Matrizes e Determinantes

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1 Págin de - // - : PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE ============================================================================================= Mtrizes e Determinntes - Um construtor tem contrtos pr construir estilos de cs: moderno, mediterrâneo e colonil quntidde de mteril empregd em cd tipo de cs é dd pel tel: Ferro Mdeir Vidro Tint Tijolo Moderno Mediterrâneo Colonil Se ele pretende construir, e css dos tipos moderno, mediterrâneo e colonil, respectivmente, qunts uniddes de cd mteril serão empregds? - Dds s mtrizes T = e = e sendo-se que + =, determine os vlores de "" e "" - Determine trnspost d mtriz produto de - Sej = C, onde =, = e C = Determine o vlor de "" e "" - Sendo e, clcule s mtrizes e no sistem: - Se det = d c, clcule: ) c d ) d c c) d d c - Resolv s equções: ) )

2 Págin de - // - : Grito - Solução O número de uniddes de mteriis utilizdos em cd tipo de cs ument proporcionlmente o número de css construíds Logo, n construção de css do tipo moderno serão utilizdos vezes mis uniddes utilizds n construção de cs desse tipo Esse procedimento vle pr os outros csos e indic um multiplicção de mtrizes ( )( ) Oservndo s respectivs coluns, vemos que serão utilizdos no totl: Ferro = ; Mdeir = ; Vidro = ; Tint = ; Tijolo = - Solução Se T Logo, Igulndo ess mtriz mtriz som informd no prolem, descorimos s incógnits Comprndo elemento elemento, temos: - Solução Clculndo o produto encontrmos um mtriz do tipo ( ) e su trnspost será tipo ( ) T - Solução Clculndo o produto, temos O vlor de C será mtriz C Igulndo s mtrizes elemento elemento, vem: () C - Solução Simplificndo o sistem ntes de sustituir s mtrizes pelos vlores epressmos o vlor de Temos: ] [ Clculndo epressão entre colchetes, vem: Ess mtriz permite descorir o vlor d mtriz : / ] [ Utilizndo ª equção do sistem, temos: Sustituindo os vlores de,, e, vem: / / - ) - ) () = c) Solução plicndo s proprieddes dos determinntes, temos: ) Houve um troc entre ª colun e ª colun Logo o determinnte é o mesmo com sinl trocdo ) ª linh foi qudruplicd, o mesmo ocorrendo com o determinnte

3 c) ª colun foi sustituíd pel som de seus elementos com ª colun multiplicd por O determinnte não se lter (Oserve que d( + ) (c + d) = d + d c d = d c = ) - Solução Clculndo cd determinnte e igulndo-se os memros, resolve-se equção Em cd cso será utilizdo o método de Lplce ) ª colun possui um elemento nulo plicndo Lplce utilizndo est colun e igulndo o resultdo, temos: () () ()( ) ()( ) ( )( ) ) plicndo Lplce n ª linh e igulndo o determinnte do º memro, temos: () () ()( ) ( ) ( ) FM//NCO DE QUESTOES/MTEMTIC/MTEMTIC - SERIE - ENSINO MEDIO - ETP - CLUDIO DIS - PRTE - MTRIZES E DETERMINNTESDOC Págin de - // - :

4 PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE ============================================================================================= Mtrizes e Determinntes - Um construtor tem contrtos pr construir estilos de cs: moderno, mediterrâneo e colonil quntidde de mteril empregd em cd tipo de cs é dd pel tel: Ferro Mdeir Vidro Tint Tijolo Moderno Mediterrâneo Colonil Suponh que os preços por unidde de ferro, mdeir, vidro, tint e tijolo sejm, respectivmente,,,, e Qul é o preço unitário d cs tipo colonil? - Considere s mtrizes = "" e "" e = Sendo-se que + T =, determine os vlores de - Sej mtriz M = (m ij), tl que m ij = j² - i² ) Escrev M n form mtricil ) Sendo M t mtriz trnspost de M, clcule o produto MM t - Sej = C, onde =, = e C = Determine o vlor de "" e "" - Se e, clcule s mtrizes e no sistem: - Se det = k, clcule: c d ) d c ) c d c) c d d - Resolv s equções: ) ) Págin de - // - :

