Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas"

Transcrição

1 Cálculo Diferencil e Integrl - Nots de Aul Márci Federson e Gbriel Plns de mrço de 03

2

3 Sumário Os Números Reis. Os Números Rcionis Os Números Reis Módulo de um Número Rel *Limitção de Subconjuntos de R Funções 7. Noções Geris Operções com Funções Definições Adicionis Funções Trigonométrics Funções Exponenciis e Logrítmics *Seqüêncis Limite de um Seqüênci Limite e Continuidde Noção Intuitiv Definições Proprieddes do Limite Limites Lteris i

4 3.5 Proprieddes ds Funções Contínus Limites Infinitos Limites no Infinito Limites Infinitos no Infinito O Número e Outrs Proprieddes ds Funções Contínus *Limite de Funções e Seqüêncis A Derivd Motivção e Definição A Derivd Como um Função Fórmuls e Regrs de Derivção A Regr d Cdei Derivção Impĺıcit e Derivd d Função Invers Derivds de Ordens Superiores Txs Relcionds Aproximções Lineres e Diferencil Aplicções d Derivd Máximos e Mínimos O Teorem do Vlor Médio e sus Conseqüêncis Concvidde e Pontos de Inflexão Regrs de L Hospitl Polinômios de Tylor Assíntots Esboço de Gráficos de Funções Problems de Mínimos e Máximos ii

5 6 A Integrl 7 6. A Integrl de Riemnn Proprieddes d Integrl O Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo Antiderivds ou Primitivs O Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo O Logritmo Definido como um Integrl Mudnç de Vriável ou Regr d Substituição Integrção por Prtes Aplicções d Integrl Deslocmento e Espço Percorrido Cálculo de Áres Volume de Sólido de Revolução Secções Trnsversis Cscs Ciĺındrics Comprimento de Arco Áre de Superfície de Revolução Trblho Centro de Mss Técnics de Integrção Integris Trigonométrics Substituição Invers Primitivs de Funções Rcionis Denomindores Redutíveis do o Gru Denomindores Redutíveis do 3 o Gru iii

6 8.3.3 Denomindores Irredutíveis do o Gru A Substituição u = tg(x/) Integris Imprópris Intervlos Infinitos Testes de Convergênci Integrndos Descontínuos iv

7 Cpítulo Os Números Reis. Os Números Rcionis Indicmos por N, Z e Q os conjuntos dos números nturis, inteiros e rcionis respectivmente. Assim N = {0,,, 3,...}, Z = {. {.., 3,,, 0,,, 3,...}, } Q = b ;, b Z, b 0. A som e o produto em Q são ddos, respectivmente, por: b + c d b c d := d + bc bd := c bd. Chmmos dição operção que cd pr (x, y) Q Q ssoci su som x + y Q e chmmos multiplicção operção que cd pr (x, y) Q Q ssoci seu produto x y Q. A tern (Q, +, ), ou sej, Q munido ds operções + e stisfz s proprieddes de um corpo. Isto quer dizer que vlem s proprieddes seguintes: (A) (ssocitiv) (x + y) + z = x + (y + z), pr quisquer x, y, z Q ;

8 (A) (comuttiv) x + y = y + x, pr quisquer x, y Q ; (A3) (elemento neutro) existe 0 Q tl que x + 0 = x, pr todo x Q ; (A4) (oposto) pr todo x Q, existe y Q (y = x), tl que x + y = 0 ; (M) (ssocitiv) (xy)z = x(yz), pr quisquer x, y, z Q ; (M) (comuttiv) xy = yx, pr todo x, y Q ; (M3) (elemento neutro) existe Q, tl que x = x, pr todo x Q ; (M4) (elemento inverso) pr todo x Q, x 0, existe y Q, ( y = x), tl que x y = ; (D) (distributiv d multiplicção) x(y + z) = xy + xz, x, y, z Q. Apens com ests 9 proprieddes podemos provr tods s operções lgébrics com o corpo Q. Vmos enuncir lgums e demonstrr outrs seguir. Proposição. (Lei do Cncelmento). Em Q, vle x + z = y + z = x = y. Prov. x + z = y + z +( z) = (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z) (A) = x + (z + ( z)) = y + (z + ( z)) (A4) = x + 0 = y + 0 (A3) = x = y. As seguintes proposições seguem d Lei do Cncelmento. Proposição.. O elementos neutros d dição e d multiplicção são únicos. Proposição.3. O elemento oposto e o elemento inverso são únicos. Proposição.4. Pr todo x Q, x 0 = 0. Proposição.5. Pr todo x Q, x = ( )x.

9 Definição.. Diremos que { b Q é não-negtivo, se b N positivo, se b N e 0 e diremos que b Q é não-positivo, se não for positivo b negtivo, se não for não-negtivo. b Definição.. Sejm x, y Q. Diremos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se existir t Q positivo tl que y = x + t. Neste mesmo cso, poderemos dizer que y é mior do que x e escrevemos y > x. Em prticulr, teremos x > 0 se x for positivo e x < 0 se x for negtivo. Se x < y ou x = y, então escreveremos x y e lemos x é menor ou igul y. D mesm form, se y > x ou y = x, então escreveremos y x e, neste cso, lemos y é mior ou igul x. Escreveremos x 0 se x for não-negtivo e x 0 se x for não-positivo. A quádrupl ( Q, +,, ) stisfz s proprieddes de um corpo ordendo, ou sej, lém ds proprieddes nteriores, tmbém vlem s proprieddes seguintes: (O) (reflexiv) x x, pr todo x Q ; (O) (nti-simétric) x y e y x = x = y, pr quisquer x, y Q ; (O3) (trnsitiv) x y, y z = x z, pr quisquer x, y, z Q ; (O4) Pr quisquer x, y Q, x y ou y x ; (OA) x y = x + z y + z ; (OM) x y e z 0 = xz yz. Proposição.6. Pr quisquer x, y, z, w no corpo ordendo Q, vlem () x y z w } = x + z y + w. 3

10 (b) 0 x y 0 z w } = xz yw. Prov. Vmos provr o ítem (b). 0 x y 0 z w } (OM) = xz yz yz yw } (O3) = xz yw Outrs proprieddes: Sejm x, y, z, w Q. Então vlem x < y x + z < y + z; z > 0 z > 0; z > 0 z < 0; Se z > 0, então x < y xz < yz; Se z < 0, então x < y xz > yz; 0 x < y 0 z < w } = xz < yw; 0 < x < y 0 < y < x ; (tricotomi) x < y ou x = y ou x > y; (nulmento do produto) xy = 0 x = 0 ou y = 0.. Os Números Reis Os números rcionis podem ser representdos por pontos em um ret horizontl ordend, chmd ret rel. 4

11 Se P por representção de um número rcionl x, diremos que x é bsciss de P. Nem todo ponto d ret rel é rcionl. Considere um qudrdo de ldo e digonl d. Pelo Teorem de Pitágors, d = + =. Sej P intersecção do eixo x com circunferênci de rio d. d 0 P x Mostrremos que P é um ponto d ret com bsciss x Q. Proposição.7. Sej Z. Temos () Se for ímpr, então é ímpr; (b) Se for pr, então é pr. Prov. () Se for ímpr, então existe k Z tl que = k +. Dí segue que = (k + ) = 4k + 4k + = (k } {{ + k } ) + = l +, l onde l = k + k, e portnto tmbém será ímpr. (b) Suponh, por bsurdo, que não é pr. Logo é ímpr. Então, pel Proposição.7 (), tmbém é ímpr, o que contrdiz hipótese. Portnto é pr necessrimente. 5

12 Proposição.8. A equção x = não dmite solução em Q. Prov. Suponhmos, por bsurdo, que x = tem solução em Q. Então podemos tomr x = b com, b Z e b irredutível. Logo ( b ) =, ou sej, = b e portnto é pr. Segue d Proposição.7 (b) que tmbém é pr. Portnto existe k Z tl que = k. Ms = b = k } = b = 4k = b = k. Portnto b é pr e, pel Proposição.7 (b), b tmbém é pr. Ms isto implic que b é redutível (pois e b são divisíveis por ) o que é um contrdição. Portnto não existe ( b b Q tl que ) =. Denotmos o conjunto dos números reis por R. Temos R Q e todo número rel que não é rcionl é dito irrcionl. Em R, definimos um dição (+), um multiplicção ( ) e um relção de ordem ( ). Então quádrupl ( R, +,, ) stisfz s condições (A) (A4), (M) (M4), (D), (O) (O4), (OA) e (OM) como n seção nterior e portnto é um corpo ordendo. Pr resolver um equção em x é necessário encontrr o conjunto dos números reis x que stisfzem equção. Pr resolver um inequção em x é necessário encontrr o conjunto dos números reis x que stisfzem desiguldde. Exemplo.. A inequção x < 4 result em x < 6. Exemplo.. Resolv inequção 3(4 x). Multiplicndo mbos os ldos d desiguldde por, temos 4 x 4. Subtrindo 4 result 3 em x 8 e multiplicndo por obtemos x 8. Exemplo.3. Resolv inequção πx + 79 < 4x +. Vmos começr dicionndo o oposto de x dos dois ldos d inequção. Assim πx x < 4x x 6

