Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

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1 Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos os vlores () que tom. Pr perceber o que isto signiic, comecemos por nlizr lguns eemplos em que se us o integrl: (1) Queremos clculr o vlor médio d tempertur o longo do di. O vlor médio de n números 1,..., n é clculdo trvés de ā = 1 i n Se o vlor d tempertur o longo do di é ddo por um unção T (t) (t em hors), podemos proimr o vlor médio T medindo tempertur de hor hor, somndo e dividindo por 24: T (1) + T (2) T (24) T 24 Um proimção melhor é medir tempertur todos os minutos e dividir pelo número de minutos num di: T T ( 1 6 ) + T ( 2 6 ) T (24) = T ( 1 6 ) t + T ( 2 6 ) t T (24) t 24/ t 24 em que t = 1 minuto = 1 6 hors é o intervlo entre medições d tempertur. Um proimção melhor seri considerr tempertur todos os segundos. Obterímos então T 1 T (t i ) t 24 i em que t = 1 segundo e t 1 = 1 segundo, t 2 = 2 segundos, t 3 = 3 segundos, t 6 = 1 minuto e ssim sucessivmente. Ms mesmo isto é pens um proimção. O vlor médio ecto é pens obtido qundo sommos todos os vlores d tempertur. O intervlo t tende então pr zero. Escrevemos então dt em vez de t e pensmos nele como um intervlo de tempo ininitesiml. Chmmos integrl de T este limite d som T (t i ) t e representmolo por 24 T = T (t) dt. O vlor médio é então T = t= T (t) dt De mneir nálog vemos que o vlor médio dum unção entre = e = b é ddo por = 1 () d b = (2) Historicmente noção de integrl preceu primeiro pr resolver o problem do cálculo de áres. Sej () um unção positiv (() ). Sej 1

2 2 R região do plno entre = e = b por bio do gráico de e por cim do eio dos, ou sej, R = {(, y) R 2 : b, y ()} Pr clculr áre de R dividimos R em is verticis de lrgur e proimmos áre de cd i pel áre dum rectângulo de lrgur e ltur ( i ): Então Áre(R) i ( i ) b Pr obtermos o vlor ecto d áre é necessário dividir região R num número ininito de is verticis de lrgur ininitesiml d, um i pr cd vlor de entre e b d Este limite é precismente o integrl de : Áre(R) = = () d Vmos então estudr lgums proprieddes do integrl, tendo como gui estes eemplos. O cso mis simples é quele em que unção é constnte. Em cd um dos eemplos cim teremos Se tempertur T (t) é constnte igul T, então o seu vlor médio é ess constnte: T = T = T dt. Ou sej, 24 T dt = 24T. b

3 3 Se unção () é constnte igul C, região R por bio do gráico de é um rectângulo de ltur C e bse b : ()=C Portnto Portnto deveremos ter = =b Áre(R) = C d = C(b ) Propriedde I: Sej () = C um unção constnte. Então () d = C(b ) Este resultdo é nálogo o cto de um som de termos constntes ser igul vezes o número de termos. Agor observemos o seguinte: Se durnte um di, tempertur T 1 (t) or sempre inerior à tempertur T 2 (t) à mesm hor noutro di, então tempertur médi nesse di é tmbem inerior. Ou sej, T 1 (t) dt = T 1 T 2 = T 2 (t) dt Se g() () pr todo o [, b], então região R 1 por bio do gráico de g está contid n região R 2 por bio do gráico de : Propriedde II g Logo = =b g() d = Áre(R 1) Áre(R 2) = () d

4 4 Estes eemplos levm-nos pedir que Propriedde II: Se () g() pr todo o [, b] então () d g() d O mesmo resultdo é válido pr soms: se pr todo o i, i b i então n b 1 + b b n. Um consequênci imedit ds proprieddes I e II é seguinte: se m () M então m d () d M d logo (1) m(b ) () d M(b ) Dividindo por b podemos interpretr ests desigulddes em termos do vlor médio de : m M O próimo resultdo diz-nos que o vlor médio é tingido: Teorem (Teorem do vlor médio). Sej um unção contínu. Então eiste um c [, b] tl que = (c). De um orm equivlente, () d = (c)(b ) Demonstrção. Como é contínu, tinge os seus vlores mínimo e máimo m = ( m ) e M = ( M ). Então ( m ) ( M ) logo, pelo teorem do vlor intermédio, eiste c [, b] tl que (c) =. Finlmente temos terceir propriedde do integrl que nos diz o que contece se dividirmos o intervlo [, b] em dois intervlos [, c] e [c, b]: Propriedde III R 1 R 2 = =c =b A linh = c divide região R por bio do gráico de em dus regiões R 1 e R 2 e temos que Áre(R) = Áre(R 1) + Áre(R 2) Logo

5 5 Propriedde III: Sejm c b. Então c () d + () d = c () d Integrl como áre. Vimos que, pr um unção positiv, o integrl de é áre d região R por bio do gráico de. Vmos nest secção descobrir um interpretção em termos de áres do integrl dum unção não necessrimente positiv. Começmos com o cso dum unção () sempre negtiv. Sej g() = (). Então intuitivmente o vlor médio de g é o simétrico do vlor médio de : ḡ =. Logo () d = (b ) = ḡ(b ) = g() d = Áre(R g) em que R g é região por bio do gráico de g. Sej R gráico de : região por cim do Então Áre(R g) = Áre(R ) R = { b, () y } g = R g b R Logo () d = Áre(R ) Consideremos gor um unção cujo gráico é ddo pel igur seguinte:

