Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 2. Resolução de problema que conduzem a s.e.l. com única solução. Introdução à Resolução de Problemas

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1 Tópicos Especiis de Álgebr Liner Tem # 2. Resolução de problem que conduzem s.e.l. com únic solução Assunto: Resolução de problems que conduzem Sistem de Equções Lineres utilizndo invers d mtriz. Introdução à Resolução de Problems Pr resolução de problems em mtemátics que são modeldos por sistems de equções lineres seguiremos os seguintes princípios: i) compreender o problem; ii) construir o modelo mtemático iii) solução do modelo mtemático, iv) interpretção d solução. Junto com os princípios nos uxiliremos dos conteúdos d Álgebr Liner entre els álgebr de mtrizes, determinntes de mtrizes, inverss de mtrizes e resolução de sistems de equções lineres, utilizremos como ferrment de trblo o sistem de computção lgébric Derive. Os princípios em detles são: I. Compreender o problem ) Expressr o problem com outrs plvrs. b) Domínio dos conceitos necessários pr interpretr o problem. c) Determinr os ddos do problem. d) Estbelecer o objetivo do problem. II. Construção do modelo mtemático. ) Determinr s vriáveis. b) Construção do sistem de equções lineres identificndo cd equção e elementos del. III. Solução do modelo mtemático. ) Expressr o sistem de equções lineres d form AX=B b) Verificr se o sistem tem solução únic trves do det( A ) 0 c) Trnsformr o sistem de equções num equção mtricil do tipo X=A - B e cr su solução. IV. Interpretção d solução. ) Anlisr o resultdo em correspondênci com o problem.

2 Observção: Qundo é indicd tividde deve-se usr o sistem de computção lgébric Derive. Problem. Um empres grícol deve vender 70 elds de legumes entre cenour e btt, desejndo obter R$ de rend. Se por cd ectre cultivd de cenour se produz 3 elds e por cd ectre de btt 4 elds e rend obtid por cd eld vendid de cenour é de R$ 500 e por cd eld de btt R$ 200. Determine quntidde de ectre de cd tipo que devem ser cultivds. I. Compreender o problem ) Lei o problem com detles qunts vezes sej necessário e tent expressr o problem com outrs plvrs, explic o um coleg que não consegue compreender em que consiste o mesmo. b) Temos que compreender os diferentes conceitos que formm prte do enuncido. Tonelds: Sistem métrico, medid de peso equivlente 000 kg, simbolizdo. Hectre: Unidde de medid grári equivlente 0000 metros qudrdos, simbolizdo por. Rend: Cert qunti de dineiro obtid pel vend de um produto ou serviço. Tonelds Quntidde de elds produzid de cd cultivo por ectre, denotdo por Hectre Re is Tonelds R$ Rend em reis pel vend de cd eld, denotdo por c) Determinr e interpretr os ddos do problem A empres grícol cultiv cenour e btts e quere vender 70 elds. Pels vends d produção de 70 elds entre cenour e btts quere-se obter reis de rend. Por cd ectre cultivd de cenour é produzido 3 elds. Por cd ectre cultivd de btts é produzido 4 elds. Qundo é vendid um eld de cenour obtemos 500 reis de rend. Qundo é vendid um eld de btts obtemos 200 reis de rend. d) A met do problem é determinr quntidde de ectre que devemos cultivr de cenour e btt com s condições mencionds nteriormente. II. Construção do Modelo Mtemático

3 ) Determinr s vriáveis. A vriáveis x represent quntidde de ectre ser cultivd de cenour, x. A vriáveis x2 represent quntidde de ectre ser cultivd de cenour, x2. As vriáveis são x x 0 e x x Atividde. Digitr o problem e definir s vriáveis., porque representm ectre. b) Construção do sistem de equções lineres. Se por cd ectre cultivd de cenour é produzido 3 elds então 3x é elds de cenour, 3 x 3x. Se por cd ectre cultivd de btts é produzido 4 elds então 4x é elds de btts, 4 x2 4x2. Como empres grícol quere vender 70 elds entre cenour e btts então (elds de cenours) + (elds de btts) = (elds totl d empres) representdo por 3x 4x2 70. Est equção represent produção em elds. Um eld vendid de cenour obtém 500 reis de rend; como são produzido 3 elds então é 3 (R$ 500)= R$ 4500 então 4500x reis é rend pel vend de cenour, R$ ( 3x)(200 ) R$ 4500 x