13 ou sej πx 4x < 79 que tmbém pode ser escrit como (π 4)x < 78. Agor multiplicremos últim inequção pelo inverso de π 4, que é negtivo. Obtemos, então, ou sej Exemplo.4. Qul é o sinl de x + x x > 78 π 4 x > 78 4 π. em função de x? O numerdor é positivo qundo x >, negtivo qundo x < e zero qundo x =. O denomindor é positivo qundo x <, negtivo qundo x > e zero qundo x =. Portnto frção será positiv qundo < x <, negtiv qundo x < ou x > e zero qundo x =. Exercício: Resolv inequção x + x 4 < 0. [R : < x < 4]..3 Módulo de um Número Rel Definição.3. Sej x R. O módulo ou vlor bsoluto de x é ddo por { x = x, x 0 x, x < 0. Segue d definição cim que x 0 e x x x, pr todo x R. Exemplo.5. Mostre que x = x, ou sej, o qudrdo de um número rel não mud qundo se troc seu sinl. 7

14 Lembre que x signific riz qudrd positiv de x. Logo, segue do Exemplo.5 que x = x Exemplo.6. A equção x = r, com r 0, tem como soluções os elementos do conjunto {r, r}. O resultdo do Exemplo.6 pode ser generlizdo como no exemplo seguinte. Exemplo{.7. A equção x b = r, com r 0 e 0, tem como soluções os elementos do b + r conjunto, b r }. Exemplo.8. Resolv equção x + = 3. Temos x + = 3 ou x + = 3, o que nos lev à solução x = ou x =. Sejm P e Q dois pontos d ret rel de bscisss x e y respectivmente. Então distânci de P Q (ou de x y) é dd por x y. Assim x y é medid do segmento P Q. Em prticulr, como x = x 0, então x é distânci de x 0. O próximo exemplo diz que distânci de x 0 é menor do que r, com r > 0, se e somente se x estiver entre r e r. Exemplo.9. Sej com r > 0. Então x < r r < x < r. Suponhmos que x < r. Anlisndo o sinl de x, temos x 0 = r > x = x, x < 0 = r > x = x = r < x. Portnto r < x < r. Agor suponhmos que r < x < r. Então, x 0 = x = x < r, x < 0 = x = x < r. 8

15 Portnto, x < r. A seguinte figur ilustr o significdo geométrico do exemplo. ( r x < r 0 ) r x Agor, vmos generlizr o Exemplo.9. Exemplo.0. Resolv inequção x b < r n vriável x, com r > 0 e 0. De form similr o exemplo nterior, r < x b < r. Somndo b os termos d inequção obtemos b r < x < b + r. Logo, > 0 = b r < 0 = b + r < x < b + r ; < x < b r. Como cso prticulr do Exemplo.0, se distânci de x p for menor do que r, isto é, x p < r, r > 0, então x estrá entre p r e p + r. Geometricmente, ( p r x p < r p ) p + r x Exemplo.. Pr quisquer x, y R, vle xy = x y. Temos que xy = (xy) = x y = x y = ( x y ). Como xy 0 e x y 0 result xy = x y. 9

16 Exemplo. (Desiguldde tringulr). Pr quisquer x, y R, vle x + y x + y. Somndo x x x e y y y obtemos x y x + y x + y. Exemplo.3. Descrev o vlor de x + + x sem utilizr o módulo. { Se x, então x + = x + x = x e, portnto, x + + x = x + + x = x. { Se x <, então x + = x + x = x + e, portnto, x+ + x = x+ x+ =. { Se x <, então x + = x x = x + e, portnto, x+ + x = x x+ = x. x, x Logo x + + x =, x < x, x <. Definição.4. Um intervlo em R é um subconjunto de R que tem um ds seguintes forms: [, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : < x < b } [, b) = { x R : x < b }, (, b] = { x R : < x b }, (, b] = { x R : x b } (, b) = { x R : x < b }, [, + ) = { x R : x }, (, + ) = { x R : < x }, (, + ) = R. Intervlo fechdo, Intervlo berto, Exemplo.4. { x R : x 3 < x + } = { x R : x < 4 } = (, 4). 0

17 .4 *Limitção de Subconjuntos de R Definição.5. Um conjunto A R será dito itdo, se existir L > 0 tl que x L, pr todo x A. Proposição.9. Um conjunto A R será itdo se, e somente se, existir L > 0 tl que A [ L, L]. Exemplo.5. () A = [0, ] é itdo (b) N não é itdo (será mostrdo mis trde) { } n (c) B = : n N é itdo n { } n (d) C = : n N é itdo. n Definição.6. Um conjunto A R será dito iitdo, se ele não for itdo. Proposição.0. Um conjunto A R será iitdo se, e somente se, pr todo L > 0, existir x A tl que x > L. Definição.7. Sej A R. Diremos que A será dito itdo superiormente, se existir L R tl que x L, pr todo x A. Neste cso, L será chmdo itnte superior ou cot superior de A. A será dito itdo inferiormente, se existir l tl que x l, pr todo x A. Neste cso, l será chmdo itnte inferior ou cot inferior de A. Segundo definição cim, podemos notr que A R será itdo se, e somente se, A for itdo superiormente e inferiormente. Exemplo.6. () Considere A = [0, ). Então e 0 são itntes inferiores de A;, π e 0 são itntes superiores de A.

18 (b) N não é itdo ms é itdo inferiormente por 0, pois 0 x, pr todo x N. (c) B = {x Q : x } não é itdo, ms é itdo superiormente por L, onde L. Definição.8. Sej A R itdo superiormente (respectivmente itdo inferiormente), A. Se L R for cot superior (resp. cot inferior) de A e pr tod cot superior (resp. cot inferior) L de A, tivermos L L (resp. L L ), então L será chmdo supremo (resp. ínfimo) de A. Neste cso, escreveremos L = sup A (resp. L = inf A ). Se L = sup A A, então L será máximo (resp. mínimo de A ). Neste cso, escreveremos L = mx A (resp. L = min A ). Proposição.. Sej A R itdo superiormente, A. Então L = sup A se, e somente se, vlerem s proprieddes seguintes () L é cot superior de A. (b) Pr todo ε > 0, existe A tl que > L ε. Anlogmente temos Proposição.. Sej A R itdo inferiormente, A. Então L = inf A se, e somente se, vlem s seguintes proprieddes () L é cot inferior de A. (b) Pr todo ε > 0, existe A tl que < L + ε. Exemplo.7. () Sej A = (0, ]. Então 0 = inf A e = mx A. (b) Sej B = N. Então 0 = min N.

19 (c) Sej C = {x Q : x }. Então = sup C e = inf C. Note que, / C. Axiom. (d Completez ou do Sup). Sej A R, A. Se A for itdo superiormente, então existirá L = sup A. Proposição.3. Se A R for itdo inferiormente (superiormente), então o conjunto A = { x : x A} será itdo superiormente (inferiormente) e inf A = sup( A) (resp. sup A = inf( A)). Corolário.. Sej A R, A. Se A for itdo inferiormente, então existirá L = inf A. Corolário.. Sej A R itdo, A. Então A dmite ínfimo e supremo. Teorem. (Propriedde Arquimedin de R). Sej x 0. Então o conjunto A = {nx : n N} é iitdo. Prov. Suponhmos, primeirmente, que x > 0 e suponhmos, por bsurdo, que A sej itdo. Então existirá L = sup A pois A (por que?). Logo, ddo m N, existirá x R tl que L x < mx (vej Proposição.). Portnto L < (m + )x o que contrdiz suposição. O cso x < 0 segue de modo nálogo. Corolário.3. O conjunto dos números nturis não é itdo superiormente. Corolário.4. Pr todo ε > 0, existe n N tl que Corolário.5. Se A = n < ε. { } n : n N, então inf A = 0. Definição.9. Um vizinhnç de R é qulquer intervlo berto d ret contendo. Exemplo.8. O conjunto V δ () := ( δ, + δ), onde δ > 0, é um vizinhnç de R. Definição.0. Sejm A R e b R. Se pr tod vizinhnç V δ (b) de b existir V δ (b) A, com b, então b será dito ponto de cumulção de A. 3

