ctetos b e c, temos 5

32 Ĉ B c b cos B = c, cos Ĉ = b, sen B = b, sen Ĉ = c. Ests relções definem o seno e cosseno de um ângulo gudo, pois todo ângulo gudo é um dos ângulos de um triângulo retângulo. Note que sen B e cos B dependem pens do ângulo B e não do tmnho do triângulo. Segue do Teorem de Pitágors que = b + c = sen B + cos B = (sen B + cos B). Logo = sen B + cos B. (.) É clro que o seno e o cosseno de um ângulo gudo são números compreendidos entre 0 e. A relção (.) sugere que pr todo ângulo α, os números cos α e sen α são s coordends de um ponto d circunferênci de rio e centro n origem de R. Usremos isto pr estender s funções cosseno e seno pr ângulos for do intervlo (0, π/). Observção: Sempre que flrmos ds funções seno e cosseno os ângulos serão sempre medidos em rdinos. Temos que πrd = 80 o. Se considerrmos circunferênci unitári centrd n origem do R e mrcrmos, prtir do eixo x, um ângulo t, então poderemos definir sen t e cos t de form que s coordends do ponto P sejm (cos t, sen t). P = (cos t, sen t) Q = (cos α, sen α) t α Assim, sen t e cos t coincidem com definição originl se 0 < t < π/ e podem ser estendids pr qulquer t R, se mrcrmos ângulos positivos no sentido nti-horário e ângulos negtivos 6

33 no sentido horário. Proposição.3 (Proprieddes). () O seno é positivo no primeiro e segundo qudrntes e negtivo no terceiro e qurto qudrntes. (b) O cosseno é positivo no primeiro e qurto qudrntes e negtivo no segundo e terceiro qudrntes. (c) O seno e cosseno são funções π-periódics com imgem no intervlo [, ]. (d) O cosseno é um função pr e o seno é um função ímpr. ( π ) ( π ) (e) sen t = cos t e cos t = sen t. ( π ) (f) sen t = cos + t ( π ) e cos t = sen + t. (g) sen t = sen(π t) e cos t = cos(π t). (h) sen t = sen(π + t) e cos t = cos(π + t). ( π ) ( π ) (i) sen(0) = cos = 0 e cos(0) = sen =. Proposição.4 (Fórmuls de Adição). () cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α)sen(β). (b) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α). Trocndo β por β e utilizndo pridde ds funções temos (c) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β). (d) sen(α β) = sen(α) cos(β) sen(β) cos(α). A prtir ds fórmuls de dição deduzimos Proposição.5 (Arco Duplo). () cos(α) = cos (α) sen (α). 7

34 (b) sen(α) = sen(α) cos(α). A prtir ds fórmuls do rco duplo e d identidde cos α + sen α = deduzimos Proposição.6 (Arco Metde). + cos(α) () cos(α) = ±. cos(α) (b) sen(α) = ±. A prtir ds fórmuls de dição obtemos Proposição.7 (Trnsformção de Produto em Som). () cos(α) cos(β) = cos(α + β) + cos(α β), [somndo () e (c) d Proposição.4]. (b) sen(α)sen(β) = cos(α + β) cos(α β), [subtrindo () e (c) d Proposição.4]. (c) sen(α) cos(β) = sen(α + β) sen(α β) [subtrindo (b) e (d) d Proposição.4]. Proposição.8 (Trnsformção de Som em Produto). ( α + β () sen (α) + sen (β) = sen ( α + β (b) cos(α) + cos(β) = cos ) cos ) cos ( α β ( α β ). ). Prov. () Escrev α = α + β.4. + α β e β = α + β α β e utilize (b) e (d) d Proposição (b) Escrev α e β como n prte () e utilize () e (c) d Proposição.4. De mneir nálog temos Proposição.9 (Trnsformção de Subtrção em Produto). ( α β ) () sen (α) sen (β) = sen cos ( α + β ). 8