4 Um eld vendid de btts obtém 200 reis de rend; como são produzido 4 elds então é 4 (R$ 200)= R$ 4800 então 4800x reis é rend pel vend de btts R$ ( 4x2)(200 ) R$ 4800 x2. Queremos obter R$ de rend totl pel vends d produção de btts e cenour então (rend em reis d produção de cenour) + (rend em reis d produção de btts) = (rend totl em reis d produção), é representdo pel equção 4500x 4800x Est equção represent rend em reis d produção d empres grícol. Podemos resumir Cultivo Cenour Cultivo de Btts Totl Tonelds () 3x 4x2 70 Rends (R$) R$ 4500x R$ 4800x2 R$ As vriáveis dest tbel será definido como é indicdo n lin do Derive #3 Atividde 2. Definir os elementos incógnits em um mtriz. O sistem fic representdo por: 3x 4x x 4800x III. Solução do modelo mtemático. ) Representr o sistem d form AX=B x 4800 x Atividde 3. Definir o sistem em form mtricil AX=B b) Determinr solubilidde do sistem de equções lineres. No cso de sistem com dus equções e dus incógnits pode-se utilizr o método gráfico pr determinr solubilidde do sistem. Devemos representr grficmente cd equção, se

5 els se cortm então no ponto de intercessão será solução do sistem de equções lineres. Atividde 4. Método gráfico pr determinr solubilidde do sistem. Introduzir s equções Relizremos o gráfico ds equções. Solução proximd Copindo o gráfico n Jnel d Álgebr Utilizremos o critério do determinnte pr determinr solubilidde do sistem.

6 Se det( A ) 0 então o sistem de equções lineres tem solução únic Atividde 5. Critério do determinnte pr determinr solubilidde do sistem Podemos concluir que do método gráfico e determinnte d mtriz A que o sistem de equções lineres tem solução únic. ) Trnsformr o sistem de equções num equção mtricil do tipo X=A - B e cr su solução. Atividde 6. Clculr solução do problem trvés de X=A - B IV. Interpretção d solução. Atividde 7. Obter e interpretr cd elemento do problem. Os vlores x = 30 e x2 = 20 vliremos n mtriz definid n lin #3 pr obter cd elemento e fzer interpretção de cd vlor de cordo com problem. Vmos obter cd elemento do sistem de equções Concluímos que: Deve-se plntr 30 cenour e 20 de btts. Será vendido 90 elds de cenour e 80 elds de btts. A rend obtid pel vend do cultivo de cenour é de reis e btts é de 96000

7 reis As conclusões nteriores podem ser inserids como texto no Derive. Problem 2. Tem-se 60 moeds em vlores de 50, 25 e 0 centvos somndo um totl de 4,50 reis. Sbe-se que s moeds de 0 centvos representm o dobro ds de 50 centvos. Determinr quntiddes de moed de cd vlor. I. Compreender o problem ) Lei o problem com detles qunts vezes sej necessário e tent expressr o problem com outrs plvrs, explic o um coleg que não consegue compreender em que consiste o mesmo. b) Temos que compreender os diferentes conceitos que formm prte do enuncido. Moeds: Peç, gerlmente de metl, cund por utoridde sobern e representtiv do vlor dos objetos que por el se trocm. Centvo: Moed divisóri que represent centésim prte d unidde monetári. c) Determinr e interpretr os ddos do problem Se tem 60 moeds de 50, 25 e 0 centvos. A som totl ds moeds é igul 4,50 reis. Se têm o dobro ds moeds 0 centvos em relção ds 50 centvos d) 0 objetivo do problem é determinr quntidde de moeds de 0, 25 e 50 centvos com s condições mencionds nteriormente. II. Construção do Modelo Mtemático ) Determinr s vriáveis. A quntidde de moeds de 50 centvos será representd por m. A quntidde de moeds de 25 centvos será representd por m2. A quntidde de moeds de 0 centvos será representd por m3. As vriáveis m, m2 e m3 são reis positivs, m m 0, m m 0 e { 3 3 { m m 0 por que representm quntiddes de moeds. Observção: Digitr o problem no Derive vi ser um opção de cd luno. Atividde 8. Definir s vriáveis. { 2 2