20 Exemplo.9. () Sej A = (, b). Então o conjunto dos pontos de cumulção de A é [, b]. (b) Sej B = Z. Então B não tem pontos de cumulção. (c) Qulquer subconjunto finito de R não dmite pontos de cumulção. Exercício: Mostre que se um conjunto A R tiver um ponto de cumulção, então A será um conjunto com infinitos elementos. Definição.. Sej B R. Um ponto b B será dito um ponto isoldo de B, se existir δ > 0 tl que V δ (b) não contém pontos de B distintos de b. Exemplo.0. () Sej B = {, /, /3,...}. Então o conjunto dos pontos de cumulção de B é {0} e o conjunto dos pontos isoldos de B é o próprio conjunto B. (b) O conjunto Z possui pens pontos isoldos. Observção: Podem hver conjuntos infinitos que não possuem pontos de cumulção (por exemplo Z). No entnto, todo conjunto infinito e itdo possui pelo menos um ponto de cumulção. Pel propriedde rquimedin de R, podemos provr proposição seguinte. Proposição.4. Qulquer intervlo berto não-vzio contém um número rcionl. Dí, segue que Corolário.6. Qulquer intervlo berto não-vzio contém um número infinito de números rcionis. Proposição.5. O conjunto dos pontos de cumulção de Q é R. Exercícios: () Mostre que se r for um número rcionl não nulo, então r será um número irrcionl. 4

21 (b) Mostre que todo intervlo berto contém um número irrcionl. (c) Mostre que todo intervlo berto contém um número infinito de números irrcionis. (d) Mostre que qulquer número rel é ponto de cumulção do conjunto dos números irrcionis. 5

22

23 Cpítulo Funções. Noções Geris O objeto fundmentl do cálculo são s funções. As funções surgem qundo um quntidde depende de outr. Por exemplo, áre A de um círculo depende de seu rio r. A lei que relcion r com A é dd por A = πr, neste cso dizemos que A é um função de r. Outros exemplos são, populção P de um determind espécie depende do tempo t, o custo C de envio de um pcote pelo correio depende de seu peso w. Definição.. Ddos dois conjuntos A, B, um função f de A em B (escrevemos f : A B ) é um lei ou regr que cd x A, ssoci um único elemento f(x) B. Temos A é chmdo domínio de f ; B é chmdo contr-domínio de f ; o conjunto Im(f) = {y B ; y = f(x), x A}. é chmdo imgem de f. Notções lterntivs. Sej f : A B um função. Podemos denotr D f = D(f) = A pr o domínio de f; f(d f ) := Im(f) pr imgem de f. 7

24 Tmbém podemos descrever ção de f ponto ponto como x A f(x) B. Convenção: Se o domínio de um função não é ddo explicitmente, então, por convenção, dotmos como domínio o conjunto de todos os números reis x pr os quis f(x) é um número rel. Definição.. Sejm f : A B um função e A, B R. O conjunto G(f) = G f = {(x, f(x)) : x A} é chmdo gráfico de f. Decorre d definição cim que G(f) é o lugr geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) R R, qundo x percorre o domínio D f. Observe que, por exemplo, um circunferênci não represent o gráfico de um função. Exemplo.. Sej f : R R. Temos () função constnte: f(x) = k; (b) função identidde: f(x) = x; (c) função liner: f(x) = x; (d) função fim: f(x) = x + b; (e) função polinomil: f(x) = 0 + x + x + + n x n = se n =, f(x) = x + bx + c é um função qudrátic, n i x i ; em prticulr, i=0 se n = 3, f(x) = x 3 + bx + cx + d é um função cúbic; (f) função potênci: f(x) = x, onde é um constnte; em prticulr, se = n, f(x) = x/n = n x, onde n é um inteiro positivo, é um função riz; temos que D f = [0, + ) se n é pr e D f = R se n é ímpr; 8

25 (g) função rcionl: f(x) = p(x) q(x) D f = {x R ; q(x) 0};, onde p(x) e q(x) são funções polinomiis. Note que (h) função lgébric: função construíd usndo operções lgébrics começndo com polinômios; por exemplo, f(x) = (x 4) x +, D f = R, g(x) = x x +, Dg x (0, + ). = Definição.3. Sejm f : A B e D A. Denotmos por f D restrição de f o subconjunto D de A. Então f D (x) = f(x), pr todo x D. Observção: Sej D R. Denotremos por I D : D D função identidde definid por I D (x) = x pr todo x D. Exemplo.. Função definid por prtes: definid de form divers em diferentes prtes de seu domínio; por exemplo, { { x se x, x se x 0, () f(x) = (b) g(x) = x = x se x > ; x se x < 0. Exemplo.3. Esboce o gráfico de f(x) = x + 3. { x + se x, Primeiro einmos o módulo. Assim, f(x) = 4 x se x <. Exemplo.4. Um fbricnte de refrigernte quer produzir lts ciĺındrics pr seu produto. A lt dever ter um volume de 360 ml. Expresse áre superficil totl d lt em função do seu rio e dê o domínio d função. Sej r o rio d lt e h ltur. A áre superficil totl (topo, fundo e áre lterl) é dd por S = πr + πrh. Sbemos que o volume V = πr h deve ser de 360 ml, temos πr h = 360, ou sej h = 360/πr. Portnto, S(r) = πr + πr360/πr = πr + 70/r. Como r só pode ssumir vlores positivos, D S = (0, + ). Exemplo.5. Esboce os gráficos de f(x) = x e g(x) = x +. 9

26 Fórmuls de trnslção: f(x) + k trnsld o gráfico de f, k uniddes pr cim se k > 0 e k uniddes pr bixo se k < 0, f(x + k) trnsld o gráfico de f, k uniddes pr esquerd se k > 0 e k uniddes pr direit se k < 0. Exemplo.6. Esboce os gráficos de f(x) = (x ) e g(x) = (x + ). Exemplo.7. Esboce o gráficos de f(x) = x + 6x + 0. Completndo o qudrdo, escrevemos f(x) = (x + 3) +. Logo, o gráfico é prábol y = x deslocd 3 uniddes pr esquerd e então um unidde pr cim.. Operções com Funções Definição.4. Dds funções f : D f R e g : D g R e ddo x D f D g, podemos definir lgums operções com funções: som: (f + g)(x) = f(x) + g(x); produto: (fg)(x) = f(x)g(x); ( ) f quociente: (x) = f(x), se g(x) 0. g g(x) Exemplo.8. Se f(x) = 7 x e g(x) = x, então D f D f D g = [, 7]. Temos que, = (, 7], D g = [, + ) e () (f + g)(x) = 7 x + x x 7, (b) (fg)(x) = 7 x x = (7 x)(x ) x 7, ( f ) 7 x 7 x (c) (x) = = < x 7. g x x 0

27 Definição.5. Dds funções f : D f R e g : D g R, com Imf D g, definimos função compost h : D f R por h(x) = g(f(x)), pr todo x D f. Neste cso, escrevemos h = g f. Exemplo.9. Se f(x) = x + e g(x) = x + 3x, então () g f(x) = g(x + ) = (x + ) + 3(x + ) = 4x + 0x + 4, (b) f g(x) = f(x + 3x) = (x + 3x) + = x + 6x +. Observção: Em gerl, f g g f. Exemplo.0. Encontre f g h se f(x) = x x +, g(x) = x0 e h(x) = x + 3. f g h(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3) 0 ) = (x + 3)0 (x + 3) 0 +. Exercício: Se f(x) = x e g(x) = x, encontre e determine o domínio ds funções: () f g(x) = 4 x, D f g = (, ] (b) g f(x) = (c) f f(x) = 4 x, D f f = [0, + ) (d) g g(x) = x, D g f = [0, 4] x, D g g = [, ]..3 Definições Adicionis No que segue, considerremos f : D f R um função. Definição.6. Diremos que f é pr se, e somente se, f( x) = f(x), pr todo x D f ; f é ímpr se, e somente se, f( x) = f(x), pr todo x D f.