35 ( α + β ) (b) cos(α) cos(β) = sen sen Definição.4. Definimos ( α β tg(α) = sen(α), D(tg) = {α : cos α 0} cos(α) cotg(α) = cos(α), D(cotg) = {α : senα 0} sen(α) cosec(α) =, D(cosec) = {α : senα 0} sen(α) sec(α) =, D(sec) = {α : cos α 0} cos(α) ). Exercício: Dê um significdo geométrico pr tg(α), cotg(α), sec(α) e cosec(α). Exercício: Esboce os gráficos ds funções tg, cotg, sec e cosec. Exercício: Clssifique s funções trigonométrics em pr, ímpr, periódic, itd..5 Funções Exponenciis e Logrítmics Definição.5. Sej > 0,. A função f(x) = x é chmd função exponencil de bse. Vejmos o que isso signific. Se x = n, um inteiro positivo, então n = } {{ }. n vezes Se x = 0, então 0 =. Se x = n, onde n é um inteiro positivo, então n = n. Se x = p q, onde p e q são inteiros e q > 0, então p/q = q p = ( q ) p. 9

36 Se x for um número irrcionl. Considere o cso >, então x é o único número rel cujs proximções por flt são s potêncis r, com r rcionl menor do que x e cujs proximções por excesso são s potêncis s, com s rcionl mior do que x. Em outrs plvrs, x stisfz seguinte propriedde: r < x < s, com r, s Q = r < x < s. Se <, x stisfz: r < x < s, com r, s Q = s < x < r. Dest form, se olhmos o gráfico d função x onde x rcionl, os burcos correspondentes os vlores irrcionis de x, form preenchidos de form obter um função crescente pr todos os números reis. Proposição.0 (Proprieddes). Sejm e b números positivos e x e y números reis quisquer, então () x+y = x y, (b) ( x ) y = xy, (c) (b) x = x b x, (d) Se > função exponencil é estritmente crescente, ou sej, se x < y então x < y. (e) Se 0 < < função exponencil é estritmente decrescente, ou sej, se x < y então x > y. ( ) x. Exercício: Esboce o gráfico d funções exponenciis f(x) = x e f(x) = Como função exponencil é ou crescente ou decrescente, existe função invers. Definição.6. A função invers d função exponencil é chmd função logrítmic com bse e denotd por log. Assim, log x = y y = x. 30

37 Observção: Note que log x está definido pr x > 0, > 0 e. Além disso stisfz log ( x ) = x, x R e log x = x, x > 0. Proposição. (Proprieddes). Sejm > 0,, b > 0, b. Então são válids s seguintes proprieddes () log xy = log x + log y, (b) log x y = y log x, (c) log x y = log x log y, (d) Se > função logrítmic é estritmente crescente, ou sej, se x < y, então log x < log y, (e) Se 0 < < função logrítmic é estritmente decrescente, ou sej, se x < y, então log x > log y, (f) (Mudnç de bse) log x = log b x log b. Exercício: Esboce o gráfico d funções logrítmics f(x) = log x e f(x) = log x. A função exponencil de bse e onde e, 788, f(x) = e x, desempenh um ppel importnte no cálculo. Definição.7. A função logrítmic com bse e é chmd logritmo nturl e denotd por log e x = ln x. Observe que como ln(e x ) = x, tomndo x = temos que ln e =. Há vris forms de introduzir o número e. No cpítulo seguinte o definiremos como um ite. Mis dinte vmos definir o logritmo nturl utilizndo integris, nesse cso, o número e será o único número stisfzendo ln e =..6 *Seqüêncis Nest seção, considerremos um cso prticulr de funções que são s seqüêncis. 3

38 Definição.8. Um seqüênci é um função definid no conjunto dos números nturis e com vlores reis, ou sej, f : N R. Note que cd número nturl é levdo em um único número rel N f R f() f() 3 f(3).. Se denotmos f(n) por x n, então seqüênci f estrá unicmente determind pel list de números {x, x, x 3,...} ou, brevidmente, por {x n }. Dest form, dotremos notção {x n } ou {x, x, x 3,...} pr representr um seqüênci. O número x n é chmdo elemento de um seqüênci e o conjunto imgem de f, Im(f), é chmdo conjunto dos vlores de um seqüênci. Como um seqüênci é um função prticulr, então estão definids s operções de som, multiplicção por esclr, produto e quociente de seqüêncis. Exercício: Escrev s definições de som, multiplicção por esclr, produto e quociente de seqüêncis. Exemplo.9. Temos () f : N R dd por f(n) = n ou {n} ou {0,,, 3,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é N. (b) f : N R dd por f(n) = { } n + ou ou {, n +, 3, 4 },... é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {,, 3, 4 },.... (c) f : N R dd por f(n) = ( ) n ou {( ) n } ou {,,,,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {, }. (d) f : N R dd por f(n) = n { } n n + ou ou {0, n +, 3, 34 },... é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {0,, 3, 34 },.... 3

