Integrais Impróprios

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1 Integris Impróprios Extendem noção de integrl intervlos não limitdos e/ou funções não limitds Os integris impróprios podem ser dos seguintes tipos: integris impróprios de 1 espéie v qundo os limites de integrção são infinitos, isto é, qundo o intervlo de integrção não é limitdo integris impróprios de 2 espéie v qundo função integrnd é não limitd no intervlo de integrção (ms este é limitdo) Qundo possuem situções dos dois tipos nteriores dizem-se integris impróprios mistos Integris Impróprios de 1 espéie Definição: Sej f um função integrável em todo o suintervlo fehdo e limitdo de, (isto é, todo, *, om * u ) Chm-se integrl impróprio d função f em, fÿx dx lim * fÿx dx *v Cso o limite exist e sej finito, diz-se que o integrl impróprio fÿx dx é onvergente, sendo esse o seu vlor Cso ontrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integrl impróprio é divergente

2 Oservção: Ns ondições d definição nterior, fÿx dx é simplesmente lim FŸ*, sendo F o integrl indefinido de f *v Exemplo importnte: 1 dx v Integrl de Dirihlet 1 k x 1 1 x k dx é divergente, se k t 1 onvergente, se k 1 Anlogmente: Definição: Sej f um função integrável em todo o suintervlo fehdo e limitdo de ", (isto é, todo ),, om ) t ) Chm-se integrl impróprio d função f em ", " fÿx dx )v" lim fÿx dx ) Cso o limite exist e sej finito, diz-se que o integrl impróprio fÿx dx é onvergente " Cso ontrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integrl impróprio é divergente

3 Definição: Sej f um função integrável em todo o intervlo fehdo e limitdo de R Diz-se que o integrl impróprio fÿx dx " é onvergente se, pr lgum R, forem onvergentes mos os integris impróprios fÿx dx " e fÿx dx Nesse so, fÿx dx " fÿx dx " fÿx dx Se lgum dos integris impróprios fÿx dx ou " fÿx dx for divergente, fÿx dx é divergente " Not 1: Nun se trlh om dois prolems num integrl impróprio prte-se de modo termos um prolem por integrl Not 2: Se mos os integris fÿx dx e " fÿx dx forem divergentes, por definição, fÿx dx é divergente " Not 3: É fáil verifir que onvergêni ou divergêni de fÿx dx,em omo o seu vlor, é independente do vlor " onsiderdo ) Not 4: fÿx dx não pode ser estuddo por lim " fÿx dx )v ") De fto, * fÿx dx lim " fÿx dx lim )v" ) fÿx dx *v

4 Integris Impróprios de 2 espéie Definição: Sej f um função integrável em todo o suintervlo fehdo e limitdo de, (isto é, em todo, *, e não limitd em, Chm-se integrl impróprio d função f em, * fÿx dx lim *v fÿx dx " Cso o limite exist e sej finito, diz-se que o integrl impróprio fÿx dx é onvergente Cso ontrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integrl impróprio é divergente Define-se de mneir nálog fÿx dx qundo o prolem se verifi em, limite inferior de integrção: Exemplo: fÿx dx lim fÿx dx )v ) x k dx é divergente, se k onvergente, se k u 1 uuu 1 uuu

5 Mntém-se regr de termos pens um prolem por integrl e sempre num extremo: Se o prolem é em pertenente o interior do intervlo,, fÿx dx fÿx dx fÿx dx sendo onvergente sse mos o forem (sendo o seu vlor som) Se o prolem é em mos os extremos, fÿx dx d fÿx dx d fÿx dx, om d,, sendo onvergente sse mos o forem (sendo o seu vlor som) Integris Impróprios mistos Se o integrl impróprio for misto, ou sej, se o intervlo for ilimitdo e função for ilimitd nesse intervlo, pli-se o rioínio nterior de modo termos sempre um prolem por integrl e sempre num extremo O integrl impróprio misto é onvergente sse todos os integris impróprios em que foi deomposto o forem (e o seu vlor será som do vlor desses integris) Se lgum dos integris impróprios em que foi deomposto for divergente, o integrl impróprio misto é divergente