5 Págin de - // - : Grito - Solução O preço de cd tipo de cs é clculdo pel som dos preços dos mteriis utilizdos Logo, o preço d cs do tipo moderno por eemplo será som dos produtos do preço de cd mteril pelo número de uniddes gsts Esse procedimento vle pr os outros csos e indic um multiplicção de mtrizes ( ) ( ) Oservndo s respectivs linhs, vemos que serão gstos em cd cs: Moderno = ; Mediterrâneo = ; Colonil = - Solução Se T Logo, T Igulndo ess mtriz mtriz som informd no prolem, descorimos s incógnits Comprndo elemento elemento, temos: / - Solução mtriz é ( ), com i ; j Logo mtriz possui os elementos: ; ; ; ; ) mtriz será: M ) O produto de M pel su trnspost é: M M T - Solução Clculndo o produto, temos O vlor de C será mtriz C Igulndo s mtrizes elemento elemento, vem: () C - Solução Simplificndo o sistem ntes de sustituir s mtrizes pelos vlores epressmos o vlor de Temos: ] [ Clculndo epressão entre colchetes, vem: Ess mtriz permite descorir o vlor d mtriz : / ] [ Utilizndo ª equção do sistem, temos: ] [ Sustituindo os vlores de,, e, vem: / / /

6 - ) - (k + ) = k ) (-) (k + ) = k c) k + Solução plicndo s proprieddes dos determinntes, temos: ) Houve um troc entre ª colun e ª colun Logo o determinnte é o mesmo com sinl trocdo ) ª colun foi multiplicd por (- ), o mesmo ocorrendo com o determinnte c) ª colun foi sustituíd pel som de seus elementos com ª colun multiplicd por O determinnte não se lter (Oserve que d( + ) (c + d) = d + d c d = d c = k + ) - Solução Clculndo cd determinnte e igulndo-se os memros, resolve-se equção Em cd cso será utilizdo o método de Lplce ) ª colun possui um elemento nulo plicndo Lplce utilizndo est colun e igulndo o resultdo, temos: () () ()( ) ()( ) ) plicndo Lplce n ª colun e igulndo o determinnte do º memro, temos: ( ) () () ( ) ()( ) () ()( ) ()( ) FM//NCO DE QUESTOES/MTEMTIC/MTEMTIC - SERIE - ENSINO MEDIO - ETP - CLUDIO DIS - PRTE - MTRIZES E DETERMINNTESDOC Págin de - // - :

7 PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE ============================================================================================= Mtrizes e Determinntes - Três rrcs de fruts,, e, são proprieddes de um mesm empres Sus vends são controlds por meio de um mtriz, representd seguir, n qul cd elemento ij represent som dos vlores rrecddos pels rrcs i e j, em milhres de reis, o finl de um determindo di de feir:,,,,,, z Clcule, pr esse di, o vlor, em reis, rrecddo mis pel rrc em relção à rrc - Dds s mtrizes e mostrds io, determine mtriz que stisfz à seguinte equção mtricil: + = - Sendo s mtrizes = ( ij),tl que ij = i - j, = ( ij), tl que ij = i j e C =, clcule o vlor de c + c - Determine o vlor de "" sendo que e Grito - Solução De cordo com s informções do prolem, temos: ) + = ; + = ; + = ) Os vlores ds digonis vlem soms de vlores de um mesm rrc Como os vlores pedidos referem-se e, montmos o sistem ( ) diferenç mostr que rrecdou reis mis que rrc - Solução Isolndo o termo em "" e multiplicndo cd Mtriz pelo esclr correspondente, temos: Pr clculr o vlor de, multiplicmos cd elemento d mtriz por Logo, Págin de - // - :

