A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)
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- Manuel Anjos Guterres
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1 A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo estelece um relção que nos permitirá clculr áre em um intervlo qulquer. Resultdo_5: Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo Sej f é contínu em um intervlo fechdo I. Se P é derivável no intervlo erto I e P ( = f(, então pr cd, em I: f (d P( P( P( é o limite inferior de integrção e o superior, f( é o integrndo. Est integrl é chmd Integrl de Newton [, p.55]. Eemplo. Clculr d Primitiv de f(: P( C (pois P ( = f( = A integrl no intervlo [-, ] vle: d ( C ( ( C ( C ( C ( C A Integrl de Newton clculd no intervlo [-, ] é nul, ms áre, como podemos perceer n figur, não é. O cálculo d integrl de Newton não depende do vlor d constnte C e por est rzão podemos usr s primitivs com C =.
2 . Proprieddes d Integrl de Newton As integris de Newton gozm ds seguintes proprieddes P. P. [f ( g(]d f (d g(d kf (d k f (d, k constnte. P. c c f (d f (d f (d, c.. - Cálculo de áre Indicmos seguir como clculr áre de um região mostrd n figur seguir. Sejm f e g integráveis no intervlo [, ]. A áre entre s curvs f e g neste intervlo vle (em uniddes de áre: A(, = f (]d [(g( Oservmos que A(, e A(, =, ests são crcterístics importntes que devem ter primitiv pr o cálculo d áre. É preciso ter cuiddo com os limites de integrção e com o sinl d função no integrndo que deve ser sempre positiv no intervlo de integrção considerdo. Pr o Eemplo, áre d região hchurd (entre f( = e y = no intervlo [-, ] pode ser clculd d seguinte mneir (em uniddes de áre: Áre = ( d ( d ( C ( C.
3 EXEMPLOS... Clculr áre d região limitd pels curvs y = e y =. Pontos de encontro entre y = e y = : = - = ( - ( + = = ou = - Cálculo em uniddes de áre: A(-, = [ ]d ( 8 8 (8 ( 8.. Usndo idéi de elementos de áre, clculr áre d região limitd pels curvs y = e y =. Resolução O elemento de áre da é áre de um retângulo de dimensões ( - e d: da = ( - d Integrndo de [-, ], tem-se: da ( d A(, ( d Já clculd nteriormente e vle: A(, unid. de áre.. Clculr áre limitd pel práol y = e ret y = -. Resolução com elemento de áre verticl Os pontos de encontro entre y = e y = - (já ssinldos no gráfico são: = ( = = ou =. Os pontos são (, - e (,.
4 Cálculo d áre (em uniddes de áre: Áre = Áre = Áre [( 8 ( d ( 8 9 Áre 9 ( ]d [( d Resolução com elemento de áre horizontl ( ]d Oservr que y = y e que y = - y Cálculo d áre (em uniddes de áre:
5 Áre ( y y y dy ( y y 9 N resolução em ( form necessários elementos de áre distintos enqunto que n resolução em ( pens um e tl resolução mostrou-se ser mis simples. mm.. Clculr áre limitd por F (, m e m constntes positivs e s rets r verticis r = e r = ( > > constntes reis. Resolução. Considere o desenho seguir. Tem-se, em uniddes de áre: da mm.dr r dr mm A mm mm ( r r Se considerrmos que F represent forç grvitcionl que tri dois corpos de msss m e m, um constnte de proporcionlidde que depende ds uniddes utilizds ns outrs grndezs e r distânci que sepr esses corpos, o que cmos de clculr é o trlho eigido pr que um ds msss psse d posição r = pr posição r =.
6 ..5 Encontrr áre d região limitd pels curvs y = + 6, y = e y = -/. Resolução. Ponto de encontro entre y = + 6 e y = : = =. Possiiliddes de rízes: {,,, 6} Sustituindo esses vlores n equção =, verificmos que = é riz (verifique que = é únic riz rel. Esss curvs se cruzm no ponto (, 8. Ponto de encontro entre y = -/ e y = : = -/ = ( + = = ou + =. = é únic riz rel. Esss curvs se cruzm no ponto (, Ponto de encontro entre y = + 6 e y = -/ + 6 = -/ = -. Esss curvs se cruzm no ponto (-,. Gráfico ds curvs O cálculo d áre em uniddes de áre vle: A [(6 ( ]. d A (6. d [(6 ]. d (6. d A (6 (6 A = + = Eercícios: Clculr est mesm áre usndo elementos de áre verticis. Clculr áre d região limitd por y = -/, y = e =. (Resp. 5 unid. de áre.
7 ..6 Encontrr áre d região limitd pels curvs y =, y = - e y =. Resolução. Ponto de encontro entre y = e y = : = ; Ponto de encontro entre y = - e y = : = -; Ponto de encontro entre y = e y = - : =. Gráfico ds curvs O cálculo de áre em unidde de áre vle: A ( A ( ln A (8.d ln A (8 (.d ( ln (8 ln ln 7, Eercícios. Resolver este mesmo prolem usndo elemento de áre verticl. Clculr áre entre s curvs y = e y = - no intervlo [-, ]. (Resp. 9 ln Unid. de áre Biliogrfi [] ANTAR NETO, A. et Alli. Introdução à Análise Mtemátic. São Pulo: Editor Modern, 985. [] FLEMMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo "A". Florinópolis: Editor d UFSC, 99. [] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. (Volume, ª Edição. Rio de Jneiro: LCT, 985. [] KITCHEN JR., Joseph W. Clculus of one vrile. Msschusetts: Addinson- Wesley, 968. [5] KUELKAMP, Nilo; Cálculo I, Florinópolis: Editor d UFSC.
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