6 6 R 1 c R 2 b Então () d = c () d + c () d = Áre(R 1) Áre(R 2) Este eemplo lev-nos à seguinte deinição: dd um unção contínu sej R + () região do plno entre = e = b por cim do eio dos e por bio do gráico de, ou sej, região em que y (): R + () = {(, y) R 2 : b, y ()} Sej R () região por cim do gráico de, ou sej, R () = {(, y) R 2 : b, () y } + R () R () = =b Então o integrl entre e b de é ddo por () d = Áre(R+ ()) Áre(R ()) Soms de Riemnn. Há dus questões essenciis que queremos responder: Ddo um problem como escrever um integrl pr clculr solução Como clculr esse integrl A solução pss por introduzir soms de Riemnn. Um prtição P = {,..., n } de [, b] é um conjunto de números = n = b. P

7 7 divide o intervlo [, b] e n intervlos [, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 3 ],..., [ n 1, n ]. Pel propriedde III temos então () d = 1 () d () d n n 1 () d Se os intervlos [ i 1, i ] orem suicientemente pequenos, então é proimdmente constnte em cd intervlo. Escolhendo um ponto c i em cd intervlo, () (c i ) logo é nturl esperr que (2) i i 1 () d i i 1 (c i ) d = (c i )( i i 1 ) É costume representr s dierençs i i 1 por i. Somndo em i obtemos () d (c i ) i Est idei está ilustrd n igur seguinte, com c i = i 1+i 2 : = b= 8 Deinição: Sej c o conjunto dos pontos {c 1, c 2,..., c n }. S P,c () é dd por S P,c () = (c i ) i A som de Riemnn Então () d S P,c(). Pr estudrmos o erro cometido, nlizemos proimção () (c i ). Pelo teorem de Lgrnge eiste um ponto ξ i entre e c i tl que () (c i ) = (ξ i )( c i ) = (ξ i ) c i (ξ i ) i Logo proimção será tnto melhor qunto mis pequenos orem os intervlos [ i, i 1 ]. Por isso introduzimos noção de módulo P dum prtição: Deinição: O módulo de P é o comprimento do mior intervlo d prtição: P = m{ 1, 2,..., n } Sej M tl que () M pr todo o. Então () (c i ) (ξ) i M P.

8 8 Pelo teorem do vlor médio, em cd intervlo [ i 1, i ] eistem pontos d i tis que i i 1 () d = (d i ) i logo i (3) () d (c i ) i i 1 = (di ) i (c i ) i M P i (comprr com equção (2)). Teorem. Sej : [, b] R um unção com () M. Então () d S P,c () M P (b ) Em prticulr, () d = lim P S P,c() Demonstrção. () d S P,c () = i () d (c i ) i i 1 ( ) i = () d (c i ) i i 1 i () d (c i ) i i 1 M P i (equção (3)) = M P i = M P (b ) As igurs seguintes representm sucessivs proimções do integrl por soms de Riemnn: Cálculo do integrl. Pr clculr integris é de grnde utilidde o resultdo seguinte: Teorem. Sej F um unção com derivd contínu. Então F () d = F (b) F ()

9 9 Demonstrção. Sej P = { =, 1,..., n = b} um prtição de [, b]. Então F (b) F () = F (b) F ( n 1 )+F ( n 1 ) F ( n 2 )+...+F ( 2 ) F ( 1 )+F ( 1 ) F () Pelo teorem de Lgrnge, eistem pontos c i tl que Logo F (b) F () = F ( i ) F ( i 1 ) = F (c i ) i ( ) F ( i ) F ( i 1 ) = Agor bst tomr o limite qundo P. F (c i ) i = S P,c (F ) Eemplo. Queremos clculr o integrl d. Sej F () = log. Então F () = 1 logo d = F (2) F (1) = log 2 log 1 = log 2. Este eemplo mostr que pr clculr integris é necessário, dd um unção, chr um unção F tl que F () = (). Deinição: Dizemos que um unção F é um primitiv de se F () = (). Primitivção é portnto operção invers d derivção. Ao contrário d derivd, no entnto, um unção tem váris primitivs: Teorem. Sej : R R um unção com um primitiv F (). Então o conjunto de tods s primitivs de é constituido pels unções F () + C com C R um constnte. Denotmos este conjunto por () d = { F () + C : C R } Demonstrção. Se F () = () então (F () + C) = () logo F () + C tmbém é um primitiv de. Dd um primitiv G de, G () = F () = () logo ( G() F () ) = portnto G() F () é constnte. Logo G() = F () + C. Eemplo. Algums primitivs importntes: d = +1 + C ( 1) e d = e + C cos d = sen + C 1 d = log + C ( ) sen d = cos + C d = rctg + C É nturl colocr seguinte questão: qundo é que um unção tem um primitiv? O próimo teorem diz-nos que qulquer unção contínu tem primitivs. Teorem. Sej um unção contínu. Então unção F () = (t) dt é um primitiv de, isto é, F é dierenciável e F () = ().

10 1 Demonstrção. A prov é um continh: pel propriedde III, ( F ( + ) F () = 1 + ) (t) dt (t) dt = 1 Pelo teorem do vlor médio eiste um c entre e + tl que + (t) dt F ( + ) F () = (c) Tomndo o limite qundo, necessrimente c logo (c) () e obtemos F () = (). Um dos métodos mis poderosos pr clculr integris é mudnç de vriável: dd um unção dierenciável g : [, b] R introduzimos um nov vriável y = g(). Teorem. Sej g um unção dierenciável, um unção contínu. Então =b = (g())g () d = y=g(b) y=g() Demonstrção. Sej F (y) um primitiv de (y). Então g(b) g() (y) dy = F (g(b)) F (g()) = (y) dy d F (g()) d = d (g())g () d Um notção útil neste conteto é seguinte: dd um unção dierenciável g escrevemos dg() = g ()d Então o teorem diz-nos que =b = (g())dg() = y=g(b) y=g() (y) dy