28 Observção: O significdo geométrico de um função pr é que seu gráfico é simétrico em relção o eixo y e de um função ímpr é que seu gráfico é simétrico em relção à origem. Exemplo.. f(x) = x é pr; função identidde I(x) = x é ímpr; f(x) = x x não é nem pr nem ímpr. Exercício: Determine se função é pr, ímpr ou nenhum desses dois. () f(x) = x 5 + x, (b) f(x) = x 4, (c) f(x) = 3x + x +. Definição.7. Sej ω 0. Então f será dit periódic de período ω ou ω-periódic se, e somente se, tivermos f(x) = f(x + ω), pr todo x D f. Em prticulr, se existir um menor ω 0 positivo tl que f sej ω 0 -periódic, então diremos que ω 0 será o período mínimo de f. Proposição.. Sejm c 0 ω. Se f : R R for ω-periódic, então serão válids s firmções: () f é nω-periódic pr todo inteiro não nulo n. (b) g : R R definid por g(x) = f(cx) é ω/c-periódic. Exemplo.. () f(x) = x [x], onde [x] = mx{n Z : n x} é função mior inteiro, é -periódic e o período mínimo de f é. Note que [x + ] = [x] +. {, se x Q (b) f(x) = é r-periódic pr cd r Q\{0}. Então f não tem período 0, se x R\Q mínimo. Definição.8. Diremos que f : D f B f é sobrejetor se, e somente se, Im(f) = B. f é injetor se, e somente se, f(x ) = f(x ) = x = x, pr quisquer x, x D f.

29 f é bijetor se, e somente se, f for injetor e sobrejetor. Observção: Note que f será injetor se, e somente se, x x = f(x ) f(x ), pr quisquer x, x D f. Exemplo.3. A função módulo f(x) = x não é injetor pois, por exemplo, = e. f não é sobrejetor pois Im(f) = R + R. Agor, considerndo f R + : R + R + função será bijetor. Observção: Se tommos B = Im(f) então f sempre será sobrejetor. Definição.9. Um função f : A B será dit invertível, se existir g : B A (denotd por f ) tl que g f = I A e f g = I B. Proposição.. Um função f : A B será invertível se, e somente se, f for bijetor. Neste cso, função invers está definid por f (y) = x f(x) = y, y B. Exemplo.4. A função f(x) = x 3 é injetor e su invers é f (x) = x /3. Observção: f (x) não signific Pr chr função invers:. Escrev y = f(x). f(x) = [f(x)].. Resolv ess equção pr x em termos de y. 3. Troque x por y pr expressr f como função de x. Exemplo.5. Clcule f pr função f(x) = + 3x,. Escrevemos y = +3x. Resolvemos pr x, ou sej, x = y. E substituindo y por x, obtemos 3 f (x) = x. 3 3

30 Exercício: Determine função invers de: () f(x) = x ; (b) f(x) = x 3 +. Observção: Note que G(f ) = { (y, f (y)) : y B } = {(f(x), x) : x A}. Com isto, fic fácil verificr que G(f ) é reflexão de G(f) em torno d ret y = x. Exercício: Esboce os gráficos de f(x) = x e de su função invers. Definição.0. Diremos que f é itd se, e somente se, o conjunto Im(f) for itdo. Cso contrário, função f será dit iitd. Se A A, então f será itd em A se, e somente se, restrição f A for itd. Observção: Segue d Definição.0 que se existir L > 0 tl que f(x) L, pr todo x D f, ou, equivlentemente, se existirem L, l R tis que l f(x) L, pr todo x D f, então f será itd. Exemplo.6. () f(x) = x x é itd; (b) f(x) = x4 x 4 + é itd; (c) f(x) = x é iitd. 4

31 Definição.. Definimos sup(f) = sup{f(x) : x D f }. inf(f) = inf{f(x) : x D f }. Se sup(f) = f(x 0 ) pr lgum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o máximo de f ou o vlor máximo de f. O ponto x 0 será chmdo ponto de máximo de f. Se inf(f) = f(x 0 ) pr lgum x 0 D f, então diremos que f(x 0 ) é o mínimo de f ou o vlor mínimo de f. O ponto x 0 será chmdo ponto de mínimo de f. Definição.. Definimos Se vler implicção x < y = f(x) < f(y), então f será estritmente crescente. Se vler implicção x < y = f(x) f(y), então f será crescente. Se vler implicção x < y = f(x) > f(y), então f será estritmente decrescente. Se vler implicção x < y = f(x) f(y), então f será decrescente. Definição.3. Se f : A B stisfizer um ds condições d Definição., diremos que f é um função monóton ou monotônic. Exemplo.7. f(x) = x é estritmente crescente pr x > 0 e estritmente decrescente pr x < 0. Exemplo.8. f(x) = x + x é estritmente decrescente. Observe que se x < y então f(x) = + x > + y = f(y)..4 Funções Trigonométrics Sbemos que em um triângulo retângulo de hipotenus e ângulos gudos B e Ĉ opostos, respectivmente, os ctetos b e c, temos 5

32 Ĉ B c b cos B = c, cos Ĉ = b, sen B = b, sen Ĉ = c. Ests relções definem o seno e cosseno de um ângulo gudo, pois todo ângulo gudo é um dos ângulos de um triângulo retângulo. Note que sen B e cos B dependem pens do ângulo B e não do tmnho do triângulo. Segue do Teorem de Pitágors que = b + c = sen B + cos B = (sen B + cos B). Logo = sen B + cos B. (.) É clro que o seno e o cosseno de um ângulo gudo são números compreendidos entre 0 e. A relção (.) sugere que pr todo ângulo α, os números cos α e sen α são s coordends de um ponto d circunferênci de rio e centro n origem de R. Usremos isto pr estender s funções cosseno e seno pr ângulos for do intervlo (0, π/). Observção: Sempre que flrmos ds funções seno e cosseno os ângulos serão sempre medidos em rdinos. Temos que πrd = 80 o. Se considerrmos circunferênci unitári centrd n origem do R e mrcrmos, prtir do eixo x, um ângulo t, então poderemos definir sen t e cos t de form que s coordends do ponto P sejm (cos t, sen t). P = (cos t, sen t) Q = (cos α, sen α) t α Assim, sen t e cos t coincidem com definição originl se 0 < t < π/ e podem ser estendids pr qulquer t R, se mrcrmos ângulos positivos no sentido nti-horário e ângulos negtivos 6

33 no sentido horário. Proposição.3 (Proprieddes). () O seno é positivo no primeiro e segundo qudrntes e negtivo no terceiro e qurto qudrntes. (b) O cosseno é positivo no primeiro e qurto qudrntes e negtivo no segundo e terceiro qudrntes. (c) O seno e cosseno são funções π-periódics com imgem no intervlo [, ]. (d) O cosseno é um função pr e o seno é um função ímpr. ( π ) ( π ) (e) sen t = cos t e cos t = sen t. ( π ) (f) sen t = cos + t ( π ) e cos t = sen + t. (g) sen t = sen(π t) e cos t = cos(π t). (h) sen t = sen(π + t) e cos t = cos(π + t). ( π ) ( π ) (i) sen(0) = cos = 0 e cos(0) = sen =. Proposição.4 (Fórmuls de Adição). () cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α)sen(β). (b) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α). Trocndo β por β e utilizndo pridde ds funções temos (c) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β). (d) sen(α β) = sen(α) cos(β) sen(β) cos(α). A prtir ds fórmuls de dição deduzimos Proposição.5 (Arco Duplo). () cos(α) = cos (α) sen (α). 7

34 (b) sen(α) = sen(α) cos(α). A prtir ds fórmuls do rco duplo e d identidde cos α + sen α = deduzimos Proposição.6 (Arco Metde). + cos(α) () cos(α) = ±. cos(α) (b) sen(α) = ±. A prtir ds fórmuls de dição obtemos Proposição.7 (Trnsformção de Produto em Som). () cos(α) cos(β) = cos(α + β) + cos(α β), [somndo () e (c) d Proposição.4]. (b) sen(α)sen(β) = cos(α + β) cos(α β), [subtrindo () e (c) d Proposição.4]. (c) sen(α) cos(β) = sen(α + β) sen(α β) [subtrindo (b) e (d) d Proposição.4]. Proposição.8 (Trnsformção de Som em Produto). ( α + β () sen (α) + sen (β) = sen ( α + β (b) cos(α) + cos(β) = cos ) cos ) cos ( α β ( α β ). ). Prov. () Escrev α = α + β.4. + α β e β = α + β α β e utilize (b) e (d) d Proposição (b) Escrev α e β como n prte () e utilize () e (c) d Proposição.4. De mneir nálog temos Proposição.9 (Trnsformção de Subtrção em Produto). ( α β ) () sen (α) sen (β) = sen cos ( α + β ). 8