39 (e) f : N R dd por f(n) = r n ou {r n } ou {, r, r, r 3,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {, r, r, r 3,...} ( progressão geométric)..6. Limite de um Seqüênci Note que seqüênci {0,, 3, 34,... } tem propriedde de que qunto mior for vriável n, mis próximo { o vlor } d seqüênci em n n n,, fic de. Neste cso, diremos que o ite d seqüênci é e seqüênci n + n + é dit convergente com ite. É preciso dr um definição mis precis d noção de ite de um seqüênci. Definição.9. Um seqüênci {x n } será dit convergente com ite l se, ddo ε > 0, existir um nturl N = N(ε) tl que x n l < ε, n N. Neste cso, escreveremos x n = l n e leremos o ite de x n qundo n tende pr infinito é l. { } Exemplo.0. Mostre que seqüênci é convergente com ite 0. n Ddo ε > 0, pegue um nturl N que sej mior do que /ε. Todo elemento d seqüenci, prtir do N-ésimo, terá distânci menor que ε de 0. E, como isto pode ser feito pr qulquer ε positivo, seqüenci converge pr zero. Exemplo { }.. Mostre que, pr quisquer constntes k e k positivs, seqüenci n + k é convergente com ite. n + k Pr encontrrmos N, tentremos resolver inequção ε < n + k n + k < + ε 33

40 que diz que o n-ésimo elemento está próximo de por um distânci menor do que ε. Temos ( ε)(n + k ) < n + k < ( + ε)(n + k ) n( ε) + k ( ε) < n + k < n( + ε) + k ( + ε) isto é, n( ε) + k ( ε) < k < nε + k ( + ε). (.) Desenvolvendo prte esquerd de (.), obtemos n( ε) < k k ( ε), ou sej, Desenvolvendo prte direit de (.), obtemos n > k k ( ε). (.3) ε nε > k k ( + ε) e, portnto, n > k k ( + ε). (.4) ε Estes resultdos ((.3) e (.4)) indicm que podemos stisfzer definição de convergênci k k ( ε) k k ( + ε) pegndo um N nturl que sej mior que mbos e. ε ε Exercício: Sej {x n } um seqüênci convergente com ite l. Mostre que seqüênci {cos x n } será convergente com ite cos l. O próximo resultdo diz que, se um seqüênci for convergente, então o ite será único. Proposição.. Sej {x n } um seqüênci convergente. Se então l = l. Exercício: Mostre que seqüênci x n = l e x n = l, n n { n sen } é convergente com ite. n 34

41 Definição.0. Um seqüênci será dit divergente, se el não for convergente. Definição.. Se h : N R for um função estritmente crescente e f : N R for um seqüênci, então função f h : N R será dit um subseqüênci de f. Exemplo.. () Sejm h(n) = n e {x n } um seqüênci. Então {x n } é um subseqüênci de {x n } chmd subseqüênci dos pres. (b) Sej h(n) = n + e {x n } um seqüênci. Então {x n+ } é um subseqüênci de {x n } chmd subseqüênci dos ímpres. (c) Sej h(n) = n + p, p N, e {x n } um seqüênci. Então {x n+p } é um subseqüênci de {x n }. (d) A subseqüênci dos pres (ímpres) d seqüênci {( ) n } é seqüênci constnte {} (resp. { }). Proposição.3. Se {x n } for um seqüênci convergente com ite l, então tod subseqüênci de {x n } será convergente com ite l. A Proposição.3 é importnte pois implic no seguinte critério negtivo de convergênci que é bstnte utilizdo. Proposição.4. Se um seqüênci possuir dus subseqüêncis convergentes com ites distintos, então seqüênci será divergente. Exemplo.3. A seqüênci {( ) n } é divergente. Definição.. Um seqüênci será dit itd se o seu conjunto de vlores for itdo. Cso contrário, seqüênci será dit iitd. Observção: Note que Definição. é coerente com definição de função itd dd nteriormente (Definição.0). Exemplo.4. () A seqüênci { } n é itd. n + 35

