AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

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1 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1

2 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos os elementos do conjunto. (GEORG CANTOR) N Mtemátic definem-se e estudm-se conjuntos de números, de pontos, de rets, de curvs, de funções, etc Números Rcionis Os números rcionis são d form b Q ={ b,b Z,b 0 } Sendo Z o conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Considerndo N o conjunto dos números nturis: N = {0, 1, 2, 3, 4,...}, sendo e b inteiros e b 0. Observmos que N é subconjunto de Z, que, por su vez, é subconjunto de Q. Ou sej, todo número nturl é tmbém número inteiro, e todo inteiro é tmbém número rcionl. Sejm b e c d operções: i) iguldde: b = c d ii) dição: b c d = d+bc bd dois rcionis quisquer. Definem-se s seguintes d= bc iii) multiplicção: b c d = c bd N frção b, é o numerdor e b o denomindor. Se e b são primos entre si, dizemos que b é um frção irredutível. Exemplo: São frções irredutíveis: 2 3, 13 18, Ms 10, 18 54, são redutíveis. Por quê? 2

3 Notemos que todo número rcionl b pode ser representdo por um número deciml. N pssgem d notção de frção pr deciml podem ocorrer dois csos: 1º) o número deciml obtido tem um quntidde finit de lgrismos, isto é, é um deciml ext; 2º) o número deciml tem um quntidde infinit de lgrismos que se repetem periodicmente, isto é, é um dízim periódic. Exemplo: São decimis extos: 3 1 =3 ; 1 2 = 0,5; =0,027 São dízims periódics: 1 3 =0,333...; 2 =0, Proprieddes Sejm x, y, z números rcionis quisquer. A quádrupl (Q, +,., ) stisfz s seguintes proprieddes: Associtiv (A1) x+ y + z= x+ y+ z (M1) xy z= x yz Comuttiv (A2) x+y=y+x (M2) xy= yx Existênci de elemento neutro (A3) x+ 0 =x (M3) x 1 =x Existênci de oposto (A4) Pr todo rcionl x existe um único y tl que x+y= 0. Tl y denomin-se oposto de x e indic-se por x. Assim, x+ x = 0. Existênci de inverso (M4) Pr todo rcionl x 0 existe um único rcionl y tl que x y= 1. Tl y denomin-se inverso de x e indic-se por x -1 ou 1 x. Assim, x x 1 =1. Distributiv d multiplicção em relção à dição (D) x y+ z = xy+ xz Reflexiv (O1) x x Anti-simétric (O2) x y e y x x= y 3

4 Trnsitiv (O3) x y e y z x z Quisquer que sejm os rcionis x e y (O4) x y ou y x Comptibilidde d ordem com dição (OA) x y x+ z y+ z Isto é, somndo-se mbos os membros de um desiguldde um mesmo número, o sentido d desiguldde se mntém. Comptibilidde d ordem com multiplicção (OM) x y e 0 z xz yz Ou sej, multiplicndo-se mbos os membros de um desiguldde por um mesmo número positivo, o sentido d desiguldde se mntém Números Irrcionis O conjunto I dos números Irrcionis é formdo por números que não podem ser escritos em form de frção b. Exemplo: 2, o número pi (π = 3, ), o número de Euler (e = 2, ) Números Reis O conjunto R dos números reis é união do conjunto Q (dos números rcionis) com o conjunto I (dos números irrcionis) Proprieddes Os números reis possuem tods s proprieddes já descrits dos números rcionis e tmbém: (P1) Somndo-se membro membro desigulddes de mesmo sentido, obtém-se outr de mesmo sentido. x y x+z y+w z w 4

