Integrais impróprias - continuação Aula 36

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1 Integris imprópris - continução Aul 36 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 06 de Junho de 204 Primeiro Semestre de 204 Turm Engenhri Mecânic Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

2 Testes de Convergênci Testes de Convergênci Algums vezes não é possível encontrr um vlor exto pr um integrl imprópri, ms podemos sber se el é convergente ou divergente usndo outrs integris conhecids. Teorem (Teste d Comprção) Sejm f e g funções contínus stisfzendo f(x) g(x) 0 pr todo x. Então, (i) Se (ii) Se convergente. divergente. f(x)dx é convergente, então g(x)dx é divergente, então g(x)dx tmbém é f(x)dx tmbém é Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

3 Testes de Convergênci Exemplo Mostre que e x2 dx é convergente. Não podemos vlir diretmente integrl pois primitiv de e x2 não é um função elementr. Observe que se x, então x 2 x, ssim x 2 x e como exponencil é crescente e x2 e x. Assim, e x2 dx t e x dx = lim e x dx = lim (e e t ) = e. t 0 t Logo pelo Teste d Comprção integrl é convergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

4 Testes de Convergênci Exemplo Anlise convergênci de sen 2 x x 2 dx. Observe que 0 sen2 x x 2 x2, pr todo x [, ). Como integrl dx converge, pelo Teste d Comprção integrl x2 sen 2 x x 2 dx é convergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

5 Testes de Convergênci Exemplo +e x Anlise convergênci d dx. x Observe que +e x x x e dx diverge, então pelo Teste x +e x d Comprção integrl dx é divergente. x Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

6 Testes de Convergênci Teorem (Teste d Comprção no Limite) Sejm f,g : [,+ ) R + funções contínus. Se então f(x)dx e mbs divergentes. f(x) lim x g(x) = L, 0 < L <, g(x)dx serão mbs convergentes ou Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

7 Testes de Convergênci Exemplo Anlise convergênci de +x 2 dx. As funções f(x) = x 2 e g(x) = são positivs e contínus +x2 em [,+ ) e f(x) lim x g(x) = lim x Portnto, como integrl tmbém é convergente. /x 2 /(+x 2 ) = lim x +x 2 x 2 =. dx converge, x2 +x 2 dx Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

8 Testes de Convergênci Entretnto, s integris convergem pr vlores diferentes. dx = lim x2 t = lim t t ( x t dx = lim +x2 t x 2 dx ) t = lim t t =. dx = lim +x2 rctg x t = lim t (rctg t rctg ) = π 4. t Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

9 Testes de Convergênci Exemplo 3 Anlise convergênci de e x 2 dx. As funções f(x) = e x e g(x) = 3 e x são positivs e contínus 2 em [, ) e f(x) lim x g(x) = lim x /e x 3/(e x 2) = lim e x 2 x 3e x Portnto, como integrl e x dx = 3 e x dx tmbém converge. 2 = lim x 3 2 3e x = 3. e x dx converge, Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

10 Consideremos função f(x) = x. Queremos clculr áre A limitd pelo gráfico de f e pels rets y = 0, x = ε, ε > 0, e x = 4. Então 4 A = f(x)dx = 2 4 x = 4 2 ε. ε Fzendo ε 0, temos A 4 o que quer dizer que áre A do conjunto ilimitdo é finit e igul 4. {(x,y) R 2 : 0 y f(x), 0 x 4} ε Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

11 Definição (Integrl Imprópri do Tipo 2) Sej f um função contínu em [,b) (possivelemente ilimitd), definimos f(x) dx = lim t b se esse limite existir. t f(x)dx, Sej f um função contínu em (,b] (possivelemente ilimitd) definimos f(x) dx = lim t + se esse limite existir. A integrl imprópri t f(x)dx, f(x) dx é chmd convergente se o limite existir e for finito, cso contrário será dit divergente. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

12 Se f não estiver definid em c, onde < c < b, e mbos c f(x) dx e definimos c f(x) dx forem convergentes, então f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. c Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

13 Exemplo Clcule 5 2 x 2 dx. Observemos que f(x) = Então, dx = lim x 2 t 2 + t x 2 não está definid em x = 2. dx = lim x 2 t 2 ( ) = lim 3 t 2 t 2 +2 = )/2 +2(x t Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

14 Exemplo Determine se π/2 0 secx dx converge ou diverge. Como o lim = + integrl é imprópri. Então t π/2 secx π/2 0 secx dx = lim t π/2 pois lim = lim t π/2 secx divergente. t π/2 π/2 0 secx dx = lim x t π/2 ln secx+tg tg x = +. Portnto integrl é t 0 =, Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

15 Exemplo 3 Clcule 0 x dx. Observemos que f(x) = Agor, x dx = x t dx = lim x t 0 0 não é contínu em x =. Então, x dx + x 3 dx = lim t x dx. ln x = lim ln ) =, t (ln t pois lim = 0. Portnto integrl é divergente. t ( t) t 0 Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

16 Observção: Se não tivéssemos notdo ssíntot x = no exemplo nterior e tivéssemos confundido integrl com um integrl definid, poderímos ter clculdo erronemente. De gor em dinte devemos prestr tenção no integrndo pr decidir se integrl é imprópri ou não. Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

17 Se c (,b) e f : [,b]\{c} R. Nests condições, integrl c se f(x) dx deverá ser trtd como um integrl imprópri. Dí, f(x)dx e tmbém será convergente e teremos c f(x) dx forem convergentes, então f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx. c f(x)dx Se pelo menos um ds integris divergente, então c f(x)dx ou f(x) dx será divergente. c f(x)dx for Alexndre Nolsco de Crvlho ICMC - USP SMA 30 Cálculo I

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