42 (b) A seqüênci {( ) n } é itd. { (c) A seqüênci cos } é itd. n (d) A seqüênci {n} é iitd. Proposição.5. Tod seqüênci convergente é itd. Observção: Note que, pesr de tod seqüênci convergente ser itd, nem tod seqüênci itd é convergente (por exemplo, {( ) n } é itd, ms não é convergente). Proposição.6. Sej {x n } um seqüênci. Então {x n } será convergente com ite 0 se, e somente se, { x n } for convergente com ite 0. Observção: Mostrremos mis trde que se {x n } é convergente com ite l então { x n } é convergente com ite l ms não é verdde que se { x n } é convergente então {x n } é convergente (bst ver o que ocorre com seqüênci {( )} n ). Exemplo.5. Considere seqüênci {r n }. Temos () {r n } é convergente com ite 0, se r < ; (b) {r n } é convergente com ite, se r = ; (c) {r n } é divergente, se r = ou r >. Sugestão: Mostre que se r >, então { r n } será iitd. Proposição.7. Se {x n } for convergente com ite 0 e {y n } for itd, então {x n y n } será convergente com ite 0. Exemplo.6. A seqüênci { } n cos n é convergente com ite 0. Proposição.8. Tod seqüênci {x n } crescente (respectivmente decrescente) e itd é convergente com ite sup{x n : n N} (resp. inf{x n : n N}). Exercício: Mostre que seqüênci {x n } dd por x =, x n = + x n, n, é convergente e encontre o seu ite. Proposição.9 (Proprieddes). Sejm {x n } e {y n } seqüêncis convergentes com ites l e l respectivmente e sej c R. Então 36

43 () {cx n + y n } é convergente com ite cl + l (b) {x n y n } é convergente com ite l l (c) {x n /y n } é convergente com ite l /l, sempre que l 0. Proposição.0. Sejm B R e b R um ponto de cumulção de B. Então existe um seqüênci {b n } com b n B, b n b e n b n = b. Proposição.. Se {x n } for um seqüênci convergente e x n 0, pr todo n N, então x n 0. n Prov. Suponh que n x n = l. Então ddo ε > 0, existe N N tl que l ε < x n < l + ε, n N. Ms x n 0 por hipótese. Portnto l ε < x n 0, n N, ou sej, l < ε. Segue d rbitrriedde de ε que l 0 e prov está concluíd. Corolário. (Teste d comprção). Se {x n } e {y n } forem seqüêncis convergentes e x n y n pr todo n N, então x n y n. n n Proposição. (Teorem do Confronto). Sejm {x n } e {y n } dus seqüêncis convergentes com mesmo ite l. Se {z n } é um seqüênci tl que x n z n y n, n N, então {z n } é convergente com ite l. Prov. Ddo ε > 0, sej N N tl que l ε x n z n y n l + ε, n N. Então vle z n l < ε pr todo n N e, portnto, n z n = l. Isto conclui prov. 37

44 Vmos considerr três tipos de s seqüêncis divergentes: quels que divergem pr +, quels que divergem pr, quels que são itds ms não são convergentes. Vejmos. Definição.3. Diremos que um seqüênci {x n } diverge pr + se, ddo R > 0, existir N N tl que x n > R, pr todo n N. Neste cso, escrevemos n x n = +. Diremos que um seqüênci {x n } diverge pr se, ddo R > 0 existir N N tl que x n < R, pr todo n N. Neste cso, escrevemos n x n =. Diremos que um seqüênci {x n } oscil, se el não for convergente e não divergir pr + ou pr. Exemplo.7. () { n } diverge pr +, ou sej, n n = +. (b) { n} diverge pr, ou sej, n n = (c) { + sen n} e {( ) n } oscilm. 38

45 Cpítulo 3 Limite e Continuidde 3. Noção Intuitiv Vmos estudr o comportmento de um função f(x) pr vlores de x próximos de um ponto p. Consideremos, por exemplo, função f(x) = x +. Pr vlores de x próximos de, f(x) ssume os seguintes vlores: x x + x x +, 5, 5 0, 5, 5,, 0, 9, 9, 0, 0 0, 99, 99, 00, 00 0, 999,

