Matrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos

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1 Mtemátic pr Economists LES uls e Mtrizes Ching Cpítulos e Usos em economi Mtrizes ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Márci.F. Dis de Mores Álgebr Mtricil Conceitos Básicos Mtriz: tod tbel de números dispostos em: fils horizontis (ou linhs) verticis (ou coluns) Se tbel tiver m linhs e n coluns, dizemos que mtriz é retngulr do tipo (ou de ordem) m x n (lêse m por n) s linhs são numerds de cim pr bixo s coluns são numerds d esquerd pr direit Os elementos de um mtriz são gerlmente representdos entre colchetes indicção de um mtriz é feit por um letr miúscul do lfbeto. Mtrizes Conceitos Básicos. Ordem d Mtriz Mtriz (m x n) Ordem: (x) B Ordem: (x) C Ordem: (x) Mtrizes Conceitos Básicos ) Vetor linh: mtriz de um únic linh (m) [ ] (x) D [d d d n ] (xn) ) Vetor colun: mtriz de um únic colun (n) c c C c B (x) c m (mx) Mtrizes Conceitos Básicos ) Os elementos de um mtriz: representdos por meio de letrs minúsculs do lfbeto compost de dois índices: o primeiro indicndo linh, e o segundo, colun à qul pertence o elemento.

2 Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Qudrd: n m número de linhs número de coluns ) Digonl principl ( i j) e Digonl secundári: i + j n + Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Tringulr: bixo ou cim d digonl principl todos os elementos são nulos B Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Digonl: mtriz qudrd n qul todos os elementos for d digonl principl são nulos um mtriz é digonl se ij pr i j Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Nul: todos os elementos são nulos é mtriz nul tipo x mtriz nul de ordem. Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Identidde: mtriz qudrd cujos elementos d digonl principl vlem e os demis vlem Mtriz identidde de ordem n é indicd por In I I II Mtrizes Conceitos Básicos Mtriz Identidde Exemplos.I I. : ) ( então x dimensão d mtriz identidde difere se estiver pré ou pós multiplicndo mtriz É mesm se mtriz for qudrd

3 Mtrizes Conceitos Básicos ) Mtriz Trnspost ( t ou ): Dd mtriz, de dimensão (mxn) mtriz trnspost de ( t ou ), de dimensão (nxm) é que se obtém trocndo s linhs por coluns (. Linh de corresponde. colun de t) t (x) (x) Mtrizes Conceitos Básicos Proprieddes d Mtriz Trnspost ( t ) ) ( t ) t b) (+ B) t t + B t c) (BC) t C t B t t (desde que respeitds s comptibiliddes dimensionis) d) Cso especil: t se: é mtriz simétric ( ij ji pr todo i j) Mtrizes Conceitos Básicos é mtriz simétric se ij ji pr todo i j Proprieddes Simétric: t t Operções e Relções lgébrics Sejm: [ ij ] mxn B [b ij ] mxn i,,,, m j,,, n ) Som e Subtrção de Mtrizes: Operções são feits o nível de elementos Mtrizes tem que ter mesms dimensões + B C, onde C [c ij ] mxn, tl que c ij ij + b ij + Operções e Relções lgébrics ) Som e Subtrção de Mtrizes: Exemplos B C + B D B! # C # # " $ & & & % " $ C $ $ # % ' ' ' & Operções e Relções lgébrics b) Multiplicção de Mtrizes: b.) Multiplicção por esclr γ γ γ γ γ γ m γ γ γ m γ γ γ n mn