8 - Solução Construindo s mtrizes, temos: ) Mtriz : () () () () () () () () () () () () ) Mtriz : Não é necessário efetur tod multiplicção ds mtrizes st clculr os elementos c e c c c ( )( ) ( )() ( )() c ()() ( )() ( )() c ( ) - Solução Clculndo o determinnte por Lplce d mtriz pel ª linh, temos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )() ( )() Logo, = e = Igulndo esse vlor o determinnte d ª mtriz, vem: FM//NCO DE QUESTOES/MTEMTIC/MTEMTIC - SERIE - ENSINO MEDIO - ETP - CLUDIO DIS - PRTE - MTRIZES E DETERMINNTESDOC Págin de - // - :

9 PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE ============================================================================================= Mtrizes e Determinntes - Um nutricionist recomendou os tlets de um time de futeol ingestão de um quntidde mínim de certos limentos (fruts, leites e cereis) necessári pr um limentção sdi f rut mtriz D fornece quntidde diári mínim (em grms) dqueles limentos: D leite cereis mtriz M mostr s quntiddes (em grms) de proteíns, gordurs e croidrtos fornecidos por cd grm ingerid dos limentos citdos: f rut leite cereis, M,,,,,, proteíns, gordurs, croidrtos Escrev mtriz que mostr quntidde diári mínim (em grms) de proteíns, gordurs e croidrtos fornecid pel ingestão dqueles limentos - Um mtriz é dit singulr qundo seu determinnte é nulo Determine, então, os vlores de c que tornm singulr mtriz: - Sendo-se que mtriz mostrd n figur dinte é igul à su trnspost, determine o vlor de + - Determine o vlor de "" sendo-se que = C, onde = e C = Grito - Solução mtriz pedid é o produto entre s mtrizes M e D M D,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Págin de - // - :

10 - Solução Pr encontrr o vlor de "c" é necessário encontrr o determinnte plicndo Regr de Lplce pr ª linh, temos: c c c c c c ( c ) ( c) (c ) Desenvolvendo epressão e igulndo zero, vem: c c c c c c Logo, mtriz será singulr se c = ou c = - c c (c )(c ) c - Solução Igulndo mtriz á su trnspost, vem: Comprndo elemento elemento, temos: Pr decidir que vlor de "" stisfz s igulddes oservmos os elementos ds mtrizes: Logo, = - e = O vlor procurdo é: + = (-) + () = - - Solução Clculndo, temos: Igulndo C e clculndo "", vem: ) Pr decidir que vlor de "" deve ser considerdo, oservmos que: () () Logo, o vlor será = () () ( ) FM//NCO DE QUESTOES/MTEMTIC/MTEMTIC - SERIE - ENSINO MEDIO - ETP - CLUDIO DIS - PRTE - MTRIZES E DETERMINNTESDOC Págin de - // - :

11 PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE ============================================================================================= Mtrizes e Determinntes - ) Determine o vlor de m pr que mtriz sej invertível (ou inversível): m ) Determine, cso eist, invers d mtriz dd seguir: - Sendo que o determinnte d mtriz vle, clcule o vlor de c d c d - Determine pr que vlores de m e n representção gráfic (no plno crtesino) ds equções do sistem liner de incógnits e é um pr de rets coincidentes, ou sej, represent um sistem possível e indetermindo n ( m) - Um comercinte desej totlizr qunti de R$, utilizndo céduls de um, cinco e dez reis, num totl de céduls, de modo que s quntiddes de céduls de um e de dez reis sejm iguis Neste cso, qul quntidde de céduls de cinco reis que o comercinte precisrá? z - Resolv o sistem de equções lineres: z z Grito - ) Solução Pr que mtriz sej invertível, o determinnte deverá ser diferente de zero det m m ( ) m m ) Solução O determinnte de vle () = Logo, possui invers Temos: c / / d / c c / c ( ) c c ( / ) / d d d d d ( ) d d / / Págin de - // - :