8 b) Construção do sistem de equções lineres. Como (quntidde ds moeds 50 centvos) + (quntidde ds moeds 25 centvos) + (quntidde ds moeds 0 centvos) = (quntidde totl 60 moeds) então equção é ddo por m m m 60 que represent quntidde de moeds 2 3 O vlor em reis em moeds de 50 centvos é (R$ 0,50)(m quntiddes)=r$ 0,50m. O vlor em reis em moeds de 25 centvos é (R$ 0,25)(m2 quntiddes)=r$ 0,25m2. O vlor em reis em moeds de 0 centvos é (R$ 0,0)(m3 quntiddes)=r$ 0,0m3. Como (reis em moeds 50 centvos) + (reis em moeds 25 centvos) + (reis em moeds 0 centvos) = (4,50 reis) então equção é dd por,50m 0,25m 0,0m 4, 50 que represent o vlor em reis As quntiddes de moeds de 0 centvos é o dobro de ds 50 centvos, estão equção é dd por 2m=m3 que represent relção em quntiddes de moeds de 0 e 50 centvos. Podemos resumir Moeds de 50 centvos Moeds de 25 centvos Moeds de 0 centvos Quntiddes m m2 m3 60 Totl Vlor em R$ R$ 0,50m R$ 0,25m2 R$ 0,0m3 R$ 4,50 Relção em quntiddes entre s moeds de 0 e 50 centvos 2m As vriáveis dest tbel será definido como é indicdo n lin do Derive #8 Atividde 9. Definir os elementos incógnits em um mtriz. m3

9 O sistem fic representdo por: m m2 m3 60 0,50m 0,25m2 0,0m 2m m3 0 III. Solução do modelo mtemático. 3 4,50 ) Representr o sistem d form AX=B 0,5 2 0,25 0 m 60 0,0 m2 4,50 m3 0 Atividde 0. Definir o sistem em form mtricil AX=B b) Determinr solubilidde do sistem de equções lineres. Atividde. Critério do determinnte pr determinr solubilidde. Como det( ) 0 A o sistem de equções lineres tem únic solução. c) Trnsformr o sistem de equções num equção mtricil do tipo X=A - B e cr su solução. Atividde 2. Clculr solução do problem 2 trvés de X=A - B V. Interpretção d solução.

10 Atividde 3. Obter e interpretr cd elemento do problem 2. A quntidde de moeds de 50 centvos é 0, de 25 centvos é 30 e de 0 centvos é 20. Em moeds de 50 centvos se tem 5 reis, de 25 centvos 7,50 reis e 0 centvos 2 reis. As conclusões nteriores podem ser inserids como texto no Derive. Problem 3. Um fzend de 80 ectre se desej plntr 4 tipos de cultivos. O cpitl totl pr plntr é de R$ Pr plntr cd ectre de cultivo é necessário R$ 300, pr o cultivo 2 é de R$ 250, pr o cultivo 3 é de R$ 200 e pr cultivo 4 é R$ 300.Se por cd ectre se gst 3000 litros de águ pr o cultivo, 2500 litros pr o cultivo 2, 2000 litros pr o cultivo 3 e 4000 litros pr o cultivo 4 de modo que o consumo de águ totl é de litros. O rendimento por ectre do cultivo é de 5 elds, pr o cultivo 2 é de 4,5 elds, pr o cultivo 3 é de 3 elds e pr o cultivo 4 é de 6 elds pr produzir 385 elds. Determine quntiddes de ectre que devem ser plntds de cd cultivo I. Compreender o problem ) Lei o problem com detles qunts vezes sej necessário e tent expressr o problem com outrs plvrs, explic o um coleg que não consegue compreender em que consiste o mesmo. b) Temos que compreender os diferentes conceitos que formm prte do enuncido. Hectre: Unidde de medid grári equivlente 0000 metros qudrdos, simbolizdo por Toneld: Sistem métrico, medid de peso equivlente 000 quilogrms.