6 Proprieddes lgéris Proposição: Se f e g são funções integráveis em todo o intervlo,*, om * u, então: 1 se fÿx dx e gÿx dx são onvergentes, tem-se que ŸfŸx gÿx dx é onvergente e ŸfŸx gÿx dx fÿx dx gÿx dx 2 se fÿx dx é onvergente e R, tem-se que ŸfŸx dx é onvergente e ŸfŸx dx fÿx dx Oservção: Tl omo no so ds séries: se um dos integris é onvergente e o outro divergente, então som é divergente se mos os integris são divergentes, nd se pode onluir Note-se que est situção não entr em ontrdição om definição de fÿx dx São questões diferentes " Oservção: Proprieddes nálogs são válids pr os outros sos de integris impróprios

7 Critérios de onvergêni Proposição (Primeiro Critério de Comprção): Sejm f :, v R, g :, v R funções integráveis em qulquer intervlo,*, om * u, e tis que 0 t fÿx t gÿx, x, Então 1 gÿx dx onvergente fÿx dx onvergente 2 fÿx dx divergente gÿx dx divergente Proposição (Segundo Critério de Comprção): Sejm f :, v R, g :, v R funções integráveis em qulquer intervlo,*, om * u, e tis que e Então, fÿx u 0 e gÿx 0, x, lim xv fÿx gÿx 5 R fÿx dx e gÿx dx são d mesm nturez, isto é, são mos onvergentes ou mos divergentes

8 Oservção: Mis, do 1º Critério de Comprção result que: ) se 5 0, gÿx dx onvergente fÿx dx onvergente fÿx dx divergente gÿx dx divergente ) se 5, fÿx dx onvergente gÿx dx onvergente gÿx dx divergente fÿx dx divergente Convergêni Asolut Definição: Sej f um função integrável em todo o intervlo, *, om * u O integrl impróprio fÿx dx diz-se solutmente onvergente se o integrl impróprio fÿx dx for onvergente Se fÿx dx for onvergente e fÿx dx for divergente, fÿx dx diz-se simplesmente onvergente Proposição: Ns ondições d definição, se fÿx dx é solutmente onvergente, então tmém é onvergente

9 Proposições e definições nálogs (proprieddes lgéris, ritérios de omprção, oservção orrespondente e definição de onvergêni solut) são válids pr os restntes sos de integris impróprios (ms sempre om um únio prolem): Proposição (Primeiro Critério de Comprção): Sejm fÿx dx e gÿx dx dois integris impróprios, d mesm espéie e reltivmente o mesmo limite de integrção, tis que Então 0 t fÿx t gÿx,x, 1 fÿx dx divergente gÿx dx divergente 2 gÿx dx onvergente fÿx dx onvergente Proposição (Segundo Critério de Comprção): Sejm fÿx dx e gÿx dx dois integris impróprios, de 1ª ou 2ª espéie, reltivmente o limite superior x (respe, limite inferior x ) tis que e lim xv " Então, fÿx u 0 e gÿx 0, x, fÿx gÿx 5 R Ÿrespetivmente, lim xv fÿx dxe gÿx dx fÿx gÿx 5 R são d mesm nturez, isto é, são mos onvergentes ou mos divergentes

10 Exemplos muito úteis: Sendo e reis, om, tem-se que 1 dx e Ÿ"x k 1 Ÿx" k dx são onvergentes sse k 1 Definição: Sej fÿx dx um integrl impróprio de 1 ou de 2 espéie Este integrl diz-se solutmente onvergente se o integrl impróprio fÿx dx for onvergente Proposição: Sej fÿx dx um integrl impróprio de 1 ou de 2 espéie Se fÿx dx solutmente onvergente, então fÿx dx tmém é onvergente Critério do Integrl Proposição: Sej f : 1, v R, um função ontínu, positiv e deresente neste intervlo Considerndo suessão de termo gerl tem-se que série n1 n fÿn,! n é onvergente sse o integrl 1 fÿx dx é onvergente

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