35 ( α + β ) (b) cos(α) cos(β) = sen sen Definição.4. Definimos ( α β tg(α) = sen(α), D(tg) = {α : cos α 0} cos(α) cotg(α) = cos(α), D(cotg) = {α : senα 0} sen(α) cosec(α) =, D(cosec) = {α : senα 0} sen(α) sec(α) =, D(sec) = {α : cos α 0} cos(α) ). Exercício: Dê um significdo geométrico pr tg(α), cotg(α), sec(α) e cosec(α). Exercício: Esboce os gráficos ds funções tg, cotg, sec e cosec. Exercício: Clssifique s funções trigonométrics em pr, ímpr, periódic, itd..5 Funções Exponenciis e Logrítmics Definição.5. Sej > 0,. A função f(x) = x é chmd função exponencil de bse. Vejmos o que isso signific. Se x = n, um inteiro positivo, então n = } {{ }. n vezes Se x = 0, então 0 =. Se x = n, onde n é um inteiro positivo, então n = n. Se x = p q, onde p e q são inteiros e q > 0, então p/q = q p = ( q ) p. 9

36 Se x for um número irrcionl. Considere o cso >, então x é o único número rel cujs proximções por flt são s potêncis r, com r rcionl menor do que x e cujs proximções por excesso são s potêncis s, com s rcionl mior do que x. Em outrs plvrs, x stisfz seguinte propriedde: r < x < s, com r, s Q = r < x < s. Se <, x stisfz: r < x < s, com r, s Q = s < x < r. Dest form, se olhmos o gráfico d função x onde x rcionl, os burcos correspondentes os vlores irrcionis de x, form preenchidos de form obter um função crescente pr todos os números reis. Proposição.0 (Proprieddes). Sejm e b números positivos e x e y números reis quisquer, então () x+y = x y, (b) ( x ) y = xy, (c) (b) x = x b x, (d) Se > função exponencil é estritmente crescente, ou sej, se x < y então x < y. (e) Se 0 < < função exponencil é estritmente decrescente, ou sej, se x < y então x > y. ( ) x. Exercício: Esboce o gráfico d funções exponenciis f(x) = x e f(x) = Como função exponencil é ou crescente ou decrescente, existe função invers. Definição.6. A função invers d função exponencil é chmd função logrítmic com bse e denotd por log. Assim, log x = y y = x. 30

37 Observção: Note que log x está definido pr x > 0, > 0 e. Além disso stisfz log ( x ) = x, x R e log x = x, x > 0. Proposição. (Proprieddes). Sejm > 0,, b > 0, b. Então são válids s seguintes proprieddes () log xy = log x + log y, (b) log x y = y log x, (c) log x y = log x log y, (d) Se > função logrítmic é estritmente crescente, ou sej, se x < y, então log x < log y, (e) Se 0 < < função logrítmic é estritmente decrescente, ou sej, se x < y, então log x > log y, (f) (Mudnç de bse) log x = log b x log b. Exercício: Esboce o gráfico d funções logrítmics f(x) = log x e f(x) = log x. A função exponencil de bse e onde e, 788, f(x) = e x, desempenh um ppel importnte no cálculo. Definição.7. A função logrítmic com bse e é chmd logritmo nturl e denotd por log e x = ln x. Observe que como ln(e x ) = x, tomndo x = temos que ln e =. Há vris forms de introduzir o número e. No cpítulo seguinte o definiremos como um ite. Mis dinte vmos definir o logritmo nturl utilizndo integris, nesse cso, o número e será o único número stisfzendo ln e =..6 *Seqüêncis Nest seção, considerremos um cso prticulr de funções que são s seqüêncis. 3

38 Definição.8. Um seqüênci é um função definid no conjunto dos números nturis e com vlores reis, ou sej, f : N R. Note que cd número nturl é levdo em um único número rel N f R f() f() 3 f(3).. Se denotmos f(n) por x n, então seqüênci f estrá unicmente determind pel list de números {x, x, x 3,...} ou, brevidmente, por {x n }. Dest form, dotremos notção {x n } ou {x, x, x 3,...} pr representr um seqüênci. O número x n é chmdo elemento de um seqüênci e o conjunto imgem de f, Im(f), é chmdo conjunto dos vlores de um seqüênci. Como um seqüênci é um função prticulr, então estão definids s operções de som, multiplicção por esclr, produto e quociente de seqüêncis. Exercício: Escrev s definições de som, multiplicção por esclr, produto e quociente de seqüêncis. Exemplo.9. Temos () f : N R dd por f(n) = n ou {n} ou {0,,, 3,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é N. (b) f : N R dd por f(n) = { } n + ou ou {, n +, 3, 4 },... é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {,, 3, 4 },.... (c) f : N R dd por f(n) = ( ) n ou {( ) n } ou {,,,,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {, }. (d) f : N R dd por f(n) = n { } n n + ou ou {0, n +, 3, 34 },... é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {0,, 3, 34 },.... 3

39 (e) f : N R dd por f(n) = r n ou {r n } ou {, r, r, r 3,...} é um seqüênci cujo conjunto dos vlores é {, r, r, r 3,...} ( progressão geométric)..6. Limite de um Seqüênci Note que seqüênci {0,, 3, 34,... } tem propriedde de que qunto mior for vriável n, mis próximo { o vlor } d seqüênci em n n n,, fic de. Neste cso, diremos que o ite d seqüênci é e seqüênci n + n + é dit convergente com ite. É preciso dr um definição mis precis d noção de ite de um seqüênci. Definição.9. Um seqüênci {x n } será dit convergente com ite l se, ddo ε > 0, existir um nturl N = N(ε) tl que x n l < ε, n N. Neste cso, escreveremos x n = l n e leremos o ite de x n qundo n tende pr infinito é l. { } Exemplo.0. Mostre que seqüênci é convergente com ite 0. n Ddo ε > 0, pegue um nturl N que sej mior do que /ε. Todo elemento d seqüenci, prtir do N-ésimo, terá distânci menor que ε de 0. E, como isto pode ser feito pr qulquer ε positivo, seqüenci converge pr zero. Exemplo { }.. Mostre que, pr quisquer constntes k e k positivs, seqüenci n + k é convergente com ite. n + k Pr encontrrmos N, tentremos resolver inequção ε < n + k n + k < + ε 33

40 que diz que o n-ésimo elemento está próximo de por um distânci menor do que ε. Temos ( ε)(n + k ) < n + k < ( + ε)(n + k ) n( ε) + k ( ε) < n + k < n( + ε) + k ( + ε) isto é, n( ε) + k ( ε) < k < nε + k ( + ε). (.) Desenvolvendo prte esquerd de (.), obtemos n( ε) < k k ( ε), ou sej, Desenvolvendo prte direit de (.), obtemos n > k k ( ε). (.3) ε nε > k k ( + ε) e, portnto, n > k k ( + ε). (.4) ε Estes resultdos ((.3) e (.4)) indicm que podemos stisfzer definição de convergênci k k ( ε) k k ( + ε) pegndo um N nturl que sej mior que mbos e. ε ε Exercício: Sej {x n } um seqüênci convergente com ite l. Mostre que seqüênci {cos x n } será convergente com ite cos l. O próximo resultdo diz que, se um seqüênci for convergente, então o ite será único. Proposição.. Sej {x n } um seqüênci convergente. Se então l = l. Exercício: Mostre que seqüênci x n = l e x n = l, n n { n sen } é convergente com ite. n 34

41 Definição.0. Um seqüênci será dit divergente, se el não for convergente. Definição.. Se h : N R for um função estritmente crescente e f : N R for um seqüênci, então função f h : N R será dit um subseqüênci de f. Exemplo.. () Sejm h(n) = n e {x n } um seqüênci. Então {x n } é um subseqüênci de {x n } chmd subseqüênci dos pres. (b) Sej h(n) = n + e {x n } um seqüênci. Então {x n+ } é um subseqüênci de {x n } chmd subseqüênci dos ímpres. (c) Sej h(n) = n + p, p N, e {x n } um seqüênci. Então {x n+p } é um subseqüênci de {x n }. (d) A subseqüênci dos pres (ímpres) d seqüênci {( ) n } é seqüênci constnte {} (resp. { }). Proposição.3. Se {x n } for um seqüênci convergente com ite l, então tod subseqüênci de {x n } será convergente com ite l. A Proposição.3 é importnte pois implic no seguinte critério negtivo de convergênci que é bstnte utilizdo. Proposição.4. Se um seqüênci possuir dus subseqüêncis convergentes com ites distintos, então seqüênci será divergente. Exemplo.3. A seqüênci {( ) n } é divergente. Definição.. Um seqüênci será dit itd se o seu conjunto de vlores for itdo. Cso contrário, seqüênci será dit iitd. Observção: Note que Definição. é coerente com definição de função itd dd nteriormente (Definição.0). Exemplo.4. () A seqüênci { } n é itd. n + 35