11 Litro: Unidde de cpcidde do sistem métrico deciml, equivlente à cpcidde de um decímetro cúbico, simbolizdo por l. Litros Hectre Quntidde de águ gstd por ectre pr irrigr o cultivo, denotdo por l Tonelds Quntidde de elds produzid de cd cultivo por ectre, denotdo por Hectre Re is Hectre Quntidde em reis gstdo por cd ectre cultivd, denotdo por R$. c) Determinr e interpretr os ddos do problem A fzend possui 80 pr cultivr qutro cultivos O cpitl totl pr inverter nos qutro cultivos é de 2500 reis Pr plntr se deve gstr por ectre do cultivo R$ 300, cultivo 2 R$ 250, cultivo 3 R$ 200, cultivo 4 R$ 300. O consumo totl de águ pr irrigr os cultivos é de litros O gsto de águ em litros por ectre cultivd é de 3000 litros pr o cultivo, 2500 litros pr o cultivo 2, 2000 litros pr o cultivo 3 e 4000 litros pr o cultivo 4. A produção totl d fzend dos qutros cultivos deve ser de 385 elds. O rendimento por elds por ectre cultivd é: 5 elds pr o cultivo, 4,5 elds pr o cultivo 2, 3 elds pr o cultivo 3 e 6 elds pr o cultivo 4. d) 0 problem quere determinr quntidde de ectre de cd cultivo que deve ser plntd n fzend com s condições nteriores. II. Construção do Modelo Mtemático ) Determinr s vriáveis. A vriáveis c represent quntidde de ectre ser cultivd do cultivo, c. A vriáveis c2 represent quntidde de ectre ser cultivd do cultivo 2, c2. A vriáveis c3 represent quntidde de ectre ser cultivd do cultivo 3, c3.. A vriáveis c4 represent quntidde de ectre ser cultivd do cultivo 4, c4. As vriáveis c, c2, c3 e c4 são reis miores iguis que zero porque representm ectre. Atividde 4. Definir s vriáveis.

12 b) Construção do sistem de equções lineres. Como fzend possui 80 terr então (quntidde do cultivo ) + (quntidde do cultivo 2) + (quntidde do cultivo 3) + (quntidde do cultivo 4) = 80, representdo pel equção c c c c 80, equção represent quntiddes de terr cultivd em ectre O cpitl totl pr os cultivos é R$ 2500, como temos restrições finnceirs por cultivo então (cultivo, R$ 300) + (cultivo 2, R$ 250) + (cultivo 3, R$ 200) + (cultivo 4, R$ 300)= R$ 2500, representdo pel equção 300c 250c2 200c3 300c4 2500, equção represent o gsto em reis n produção dos qutro cultivos. A expressão 300c represent quntidde de reis ser gstdo pelo cultivo, R$ 300 c R$ 300c ; 250c 2 represent quntidde de reis ser gstdo pelo cultivo 2, R$ 250 c2 R$ 250c2 ; 200c 3 represent quntidde de reis ser gstdo pelo cultivo 3, R$ 200 c3 R$ 200c3 ; 300c 4 represent quntidde de reis ser gstdo pelo cultivo 4, R$ 300 c4 R$ 300c4. O totl de águ disponíveis pr irrigr os cultivos é de litros, como o consumo de águ por ectre pr cd cultivo é diferente então (cultivo consume 3000 litros) + (cultivo 2 consume 2500 litros) +(cultivo 3 consume 2000 litros) +(cultivo 4 consume 4000 litros) = litros, representdo pel equção 3000c 2500c2 2000c3 4000c Est equção represent o consumo de águ em litros. A expressão 3000c representd quntidde de águ gstd por ectre do cultivo,