12 - Solução O determinnte ser clculdo é o d mtriz com s seguintes lterções: ) Houve um trnsposição d mtriz, não lterndo o determinnte: det = det - ) Houve um multiplicção de um linh por ( ) e de outr por () Logo o determinnte d mtriz originl ficrá multiplicdo por (- )() = - Logo, c d ( )( ) n - Solução No cso deste sistem nálise pedid é: SPI m m m m m n m Logo, m = e n = n n n - Solução Sejm, e z respectivmente s quntiddes de céduls de R$,; R$, e R$, Lemrndo que = z, mont-se o sistem z z Esclonndo, L L Logo são necessáris céduls de R$, - Solução Esclonndo, temos: z z L L z L L z z z L S = {,, } () () L z z z z Págin de - // - : FM//NCO DE QUESTOES/MTEMTIC/MTEMTIC - SERIE - ENSINO MEDIO - ETP - CLUDIO DIS - PRTE - MTRIZES E DETERMINNTESDOC

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14 PROFESSOR: EQUIPE DE MTEMÁTIC NCO DE QUESTÕES - MTEMÁTIC - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PRTE ============================================================================================= Mtrizes e Determinntes - Determine, cso eist, invers d mtriz dd seguir - Sejm e mtrizes tis que det = e det = Clcule, então: ) det( ) ) det - + det t z - O sistem liner z dmite solução não-trivil z Determine, então, o vlor de - Um pesso consumiu n segund-feir, no cfé d mnhã, pedço de olo e pãezinhos, o que deu um totl de grms N terç-feir, no cfé d mnhã, consumiu pedços de olo e pãezinhos (iguis os do di nterior e de mesm mss, respectivmente), totlizndo grms tel seguinte fornece, proimdmente, quntidde de energi em quilocloris (kcl) contid em cd grms do olo e do pãozinho limento g de olo g de pãozinho Energi kcl kcl pós determinr quntidde em grms de cd pedço de olo e de cd pãozinho, use tel e clcule o totl de quilocloris (kcl) consumido pel pesso, com esses dois limentos, no cfé d mnhã de segund-feir Grito - Solução Um mtriz possui invers se o determinnte for diferente de zero Logo possui invers Sej c d i) det ()() ii) c / ( ) c / c d d / ( d) d d d d / Logo, / / / / Págin de - // - :

15 - ) Solução Pelo teorem de inet, det ( ) = det () det () mtriz é mtriz onde cd linh foi multiplicd por Logo, det () = () () () det () = (-) = - Utilizndo esse resultdo e plicndo o teorem de inet, temos que: det ( ) = det () det () = () (- ) = - ) Solução plicndo s proprieddes dos determinntes pr esses csos, temos: i) det det ii) T det det Logo, det T det - Solução solução trivil é (,, ) El será únic se o determinnte d mtriz dos coeficientes for diferente de zero Como o sistem dmite solução diferente d trivil, então o determinnte será nulo det ( ) ( ) ( ) OS: s soluções não triviis são d form (, t, -t) - Solução Sej "" mss em grms de cd pedço de olo e "", de cd pãozinho O sistem que represent o consumo segund e terç é: ( ) g () g Oservndo tel temos: i) Se g de olo possui kcl, então pedço de olo com g represent metde Isto é, kcl ii) Se g de pãozinho possui kcl e form consumidos, então (g) = g equivlem kcl Logo, totl consumido de quilocloris segund-feir foi + = kcl FM//NCO DE QUESTOES/MTEMTIC/MTEMTIC - SERIE - ENSINO MEDIO - ETP - CLUDIO DIS - PRTE - MTRIZES E DETERMINNTESDOC Págin de - // - :