42 (b) A seqüênci {( ) n } é itd. { (c) A seqüênci cos } é itd. n (d) A seqüênci {n} é iitd. Proposição.5. Tod seqüênci convergente é itd. Observção: Note que, pesr de tod seqüênci convergente ser itd, nem tod seqüênci itd é convergente (por exemplo, {( ) n } é itd, ms não é convergente). Proposição.6. Sej {x n } um seqüênci. Então {x n } será convergente com ite 0 se, e somente se, { x n } for convergente com ite 0. Observção: Mostrremos mis trde que se {x n } é convergente com ite l então { x n } é convergente com ite l ms não é verdde que se { x n } é convergente então {x n } é convergente (bst ver o que ocorre com seqüênci {( )} n ). Exemplo.5. Considere seqüênci {r n }. Temos () {r n } é convergente com ite 0, se r < ; (b) {r n } é convergente com ite, se r = ; (c) {r n } é divergente, se r = ou r >. Sugestão: Mostre que se r >, então { r n } será iitd. Proposição.7. Se {x n } for convergente com ite 0 e {y n } for itd, então {x n y n } será convergente com ite 0. Exemplo.6. A seqüênci { } n cos n é convergente com ite 0. Proposição.8. Tod seqüênci {x n } crescente (respectivmente decrescente) e itd é convergente com ite sup{x n : n N} (resp. inf{x n : n N}). Exercício: Mostre que seqüênci {x n } dd por x =, x n = + x n, n, é convergente e encontre o seu ite. Proposição.9 (Proprieddes). Sejm {x n } e {y n } seqüêncis convergentes com ites l e l respectivmente e sej c R. Então 36

43 () {cx n + y n } é convergente com ite cl + l (b) {x n y n } é convergente com ite l l (c) {x n /y n } é convergente com ite l /l, sempre que l 0. Proposição.0. Sejm B R e b R um ponto de cumulção de B. Então existe um seqüênci {b n } com b n B, b n b e n b n = b. Proposição.. Se {x n } for um seqüênci convergente e x n 0, pr todo n N, então x n 0. n Prov. Suponh que n x n = l. Então ddo ε > 0, existe N N tl que l ε < x n < l + ε, n N. Ms x n 0 por hipótese. Portnto l ε < x n 0, n N, ou sej, l < ε. Segue d rbitrriedde de ε que l 0 e prov está concluíd. Corolário. (Teste d comprção). Se {x n } e {y n } forem seqüêncis convergentes e x n y n pr todo n N, então x n y n. n n Proposição. (Teorem do Confronto). Sejm {x n } e {y n } dus seqüêncis convergentes com mesmo ite l. Se {z n } é um seqüênci tl que x n z n y n, n N, então {z n } é convergente com ite l. Prov. Ddo ε > 0, sej N N tl que l ε x n z n y n l + ε, n N. Então vle z n l < ε pr todo n N e, portnto, n z n = l. Isto conclui prov. 37

44 Vmos considerr três tipos de s seqüêncis divergentes: quels que divergem pr +, quels que divergem pr, quels que são itds ms não são convergentes. Vejmos. Definição.3. Diremos que um seqüênci {x n } diverge pr + se, ddo R > 0, existir N N tl que x n > R, pr todo n N. Neste cso, escrevemos n x n = +. Diremos que um seqüênci {x n } diverge pr se, ddo R > 0 existir N N tl que x n < R, pr todo n N. Neste cso, escrevemos n x n =. Diremos que um seqüênci {x n } oscil, se el não for convergente e não divergir pr + ou pr. Exemplo.7. () { n } diverge pr +, ou sej, n n = +. (b) { n} diverge pr, ou sej, n n = (c) { + sen n} e {( ) n } oscilm. 38

45 Cpítulo 3 Limite e Continuidde 3. Noção Intuitiv Vmos estudr o comportmento de um função f(x) pr vlores de x próximos de um ponto p. Consideremos, por exemplo, função f(x) = x +. Pr vlores de x próximos de, f(x) ssume os seguintes vlores: x x + x x +, 5, 5 0, 5, 5,, 0, 9, 9, 0, 0 0, 99, 99, 00, 00 0, 999,

46 f(x) tende f(x) = x + qundo x tende x D tbel vemos que qundo x estiver próximo de (de qulquer ldo de ) f(x) estrá próximo de. De fto, podemos tomr os vlores de f(x) tão próximos de qunto quisermos tomndo x suficientemente próximo de. Expressmos isso dizendo que o ite d função f(x) = x + qundo x tende é igul. Definição 3. (Intuitiv). Escrevemos f(x) = L x p e dizemos o ite de f(x), qundo x tende p, é igul L se pudermos tomr vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L tomndo x suficientemente próximo de p, ms não igul p. Observção: Ao procurr o ite qundo x tende p não considermos x = p. Estmos interessdos no que contece próximo de p e função f(x) nem precis estr definid pr x = p. Consideremos o seguinte exemplo. Exemplo 3.. Encontre x x x. Observe que f(x) = x x não está definid qundo x =. Temos que pr x, x x = (x )(x + ) x 40 = x +.

47 Como os vlores ds dus funções são iguis pr x, então os seus ites qundo x tende tmbém. Portnto, x x x =. x se x Exemplo 3.. Sej f(x) = x Determine o ite qundo x tende. 0 se x =. Observe que pr x função f(x) é igul à função do exemplo nterior, logo x f(x) =, o qul não é o vlor d função pr x =. Ou sej, o gráfico dest função present um quebr em x =, neste cso dizemos que função não é contínu. Definição 3.. Um função f é contínu em p se f(p) está definid, x p f(x) existe, x p f(x) = f(p). Se f não for contínu em p, dizemos que f é descontínu em p. Exemplo 3.3. () A função f(x) = x + é contínu em x =. (b) A função f(x) = x não é contínu em x = pois não está definid nesse ponto. x x se x (c) A função f(x) = x não é contínu em x = pois f(x) = x 0 se x = 0 = f(). 3. Definições Nest seção vmos dr definição precis de ite. Consideremos seguinte função f(x) = { x se x 3 6 se x = 3. 4

48 Intuitivmente vemos que x 3 f(x) = 5. Quão próximo de 3 deverá estr x pr que f(x) difir de 5 por menos do que 0,? A distânci de x 3 é x 3 e distânci de f(x) 5 é f(x) 5, logo nosso problem é chr um número δ tl que se x 3 < δ, ms x 3 = f(x) 5 < 0,. Se x 3 > 0 então x 3. Logo um formulção equivlente é chr um número δ tl que Note que se 0 < x 3 < 0,, então se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < 0,. f(x) 5 = (x ) 5 = x 6 = x 3 < 0,. Assim respost será δ = 0, = 0, 05. Se mudrmos o número 0, no problem pr um número menor 0,0, então o vlor de δ 0, 0 mudrá pr δ =. Em gerl, se usrmos um vlor positivo rbitrário ε, então o problem será chr um δ tl que se 0 < x 3 < δ = f(x) 5 < ε. E podemos ver que, neste cso, δ pode ser escolhido como sendo ε. Est é um mneir de dizer que f(x) está próximo de 5 qundo x está próximo de 3. Tmbém podemos escrever 5 ε < f(x) < 5 + ε sempre que 3 δ < x < 3 + δ, x 3, ou sej, tomndo os vlores de x 3 no intervlo (3 δ, 3 + δ), podemos obter os vlores de f(x) dentro do intervlo (5 ε, 5 + ε). 4

49 f(x) está qui 5 + ε 5 ε 5 { f(x) = 3 x 3 δ 3 + δ }{{} qundo x está qui x se x 3 6 se x = 3. Definição 3.3 (Limite). Sej f um função definid sobre lgum intervlo berto que contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Então dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p é L e escrevemos se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p 0 < x p < δ = f(x) L < ε. Interpretção geométric do ite. L + ε L L ε f f(p) L + ε L L ε f p δ p p + δ x p δ p p + δ x f(x) = L x p f(x) = L f(p) x p 43

50 L + ε L = f(p) L ε f f(p) f p δ p p + δ x p x f(x) = L = f(p) x p Não existe o ite de f em p Exemplo 3.4. Prove que x (3x ) = 4. Devemos fzer um nálise preinr pr conjeturr o vlor de δ. Ddo ε > 0, o problem é determinr δ tl que se 0 < x < δ = (3x ) 4 < ε. Ms (3x ) 4 = 3x 6 = 3(x ) = 3 x. Portnto, queremos 3 x < ε sempre que 0 < x < δ ou x < ε 3 sempre que 0 < x < δ. Isto sugere que podemos escolher δ = ε 3. então Provemos que escolh de δ funcion. Ddo ε > 0, escolh δ = ε. Se 0 < x < δ, 3 (3x ) 4 = 3x 6 = 3(x ) = 3 x < 3δ = 3 ε 3 = ε. Assim, (3x ) 4 < ε sempre que 0 < x < δ logo, pel definição, x (3x ) = 4. Exemplo 3.5. Prove que x p x = p. 44