13 l 3000 c 3000cl ; 2500c 2 representd quntidde de águ gstd por ectre do cultivo l 2, 2500 c2 2500c2l ; 2000c 3 representd quntidde de águ gstd por ectre do cultivo 3, do cultivo 4, l 2000 c3 2000c3l 4000c 4 representd quntidde de águ gstd por ectre l 4000 c4 4000c4l. A fzend desej produzir 385 elds de tods os cultivos, o rendimento de elds por ectre é diferente pr cd cultivo então (cultivo, 5 ) + (cultivo 2, 4,5 ) + (cultivo 3, 3 ) +(cultivo 4, 6 ) = 385, representdo pel equção c 4,5c 3c 6c 385. Est equção represent produção em elds A expressão 5c represent quntidde de elds produzid por ectre do cultivo, 5 c 5c ; 4,5c 2 represent quntidde de elds produzid por ectre do cultivo 2, 4,5 c2 4, 5c 2 ; 3c 3 represent quntidde de elds produzid por ectre do cultivo 3, 3 c3 3c 3 ; 6c 4 represent quntidde de elds produzid por ectre do cultivo 4, 4 c4 4c4. Podemos resumir Cultivo Cultivo 2 Cultivo 3 Cultivo 4 Totl Hectre () c c2 c3 c4 80 Gsto (R$) R$ 300c R$ 250c2 R$ 200c3 R$ 300c4 R$ 2500 Águ (litros) 3000c l 25000c2 l 2000c3 l 4000c4 l l Toneld() 5c 4,5c2 3c3 6c4 385 As vriáveis dest tbel será definido como é indicdo n lin do Derive #33 Atividde 5. Definir os elementos incógnits em um mtriz

14 O sistem fic representdo por: c c2 c3 c c 250c2 200c3 300c c 2500c2 2000c3 4000c c 4,5c 2 3c3 6c4 385 III. Solução do modelo mtemático ) Representr o sistem d form AX=B , c c c c Atividde 6. Definir o sistem em form mtricil AX=B b) Determinr solubilidde do sistem de equções lineres. Atividde 7. Critério do determinnte pr determinr solubilidde do sistem. Como det( ) 0 A o sistem de equções lineres tem únic solução. c) Trnsformr o sistem de equções num equção mtricil do tipo X=A - B e cr su solução

15 Atividde 8. Clculr solução do problem 3 trvés de X=A - B IV Interpretção d solução Atividde 9. Obter e interpretr cd elemento do problem 3 Deve ser plntdo 20 do cultivo, 20 do cultivo 2, 5 do cultivo 3 e 25. O gsto em reis do cultivo é de 6000 reis, cultivo 2 é de 5000 reis, cultivo 3 é de 3000 reis e cultivo 4 é de 7500 reis.

16 O consumo de águ do cultivo é de litros, cultivo 2 é de litros, cultivo 3 é de litros e cultivo 4 é de litros. As elds produzids do cultivo é de 00 elds, cultivo 2 é de 90 elds, cultivo 3 é de 45 elds e cultivo 4 é de 00 elds. As conclusões nteriores podem ser inserids como texto no Derive.

17 Exercícios propostos. Com 3,8 elds, cert mtéri prim, são fbricds 00 uniddes de dois tipos produtos. Se pr fbricr um unidde do produto consume-se 30 kg d mtéri prim e pr o produto 2 consume-se 50 kg. Determine quntidde de unidde de cd produto fbricdo e o consumo em elds d mtéri prim pr fbricr cd produto. 2. Um empres produz 300 uniddes de um produto pr tender dois clientes. Por cus d distnci, o custo do produto vendido o cliente é de R$ 2,50 e pr o cliente 2 é de R$ 2,00. Determine quntidde de uniddes vendids cd cliente se o cpitl disponível pr gsto é de R$ 700 e o custo de vend dos produtos pr cd cliente. 3. Se utilizm 22 kg de um produto pr elborr dois produtos diferentes n elborção do produto consume-se 2 kg por unidde e do produto 2 consume-se 3 kg por unidde. Se o preço de vend do produto R$ 5 e do produto 2 R$ 20. Determine quntidde produzir de cd pr ter um rend de R$ 55. Acr o consumo de mtéri prim e rend pel vend de cd produto. 4. Se desej fbricr dois produtos utilizndo um mesm lin de produção um jornd de 08 ors, o produto 0 consume 20 minutos pr su fbricção e 30 minutos o produto 02. Se o preço de vend do produto é de R$ 0 e do produto 2 é R$ 20. Determine quntidde que devem ser produzids de cd produto pr ter um rend de R$ 300. Acr o tempo consumido e rend pel vend pr cd produto. 5. Pr fbricr cd kilogrm de um de um mistur são utilizdos 03 produtos de mneir que quel ten 38 g de cálcio e 90 g de ferro. Sbe-se o produto contêm 60 g / kg de cálcio, 0 g / kg de ferro e seu custo de produção e de R$ 5 / kg. O produto 2 contêm 25 g / kg de cálcio, 300 g / kg de ferro, custo R$ 2 / kg, e produto 3 contêm 80 g / kg de cálcio, 200 g / kg de ferro e custo R$ 8 / kg. Clcule quntidde de cd produto que é utilizdo n mistur. Acr custo totl e custo pr cd produto de cd kilogrm. Que quntidde de cálcio e ferro é utilizdo pr cd produto? 6. Um mistur compost de 05 produtos contém por cd kilogrm 38 g de crboidrto, 35,25 g de vitmin A, 3 g de vitmin C e 25,50 g de proteíns. Os produtos que formm mistur tem seguinte composição: o produto contêm, por cd kilogrm, 200 g de crboidrto, 30 g de vitmin A, 0 g de vitmin C e 40 g de proteíns; o produto 2 contêm 00g de crboidrto, 25 g de vitmin A, 20 g de vitmin C e não tem proteíns; o produto 3 contêm 250