5 (P2) Lei do cncelmento x+z= y+z x= y (P3) Multiplicndo-se membro membro desigulddes de mesmo sentido e de números positivos, obtém-se desiguldde de mesmo sentido. 0 x y xz yw 0 z w (P4) Multiplicndo-se mbos os membros de um desiguldde por um número negtivo, o sentido d desiguldde mud. z<0 x<y xz>yz (P5) Anulmento do produto xy= 0 x= 0 ou y= 0 ATIVIDADE 1) Determine se o número rel é rcionl ou irrcionl: () 0,7 (b) 3678 (c) 3 (d) 3 64 (e) 0, Ret Rel Um mneir prátic de representr os números reis é trvés d ret rel. Observe que ess representção começ com escolh de um ponto rbitrário, denomindo origem ou ponto zero, e um outro ponto rbitrário su direit, o ponto 1. A distânci entre esses pontos (distânci unitári) serve como escl por meio d qul é possível ssocir pontos d ret números inteiros positivos ou negtivos, como ilustrdo n figur seguir, e tmbém números rcionis. Todos os números positivos estão à diret do zero, no sentido positivo, e todos os números negtivos estão à su esquerd. Porém, não preenchem completmente, isto é, há pontos d ret que não representm rcionl lgum. Por exemplo, entre 1,41 e 1,42 fic um ponto que represent 2=1, que é irrcionl. Qundo representmos num ret os números rcionis e os irrcionis, cd ponto d ret pss representr necessrimente um número rcionl ou irrcionl, portnto rel, isto é, os reis preenchem completmente ret. 5

6 Est ret, que represent R, é chmd ret rel ou ret numéric. N ret rel os números estão ordendos. Um número é menor que qulquer número x colocdo à su direit e mior que qulquer número x à su esquerd Intervlos Um conjunto de números reis pode ser representdo em notção de intervlo. Intervlo berto de té b, denotdo por,b, é o conjunto de todos os números reis x, tis que < x< b. Os pontos extremos não pertencem o intervlo. ( ) Intervlo fechdo de té b, representdo por [,b ] é o conjunto de números reis x, tis que x b. Os extremos e b pertencem o intervlo. b [ ] Intervlo berto à direit, de té b, representdo por [, b é o conjunto de números reis x, tl que x< b. Neste cso pertence o intervlo, ms b não pertence. [ ) b b Intervlo berto à esquerd, b ], b pertence o intervlo, ms não pertence o intervlo. ( ] b 6

7 Existem tmbém os intervlos não limitdos representdos pelos símbolos e (infinito). No extremo em que é utilizdo ou, o intervlo é sempre berto. São eles: ) Aberto de té, representdo por,+ é o conjunto de todos os números reis x tl que x>. ( + o intervlo b) Aberto de té, representdo por, é o conjunto dos números reis x tl que x<. ) - o intervlo c) Fechdo de té, representdo por [,+ é o conjunto de todos os números reis x, tis que x. [ + d) Fechdo de té,, ], x. ] - o intervlo o intervlo O intervlo, é o conjunto dos números reis R Desiguldde Desiguldde é um expressão que estbelece um relção de ordem entre dois elementos. Nos números reis, est relção é representd pelos símbolos <,, >,, significndo, menor, menor ou igul, mior, mior ou igul, respectivmente. De form mis gerl, tmbém podem ser incluíds ns desigulddes expressões contendo relção de diferenç ( ). Exemplo: Resolv inequção 5x 3 2x 7 5x 3 2x 7 3x 4 x< 4 3 Assim, { x R x< 4 3 } é o conjunto ds soluções d inequção dd. 7