46 f(x) tende f(x) = x + qundo x tende x D tbel vemos que qundo x estiver próximo de (de qulquer ldo de ) f(x) estrá próximo de. De fto, podemos tomr os vlores de f(x) tão próximos de qunto quisermos tomndo x suficientemente próximo de. Expressmos isso dizendo que o ite d função f(x) = x + qundo x tende é igul. Definição 3. (Intuitiv). Escrevemos f(x) = L x p e dizemos o ite de f(x), qundo x tende p, é igul L se pudermos tomr vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L tomndo x suficientemente próximo de p, ms não igul p. Observção: Ao procurr o ite qundo x tende p não considermos x = p. Estmos interessdos no que contece próximo de p e função f(x) nem precis estr definid pr x = p. Consideremos o seguinte exemplo. Exemplo 3.. Encontre x x x. Observe que f(x) = x x não está definid qundo x =. Temos que pr x, x x = (x )(x + ) x 40 = x +.

47 Como os vlores ds dus funções são iguis pr x, então os seus ites qundo x tende tmbém. Portnto, x x x =. x se x Exemplo 3.. Sej f(x) = x Determine o ite qundo x tende. 0 se x =. Observe que pr x função f(x) é igul à função do exemplo nterior, logo x f(x) =, o qul não é o vlor d função pr x =. Ou sej, o gráfico dest função present um quebr em x =, neste cso dizemos que função não é contínu. Definição 3.. Um função f é contínu em p se f(p) está definid, x p f(x) existe, x p f(x) = f(p). Se f não for contínu em p, dizemos que f é descontínu em p. Exemplo 3.3. () A função f(x) = x + é contínu em x =. (b) A função f(x) = x não é contínu em x = pois não está definid nesse ponto. x x se x (c) A função f(x) = x não é contínu em x = pois f(x) = x 0 se x = 0 = f(). 3. Definições Nest seção vmos dr definição precis de ite. Consideremos seguinte função f(x) = { x se x 3 6 se x = 3. 4

48 Intuitivmente vemos que x 3 f(x) = 5. Quão próximo de 3 deverá estr x pr que f(x) difir de 5 por menos do que 0,? A distânci de x 3 é x 3 e distânci de f(x) 5 é f(x) 5, logo nosso problem é chr um número δ tl que se x 3 < δ, ms x 3 = f(x) 5 < 0,. Se x 3 > 0 então x 3. Logo um formulção equivlente é chr um número δ tl que Note que se 0 < x 3 < 0,, então se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < 0,. f(x) 5 = (x ) 5 = x 6 = x 3 < 0,. Assim respost será δ = 0, = 0, 05. Se mudrmos o número 0, no problem pr um número menor 0,0, então o vlor de δ 0, 0 mudrá pr δ =. Em gerl, se usrmos um vlor positivo rbitrário ε, então o problem será chr um δ tl que se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < ε. E podemos ver que, neste cso, δ pode ser escolhido como sendo ε. Est é um mneir de dizer que f(x) está próximo de 5 qundo x está próximo de 3. Tmbém podemos escrever 5 ε < f(x) < 5 + ε sempre que 3 δ < x < 3 + δ, x 3, ou sej, tomndo os vlores de x 3 no intervlo (3 δ, 3 + δ), podemos obter os vlores de f(x) dentro do intervlo (5 ε, 5 + ε). 4

49 f(x) está qui 5 + ε 5 ε 5 { f(x) = 3 x 3 δ 3 + δ }{{} qundo x está qui x se x 3 6 se x = 3. Definição 3.3 (Limite). Sej f um função definid sobre lgum intervlo berto que contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Então dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p é L e escrevemos se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p 0 < x p < δ = f(x) L < ε. Interpretção geométric do ite. L + ε L L ε f f(p) L + ε L L ε f p δ p p + δ x p δ p p + δ x f(x) = L x p f(x) = L f(p) x p 43

50 L + ε L = f(p) L ε f f(p) f p δ p p + δ x p x f(x) = L = f(p) x p Não existe o ite de f em p Exemplo 3.4. Prove que x (3x ) = 4. Devemos fzer um nálise preinr pr conjeturr o vlor de δ. Ddo ε > 0, o problem é determinr δ tl que se 0 < x < δ = (3x ) 4 < ε. Ms (3x ) 4 = 3x 6 = 3(x ) = 3 x. Portnto, queremos 3 x < ε sempre que 0 < x < δ ou x < ε 3 sempre que 0 < x < δ. Isto sugere que podemos escolher δ = ε 3. então Provemos que escolh de δ funcion. Ddo ε > 0, escolh δ = ε. Se 0 < x < δ, 3 (3x ) 4 = 3x 6 = 3(x ) = 3 x < 3δ = 3 ε 3 = ε. Assim, (3x ) 4 < ε sempre que 0 < x < δ logo, pel definição, x (3x ) = 4. Exemplo 3.5. Prove que x p x = p. 44