18 g de crboidrto, 20 g de vitmin A, 30 g de vitmin C e 60 g de proteíns; o produto 4 contêm 80 g de crboidrto, 40 g de vitmin A, 35 de vitmin C e 5 de proteíns e o produto 5 contêm 20g de crboidrto, 50g de vitmin A, 60g de vitmin C e 25g de proteíns. Determine quntidde que se deve usr de cd produto pr fzer mistur. Acr em grm quntiddes de crboidrto, vitmin A, vitmin C e proteín de cd produto. 7. Ao plnejr crição de um empres de trnsporte de crg se desej utilizr 03 tipos diferentes de veículos, de mneir que quntidde de veículo tipo A represente o 50% d frot. O veículo tipo A tem um cpcidde de crg de 20, é vendido um preço de R$ e pode percorrer, totlmente crregdo, 300 km dirimente; o veículo tipo B tem um cpcidde de 0, seu preço é de R$ e pode percorrer 400 km dirimente e o veículo tipo C tem um cpcidde de 5, seu preço é de R$ e pode percorrer 700km dirimente. A empres deve trnsportr 235 diáris de mercdori e percorrer 5900 km. Determine quntidde de cd tipo de veículo que deve ser comprdo, cgr ser trnsportd por cd tipo de veículo e o investimento totl n compr dos veículos. 8. Se desej plntr 00 entre 05 tipos de cultivo. De form que s plntds do cultivo sejm iguis s ds plntds entre os cultivos 2 e 3, e pr o cultivo 2 s á plntds são iguis s dos 4 e 5 juntos. O custo pr plntr um do cultivo é de R$ 300, pr o cultivo 2 e 3 de R$ 250, pr o cultivo 4 é de R$ 400 e pr o cultivo de R$ 450 com um custo totl de R$ O rendimento esperdo é de 2 / pr o cultivo,,5 / pr os cultivos 2 e 3 e de 3 / pr os cultivos 4 e 5, com produção totl de 200 elds. Determine quntidde de que devem ser plntds de cd tipo de cultivo. Clcule produção e custo pr cd cultivo. 9. Num industri é fbricdo 90 elds por mês de 03 produto diferentes prtir de 02 mtéris prims. O produto consume 0,5 d mtéri prim A e 0,4 d mtéri prim B pr cd eld dele produzid sendo vendido R$ 80/; o produto 2 consume 0,3 de A e 0,7 de B e seu preço é de R$ 70/ e o produto 3 consume 0,6 de A e 0,4 de B com preço de R$ 95/. Se é consumid 45 de mtéri prim A e de 42 d mtéri prim B. Determine receit totl e quntidde de elds que devem ser fbricds de cd tipo de produto. Acr o consumo em elds pr s mtéris prim de tipo A, B pr cd produto.