51 O próximo Teorem grnte que o vlor L stisfzendo definição é único. Teorem 3. (Unicidde do Limite). Sej f um função definid sobre lgum intervlo berto que contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Suponh que Então L = L. f(x) = L e f(x) = L. x p x p Podemos dr definição precis de função contínu. Definição 3.4 (Continuidde). Sejm f um função e p D f. Então f é contínu em p se pr todo ε > 0 existe um número δ > 0, tl que x p < δ = f(x) f(p) < ε, ou sej, se e somente se, f(x) = f(p), x p Diremos que f é contínu em A D f, se f for contínu em todo ponto A. Diremos simplesmente que f é contínu, se f for contínu em todo ponto de seu domínio. Exemplo 3.6. () A função f(x) = 3x é contínu em p =. (b) A função constnte f(x) = k é contínu pr todo p. (c) A função f(x) = x + b é contínu. A seguinte propriedde será útil pr determinr ites. Proposição 3.. Sejm f e g dus funções. Se existe r > 0 tl que f(x) = g(x), p r < x < p + r, x p, e se existe x p g(x) = L, então existe f(x) e f(x) = L. x p x p 45

52 Exemplo 3.7. Clcule x x 4 x. Observe que pr x x 4 x = (x )(x + ) x = x +. Sbemos que x x + = 4. Logo, pel proposição nterior x x 4 x = 4. Exemplo 3.8. Determine L pr que função f(x) = p =. Como x x 4 x = 4 devemos tomr L = 4. x 4 x, x L, x = sej contínu em 3.3 Proprieddes do Limite Suponh que x p f(x) = L e x p g(x) = L. Então: x p ( f(x) + g(x) ) = x p f(x) + x p g(x) = L + L. x p k f(x) = k x p f(x) = k L, onde k = constnte. x p f(x) g(x) = x p f(x) x p g(x) = L L. f(x) f(x) x p g(x) = x p g(x) = L, se L 0. L x p Utilizndo propriedde do produto repetidmente obtemos: [ ] n x p [f(x)]n = f(x) = L n, x p Pr plicr esss proprieddes vmos usr os ites: onde n é um inteiro positivo. x = p e k = k, k constnte. x p x p 46

53 Exemplo 3.9. x p x n = p n, onde n é um inteiro positivo. Exemplo 3.0. Clcule x (5x 3 8), [R : 3]. x 3 + Exemplo 3.. Clcule, [R : /4]. x x + 4x + 3 (3 + h) 9 Exemplo 3.. Clcule, [R : 6]. h 0 h De form mis gerl temos s seguintes proprieddes. Sej n é um inteiro positivo, então n x = n p, se n for pr supomos que p > 0. x p n f(x) = n f(x), se n for pr supomos que f(x) > 0. x p x p x p x 3 Exemplo 3.3. Clcule x 3 x 3, [R : / 3]. t Exemplo 3.4. Clcule, [R : /6]. t 0 t Os próximos três teorems são proprieddes dicionis de ites. Teorem 3. (Teste d Comprção). Se f(x) g(x) qundo x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e os ites de f e g existem qundo x tende p, então f(x) g(x). x p x p Teorem 3.3 (do Confronto). Sejm f, g, h funções e suponh que existe r > 0 tl que f(x) g(x) h(x), pr 0 < x p < r. Se então f(x) = L = h(x) x p x p g(x) = L. x p Exemplo 3.5. Mostre que x 0 x sen x = 0. 47

54 Como sen x, multiplicndo por x temos x x sen x x. Sbemos que x 0 x = 0 = x. Então, pelo Teorem do Confronto, x sen x 0 x 0 x = 0. Exemplo 3.6. Sej f : R R tl que f(x) x, x R. () Clcule, cso exist, x 0 f(x). (b) Verifique se f é contínu em 0. Segue do Teorem do Confronto seguinte propriedde: Corolário 3.. Suponh que x p f(x) = 0 e existe M R tl que g(x) M pr x próximo de p. Então f(x)g(x) = 0. x p Exercício: Prove que x p f(x) = 0 x p f(x) = 0. Exemplo 3.7. Clcule x 0 x g(x), onde g : R R é dd por g(x) = {, x Q 0, x Q. Exercício: Clcule () x 0 x sen x ; (b) x 0 x cos x. Teorem 3.4 (d Conservção do Sinl). Suponh que x p f(x) = L. Se L > 0, então existe δ > 0 tl que pr todo x D f, 0 < x p < δ = f(x) > 0. Anlogmente, se L < 0, então existe δ > 0 tl que pt todo x D f, 0 < x p < δ = f(x) < 0. Prov. Tomr ɛ = L n definição de ite. 48

55 3.4 Limites Lteris Considere seguinte função f(x) = {, x < 0, x 0. f(x) 0 x Qundo x tende 0 pel esquerd, f(x) tende. Qunto x tende 0 pel direit, f(x) tende. Não há um número único pr o qul f(x) se proxim qundo x tende 0. Portnto, f(x) não existe. Porém, nest situção podemos definir os ites lteris. x 0 Definição 3.5 (Intuitiv). Escrevemos f(x) = L x p e dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p pel esquerd é igul L se pudermos tomr os vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L, tomndo x suficientemente próximo de p e x menor do que p. Escrevemos f(x) = L x p + e dizemos que o ite de f(x) qundo x tende p pel direit é igul L se pudermos tomr os vlores de f(x) rbitrrimente próximos de L, tomndo x suficientemente próximo de p e x mior do que p. 49

56 L f(x) f(x) L f x p x f(x) = L x p Definição 3.6 (Limite Lterl Esquerdo). p x f(x) = L x p + x se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p p δ < x < p = f(x) L < ε. Definição 3.7 (Limite Lterl Direito). se pr todo ε > 0 existe um δ > 0 tl que f(x) = L x p + p < x < p + δ = f(x) L < ε. Exemplo 3.8. Prove que x 0 + x = 0. Sej ε > 0. Queremos chr um δ > 0 tl que x 0 < ε sempre que 0 < x < δ, ou sej, x < ε sempre que 0 < x < δ, ou elevndo o qudrdo x < ε sempre que 0 < x < δ. 50

57 Isto sugere que devemos escolher δ = ε. Verifiquemos que escolh é corret. Ddo ε > 0, sej δ = ε. Se 0 < x < δ, então x < δ = ε, logo x 0 < ε. Isso mostr que x 0 + x = 0. x Exemplo 3.9. Clcule x 0 + x e x x 0 x. Note que f(x) = x x Portnto não está definid em 0. Temos { x x =, x > 0, x < 0. x x 0 + x = = e x x 0 x 0 x = =. x 0 Segue ds definições de ites lteris o seguinte teorem. Teorem 3.5. x p f(x) = L x p x p f(x) = f(x) = L. + Corolário 3.. Segue do Teorem 3.5 que se f dmite ites lteris em p, e então não existe x p f(x); f(x) f(x), x p + x p se f não dmite um dos ites lteris em p, então não existe x p f(x). x Exemplo 3.0. Verifique se o ite x 0 x existe. 5

58 Pelo exemplo nterior (Exemplo 3.9), x Portnto não existe x 0 x. x x 0 + x = = e x x 0 x 0 x = =. x 0 O conceito de ite lterl possibilit estender definição de continuidde pr intervlos fechdos. Definição 3.8 (Continuidde em um Intervlo Fechdo). Um função f é contínu em um intervlo fechdo [, b] se é contínu no intervlo (, b) e x x b f(x) = f() e f(x) = f(b) + Exemplo 3.. A função x é contínu no intervlo (, ]. Exercício: Clcule os ites, cso existm. () x 0 x ; (b) x 3 [x]; (c) x 4 f(x), onde f(x) = { x 4 se x > 4, 8 x se x < Proprieddes ds Funções Contínus Seguem ds proprieddes do ite, s seguintes proprieddes ds funções contínus. Sejm f e g funções contínus em p e k = constnte. Então: f + g é contínu em p. kf é contínu em p. f g é contínu em p. f g é contínu em p, se g(p) 0. Exemplo 3.. f(x) = x n, onde n N, é um função contínu. Exemplo 3.3. Tod função polinomil é contínu, pois é som de funções contínus. 5

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática

NOTA DE AULA. Tópicos em Matemática Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic NOTA DE AULA Tópicos em Mtemátic Fonte: http://eclculo.if.usp.br/ 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1.1 Números Nturis

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se . Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9 setor 07 070409 070409-SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3) Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

6.1 Derivação & Integração: regras básicas

6.1 Derivação & Integração: regras básicas 6. Derivção & Integrção: regrs básics REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO. Regr d som:........................................ (u + k v) = u + k v ; k constnte. Regr do Produto:.....................................................