51 O próximo Teorem grnte que o vlor L stisfzendo definição é único. Teorem 3. (Unicidde do Limite). Sej f um função definid sobre lgum intervlo berto que contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Suponh que Então L = L. f(x) = L e f(x) = L. x p x p Podemos dr definição precis de função contínu. Definição 3.4 (Continuidde). Sejm f um função e p D f. Então f é contínu em p se pr todo ε > 0 existe um número δ > 0, tl que x p < δ = f(x) f(p) < ε, ou sej, se e somente se, f(x) = f(p), x p Diremos que f é contínu em A D f, se f for contínu em todo ponto A. Diremos simplesmente que f é contínu, se f for contínu em todo ponto de seu domínio. Exemplo 3.6. () A função f(x) = 3x é contínu em p =. (b) A função constnte f(x) = k é contínu pr todo p. (c) A função f(x) = x + b é contínu. A seguinte propriedde será útil pr determinr ites. Proposição 3.. Sejm f e g dus funções. Se existe r > 0 tl que f(x) = g(x), p r < x < p + r, x p, e se existe x p g(x) = L, então existe f(x) e f(x) = L. x p x p 45

52 Exemplo 3.7. Clcule x x 4 x. Observe que pr x x 4 x = (x )(x + ) x = x +. Sbemos que x x + = 4. Logo, pel proposição nterior x x 4 x = 4. Exemplo 3.8. Determine L pr que função f(x) = p =. Como x x 4 x = 4 devemos tomr L = 4. x 4 x, x L, x = sej contínu em 3.3 Proprieddes do Limite Suponh que x p f(x) = L e x p g(x) = L. Então: x p ( f(x) + g(x) ) = x p f(x) + x p g(x) = L + L. x p k f(x) = k x p f(x) = k L, onde k = constnte. x p f(x) g(x) = x p f(x) x p g(x) = L L. f(x) f(x) x p g(x) = x p g(x) = L, se L 0. L x p Utilizndo propriedde do produto repetidmente obtemos: [ ] n x p [f(x)]n = f(x) = L n, x p Pr plicr esss proprieddes vmos usr os ites: onde n é um inteiro positivo. x = p e k = k, k constnte. x p x p 46

53 Exemplo 3.9. x p x n = p n, onde n é um inteiro positivo. Exemplo 3.0. Clcule x (5x 3 8), [R : 3]. x 3 + Exemplo 3.. Clcule, [R : /4]. x x + 4x + 3 (3 + h) 9 Exemplo 3.. Clcule, [R : 6]. h 0 h De form mis gerl temos s seguintes proprieddes. Sej n é um inteiro positivo, então n x = n p, se n for pr supomos que p > 0. x p n f(x) = n f(x), se n for pr supomos que f(x) > 0. x p x p x p x 3 Exemplo 3.3. Clcule x 3 x 3, [R : / 3]. t Exemplo 3.4. Clcule, [R : /6]. t 0 t Os próximos três teorems são proprieddes dicionis de ites. Teorem 3. (Teste d Comprção). Se f(x) g(x) qundo x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e os ites de f e g existem qundo x tende p, então f(x) g(x). x p x p Teorem 3.3 (do Confronto). Sejm f, g, h funções e suponh que existe r > 0 tl que f(x) g(x) h(x), pr 0 < x p < r. Se então f(x) = L = h(x) x p x p g(x) = L. x p Exemplo 3.5. Mostre que x 0 x sen x = 0. 47