8 Exemplo: Estude o sinl de x+ 3 x 2. Pr x + 3, temos: Pr x 2, temos: Assim, temos: Pr x < -3, x + 3 < 0 e x 2 < 0, logo x+ 3 x 2 0. Pr -3 < x < 2, x + 3 > 0 e x 2 < 0, logo x+ 3 x 2 0. Pr x > 2, x + 3 > 0 e x -2 > 0, logo x+ 3 x 2 0. Pr x = -3, Pr x = 2, x+ 3 x 2 x+ 3 x 2 =0. não está definid (não existe) Conclusão: x+ 3 x 2 0 pr x < -3 ou x > 2 x+ 3 x 2 0 pr -3 < x < 2 x+ 3 x 2 =0 pr x = -3 ATIVIDADES 2) Determine qul o vlor de x que verific desiguldde: 5x 12 > 0 () x = 3 (b) x = -3 (c) x = 2,2 (d) x = 1,5 (e) 0 3) Resolv s desigulddes e esboce o gráfico d solução n ret rel: () x 5 7 (b) 0 x + 3 < 5 (c) x 2 x 3 5 8

9 4) A receit d vend de x uniddes de um produto é R = 115,95x, e o custo d produção de x uniddes é C = 95x Pr que hj lucro, receit de vends há de ser mior do que o custo. Pr que vlores de x este produto drá lucro? Módulo Sej x um número rel, definimos o módulo (ou vlor bsoluto) de x por: x = { x x 0 x x< 0} De cordo com definição, o módulo de um número rel é sempre positivo. Geometricmente, o módulo de um número represent distânci deste número té zero. Exemplo: 0 = 0-7 = 7 =7 Proprieddes: Pr todo x rel: i) x 2 = x 2 ii) x 2 = x iii) Suponh > 0. x = x = ou x = -. iv) Suponh r > 0. x < r -r < x < r. v) Suponh r > 0. x p < r p r < x < p + r Isto é, distânci de x p é estritmente menor que r se, e somente se, x estiver estritmente compreendido entre p r e p + r. vi) Suponh y rel. xy = x y. Isto é, o módulo de um produto é igul o produto dos módulos dos ftores. Exemplo: Resolv inequção x < 3. x < 3-3 < x < 3 Atenção: Em gerl: +b + b -b - b +b ² ²+ b ²+2 b Desigulddes Importntes: Pr quisquer números reis e b, tem-se que: +b < + b -b < + b 9

10 - b < -b - b < -b ATIVIDADES 5) Resolv desiguldde e esboce o gráfico d solução n ret rel. ) x < 5 b) x c) 9-2x < 1 6) Represente n ret rel os intervlos: ) [-2, 2] c) (-3, 3) c) [4, ) 7) Pr testr se um moed é equilibrd, um pesquisdor lnç- 100 vezes e not o número x de crs. A teori esttístic firm que moed deve ser considerd não equilibrd se x ,645. A prtir de qul número de crs moed é considerd não equilibrd? Potencição Sejm e b números reis e m, n números nturis, então são válids s seguintes proprieddes: Proprieddes Exemplo m n = m+n = =3 14 m n =m n, sempre que =5 3 2 =5 1 = 1 5 1= 1 5 b n = n b n 3x 2 =3 2 x 2 =9x 2 b n n = 5 b n 2 3 = m n = m.n =4 2 1 =4 2 = 1 4 2= 1 16 n = 1 n 2 1 =

11 m n m n = 2=2 1 2 b = b b= b 36 4 = 36 4 = 9=±3 4 16= 64=±8 n m = n m = = 64 =± 8 Se m = n então m= n 7 3 =7 x então x=3 Observção: 0 =1, pr todo 0. ATIVIDADES 8) Reduz um só potênci: ) b) c) d) e) 8 9 (8.8 6 ) f) (3 4 ) 2 g) h) i) [ 5 4 2] 3 j) [(0,03) 5 ] -2 9) Simplifique s equções supondo b 0 :) 2 b b 2 3 b) 4 b 2 3 b 2 2 c) [ 3 b 2 2 ] d) 2 b b b

12 e) 2 b + b +b b REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Jneiro: Livros Técnicos Científicos, LEITHOLD, L. Cálculo com Geometri Anlític. 3 ed. Vol. I. São Pulo: Hrbr, List de Sites Mtemátic Essencil: Disponível em (cesso em fevereiro/2016). 12