4 Operções e Relções lgébrics b.) Multiplicção de dus mtrizes Dds dus mtrizes e B, com dimensões (m x n ) e (m x n ), mtriz resultnte C.B: Só existirá se n m Terá dimensão m x n B C x x x x x x x x Operções e Relções lgébrics b.) Multiplicção de dus mtrizes ) b) O elemento x ij d mtriz C será o resultdo d som dos produtos dos elementos d linh i de pel colun j de B B B (Vetor linh) x (vetor colun) esclr (xn) (nx) Operções e Relções lgébrics b.) Multiplicção de dus mtrizes Gerlmente multiplicção de mtrizes NÃO é comuttiv: B B (x) B (x) C (x) B (x) (x) : Não dá pr multiplicr Se: B B B Proprieddes ds Operções ) Proprieddes d dição. Comuttiv: + B B +. ssocitiv: ( + B) + C + (B + C) B) Proprieddes d Multiplicção ) ssocitiv: BC (B)C (BC) ) Distributiv pel esquerd: (B + C) B + C ) Distributiv pel direit: (B + C) B + C (desde que s comptibiliddes dimensionis sejm observds) Proprieddes ds Operções ) Comuttiv: NÃO (B B) (somente qundo um ds mtrizes for mtriz Identidde) ) Se k é um número: (k)b (kb) k(b). ).. K n K vezes Qundo : mtriz é idempotente Determinnte É um número ssocido à dd mtriz, obtido por determind regr Somente pr mtriz qudrd regr de Crmer só é plicd n prátic em sistems com poucs equções, já que pr sistems com grnde número de equções e de incógnits são usdos métodos mis simples e práticos

5 Cálculo do Determinnte ) Mtriz de ordem Sej M [ ] Definimos determinnte de m como sendo o próprio numero isto é: b) Mtriz de ordem : Sej Cálculo do determinnte M O determinnte de um mtriz de ordem é diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári det M det M Cálculo do Determinnte Mtriz de ordem Exemplos ( ) c) Mtriz de ordem Regr de Surus ( prlelo pont ) det M det M det M

6 Cálculo do Determinnte ) Mtriz de ordem n qulquer O vlor de um determinnte de um mtriz M de ordem n qulquer pode ser obtido pel Expnsão de Lplce, prtir de qulquer linh ou colun d mtriz M Determinnte: é som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) pelos respectivos coftores Sej M um mtriz qudrd de ordem n e ij um elemento dest mtriz Chmmos de coftor de ij o produto de () i+j pelo determinnte d mtriz que se obtém suprimindose linh i e colun j de M. Coftor ou Complemento lgébrico Sej mtriz M M O coftor de é igul () + vezes o determinnte d mtriz suprimindose colun e linh do elemento. () +. Sej mtriz M M O coftor de é igul () + vezes o determinnte d mtriz suprimindose colun e linh do elemento. Expnsão pel. colun + Escolher linh COM MIOR NUMERO DE ZEROS + + () + ( ) ( + + ) Proprieddes dos Determinntes ) det det t ) Trocndo dus fils de posição, lter somente o sinl do determinnte

7 Proprieddes dos Determinntes ) Se todos os elementos de um linh ou colun forem iguis zero, o determinnte ) Um mtriz com dus fils iguis, ou um fil igul o múltiplo d outr tem determinnte Proprieddes dos Determinntes ) Se é digonl ou tringulr: Π ii Produtório dos elementos d digonl principl b c. b. c. d d Proprieddes dos Determinntes ) Multiplicndo os elementos de um fil por α, o determinnte fic multiplicdo por α α c αb α d c b d Mtriz Invers ( ) Se pr um mtriz qudrd nxn existir um mtriz qudrd B nxn, tl que:.b I B. ) B.B Dizse que B é mtriz invers de. ssim: I n Sendo que existe se e somente se Mtriz Invers ( ) Exemplo: Sej mtriz tem invers / invers de pois : / /. / I /. I / Mtriz Invers ( ) ) mtriz invers só é definid pr mtrizes qudrds b) Se NÃO EXISTIR, é chmd de MTRIZ SINGULR Se EXISTIR, é chmd de MTRIZ NÃO SINGULR c) Se EXISTIR el é únic d) ( ) e) (B) B f) ( ) ( ) (invers trnspost trnspost invers

8 Usndo coftores Cálculo d Mtriz Invers dj i+ j c ij ( ). M ij [ cof ()] t Menor d Mtriz É O DETERMINNTE D MTRIZ RESULTNTE O SE TIRR LINH i E COLUN j Cálculo d Mtriz Invers Ex: Clculr invers d Mtriz Cálculo d Mtriz Invers Ex: Clcule invers, se existir

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