Leia mais

Noção intuitiva de limite

Noção intuitiva de limite Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl: Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids

Leia mais

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3 1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds

Leia mais

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 )

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 ) Universidde Federl de Viços Deprtmento de Mtemátic MAT 40 Cálculo I - 207/II Eercícios Resolvidos e Comentdos Prte 2 Limites: Clcule os seguintes ites io se eistirem. Cso contrário, justique não eistênci.

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional.

Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA UNIDADE DE APOIO EDUCACIONAL UAE MAT 099 - Tutori de Mtemátic Tópicos: Números Rcionis operções e proprieddes (frções, regr de sinl, som, produto e divisão de frções, potênci

Leia mais

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b). 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que

Leia mais

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) =

a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) = List Mtemátic -) Efetue s dições e subtrções: ) ( ) = d) + ( ) = g) + 7 = b) = e) = h) + = c) 7 + = f) + = i) 7 = ) Efetue s multiplicções e divisões: ).( ) = d).( ) = g) ( ) = b).( 7) = e).( 6) = h) (

Leia mais

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

2.4. Função exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas.

2.4. Função exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas. Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel.. Função eponencil e logritmo. Funções trigonométrics directs e inverss. Função eponencil A um unção deinid por nome de unção eponencil de bse. ( ), onde, > 0 e,

Leia mais

C Sistema destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET RACIOCÍNIO LÓGICO

C Sistema destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET  RACIOCÍNIO LÓGICO Pr Ordendo RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 06 RELAÇÕES E FUNÇÕES O pr ordendo represent um ponto do sistem de eixos rtesinos. Este sistem é omposto por um pr de rets perpendiulres. A ret horizontl é hmd de eixo

Leia mais

FUNÇÃO LOGARITMICA. Professora Laura. 1 Definição de Logaritmo

FUNÇÃO LOGARITMICA. Professora Laura. 1 Definição de Logaritmo 57 FUÇÃO LOGARITMICA Professor Lur 1 Definição de Logritmo Chm se logritmo de um número > 0 em relção um bse (0 < 1), o expoente que se deve elevr bse, fim de que potênci obtid sej igul. log, onde: > 0,

Leia mais

Simulado EFOMM - Matemática

Simulado EFOMM - Matemática Simuldo EFOMM - Mtemátic 1. Sejm X, Y, Z, W subconjuntos de N tis que: 1. (X Y ) Z = {1,,, },. Y = {5, 6}, Z Y =,. W (X Z) = {7, 8},. X W Z = {, }. Então o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igul (A) {1,,,,

Leia mais

1. Conceito de logaritmo

1. Conceito de logaritmo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos,

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2,..., q 1. Portanto, após no máximo q passos, Instituto de Ciêncis Exts - Deprtmento de Mtemátic Cálculo I Profª Mri Juliet Ventur Crvlho de Arujo Cpítulo : Números Reis - Conjuntos Numéricos Os primeiros números conhecidos pel humnidde são os chmdos

Leia mais

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:

Leia mais

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos

Leia mais

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está,

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está, UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Introdução Se integrl

Leia mais

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos

Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos Mtemátic pr Economists LES uls e Mtrizes Ching Cpítulos e Usos em economi Mtrizes ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Márci.F. Dis de Mores Álgebr Mtricil Conceitos Básicos

Leia mais

Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA.. Proprieddes dos números

Leia mais

Nº de infrações de 1 a 3 de 4 a 6 de 7 a 9 de 10 a 12 de 13 a 15 maior ou igual a 16

Nº de infrações de 1 a 3 de 4 a 6 de 7 a 9 de 10 a 12 de 13 a 15 maior ou igual a 16 MATEMÁTICA 77 Num bolão, sete migos gnhrm vinte e um milhões, sessent e três mil e qurent e dois reis. O prêmio foi dividido em sete prtes iguis. Logo, o que cd um recebeu, em reis, foi: ) 3.009.006,00

Leia mais

FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I

FUNÇÕES. Funções. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I. TE203 Fundamentos Matemáticos para a Engenharia Elétrica I FUNÇÕES DATA //9 //9 4//9 5//9 6//9 9//9 //9 //9 //9 //9 6//9 7//9 8//9 9//9 //9 5//9 6//9 7//9 IBOVESPA (fechmento) 8666 9746 49 48 4755 4 47 4845 45 467 484 9846 9674 97 874 8 88 88 DEFINIÇÃO Um grndez

Leia mais

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9 EQUAÇÃO DO GRAU DEFINIÇÃO Ddos, b, c R com 0, chmmos equção do gru tod equção que pode ser colocd n form + bx + c, onde :, b são os coeficientes respectivmente de e x ; c é o termo independente x x x é

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

B ) 2 = ( x + y ) 2 ( 31 + 8 15 + 31 8 ( 31 + 8 15 ) 2 + 2( 31 + 8 15 )( 31 8 MÓDULO 17. Radiciações e Equações

B ) 2 = ( x + y ) 2 ( 31 + 8 15 + 31 8 ( 31 + 8 15 ) 2 + 2( 31 + 8 15 )( 31 8 MÓDULO 17. Radiciações e Equações Ciêncis d Nturez, Mtemátic e sus Tecnologis MATEMÁTICA. Mostre que Rdicições e Equções + 8 5 + 8 + 8 5 + 8 ( + 8 5 + 8 5 é múltiplo de 4. 5 = x, com x > 0 5 ) = x ( + 8 5 ) + ( + 8 5 )( 8 + ( 8 5 ) = x

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções

Leia mais

Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...).

Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...). 9. TRIGONOMETRIA 9.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS O gru é um medid de ângulo. Um gru, notdo por 1 o, equivle 1/180 de um ângulo rso ou 1/360 de um ângulo correspondente um volt complet em torno de um eixo. Outr

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b ()

Leia mais

Funções e Limites. Informática

Funções e Limites. Informática CURSO DE: SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO I Funções e Limites Informátic Prof: Mrcio Demetrius Mrtinez Nov Andrdin 00 O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO - FUNÇÃO. O que é um função Um função

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 DEFINIÇÃO LOGARITMOS = os(rzão) + rithmos(números) Sejm e números reis positivos diferentes de zero e 1. Chm-se ritmo

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos? A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo

Leia mais

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k >

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014

Leia mais

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o

Leia mais

Aula 20 Hipérbole. Objetivos

Aula 20 Hipérbole. Objetivos MÓDULO 1 - AULA 20 Aul 20 Hipérbole Objetivos Descrever hipérbole como um lugr geométrico. Determinr su equção reduzid no sistem de coordends com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economists LES Auls 5 e Mtrizes Ching Cpítulos e 5 Luiz Fernndo Stolo Mtrizes Usos em economi ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Álgebr Mtricil Conceitos Básicos

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem

Leia mais

Aula 1 - POTI = Produtos Notáveis

Aula 1 - POTI = Produtos Notáveis Aul 1 - POTI = Produtos Notáveis O que temos seguir são s demonstrções lgébrics dos sete principis produtos notáveis e tmbém prov geométric dos três primeiros. 1) Qudrdo d Som ( + b) = ( + b) * ( + b)

Leia mais

Nota de aula_2 2- FUNÇÃO POLINOMIAL

Nota de aula_2 2- FUNÇÃO POLINOMIAL Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curiti Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Not de ul_ - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil

Leia mais

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T

1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

Matemática para Economia Les 201

Matemática para Economia Les 201 Mtemátic pr Economi Les uls 8_9 Integris Márci znh Ferrz Dis de Mores _//6 Integris s operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição operção invers d dierencição

Leia mais

CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011

CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011 CPV 8% de provção n ESPM em 0 Prov Resolvid ESPM Prov E 0/julho/0 MATEMÁTICA. Considerndo-se que x = 97, y = 907 e z =. xy, o vlor d expressão x + y z é: ) 679 b) 58 c) 7 d) 98 e) 77. Se três empds mis

Leia mais

Lista 5: Geometria Analítica

Lista 5: Geometria Analítica List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no

Leia mais

Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet LIMITE DE UMA FUNÇÃO Cristineguedes.pro.br/ceet Vizinhnç de um ponto Pr um vlor rbitrrimente pequeno >, vizinhnç de é o conjunto dos vlores de pertencentes o intervlo: - + OBS: d AB = I A B I Limite de

Leia mais

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b]

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b] Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej

Leia mais