54 Como sen x, multiplicndo por x temos x x sen x x. Sbemos que x 0 x = 0 = x. Então, pelo Teorem do Confronto, x sen x 0 x 0 x = 0. Exemplo 3.6. Sej f : R R tl que f(x) x, x R. () Clcule, cso exist, x 0 f(x). (b) Verifique se f é contínu em 0. Segue do Teorem do Confronto seguinte propriedde: Corolário 3.. Suponh que x p f(x) = 0 e existe M R tl que g(x) M pr x próximo de p. Então f(x)g(x) = 0. x p Exercício: Prove que x p f(x) = 0 x p f(x) = 0. Exemplo 3.7. Clcule x 0 x g(x), onde g : R R é dd por g(x) = {, x Q 0, x Q. Exercício: Clcule () x 0 x sen x ; (b) x 0 x cos x. Teorem 3.4 (d Conservção do Sinl). Suponh que x p f(x) = L. Se L > 0, então existe δ > 0 tl que pr todo x D f, 0 < x p < δ = f(x) > 0. Anlogmente, se L < 0, então existe δ > 0 tl que pt todo x D f, 0 < x p < δ = f(x) < 0. Prov. Tomr ɛ = L n definição de ite. 48

55 3.4 Limites Lteris Considere seguinte função f(x) = {, x < 0, x 0. f(x) 0 x Qundo x tende 0 pel esquerd, f(x) tende. Qunto x tende 0 pel direit, f(x) tende. Não há um número único pr o qul f(x) se proxim qundo x tende 0. Portnto, f(x) não existe. Porém, nest situção podemos definir os ites lteris. x 0 Definição 3.5 (Intuitiv). Escrevemos f(x) = L x p e dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p pel esquerd é igul L se pudermos tomr os vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L, tomndo x suficientemente próximo de p e x menor do que p. Escrevemos f(x) = L x p + e dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p pel direit é igul L se pudermos tomr os vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L, tomndo x suficientemente próximo de p e x mior do que p. 49

56 L f(x) f(x) L f x p x f(x) = L x p Definição 3.6 (Limite Lterl Esquerdo). p x f(x) = L x p + x se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p p δ < x < p = f(x) L < ε. Definição 3.7 (Limite Lterl Direito). se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p + p < x < p + δ = f(x) L < ε. Exemplo 3.8. Prove que x 0 + x = 0. Sej ε > 0. Queremos chr um δ > 0 tl que x 0 < ε sempre que 0 < x < δ, ou sej, x < ε sempre que 0 < x < δ, ou elevndo o qudrdo x < ε sempre que 0 < x < δ. 50

57 Isto sugere que devemos escolher δ = ε. Verifiquemos que escolh é corret. Ddo ε > 0, sej δ = ε. Se 0 < x < δ, então x < δ = ε, logo x 0 < ε. Isso mostr que x 0 + x = 0. x Exemplo 3.9. Clcule x 0 + x e x x 0 x. Note que f(x) = x x Portnto não está definid em 0. Temos { x x =, x > 0, x < 0. x x 0 + x = = e x x 0 x 0 x = =. x 0 Segue ds definições de ites lteris o seguinte teorem. Teorem 3.5. x p f(x) = L x p x p f(x) = f(x) = L. + Corolário 3.. Segue do Teorem 3.5 que se f dmite ites lteris em p, e então não existe x p f(x); f(x) f(x), x p + x p se f não dmite um dos ites lteris em p, então não existe x p f(x). x Exemplo 3.0. Verifique se o ite x 0 x existe. 5

58 Pelo exemplo nterior (Exemplo 3.9), x Portnto não existe x 0 x. x x 0 + x = = e x x 0 x 0 x = =. x 0 O conceito de ite lterl possibilit estender definição de continuidde pr intervlos fechdos. Definição 3.8 (Continuidde em um Intervlo Fechdo). Um função f é contínu em um intervlo fechdo [, b] se é contínu no intervlo (, b) e x x b f(x) = f() e f(x) = f(b) + Exemplo 3.. A função x é contínu no intervlo (, ]. Exercício: Clcule os ites, cso existm. () x 0 x ; (b) x 3 [x]; (c) x 4 f(x), onde f(x) = { x 4 se x > 4, 8 x se x < Proprieddes ds Funções Contínus Seguem ds proprieddes do ite, s seguintes proprieddes ds funções contínus. Sejm f e g funções contínus em p e k = constnte. Então: f + g é contínu em p. kf é contínu em p. f g é contínu em p. f g é contínu em p, se g(p) 0. Exemplo 3.. f(x) = x n, onde n N, é um função contínu. Exemplo 3.3. Tod função polinomil é contínu, pois é som de funções contínus. 5

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