Então, det(a) = 1x3 1x2 = 3 2 = 1. Determinante de uma matriz 3 x 3 Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Definimos det(a) =

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1 Determinnte de um mtriz Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det - E.: Sej mtriz Então, det Determinnte de um mtriz Regr de Srrus Pierre Frédéric Srrus Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det Regr de Srrus E.: Sej mtriz Então, det Permutções de dois inteiros

2 Eistem! permutções distints do conjunto {, } {, } {, } O número de inversões n permutção {, } é igul O número de inversões n permutção {, } é igul Um permutção é chmd pr se o número totl de inversões é um inteiro pr. Um permutção é chmd ímpr se o número totl de inversões é um inteiro ímpr. {, } é um permutção pr {, } é um permutção ímpr Permutções de três inteiros Eistem! permutções distints do conjunto {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } O número de inversões n permutção {,, } é igul O número de inversões n permutção {,, } é igul O número de inversões n permutção {,, } é igul O número de inversões n permutção {,, } é igul O número de inversões n permutção {,, } é igul O número de inversões n permutção {,, } é igul {,, } é um permutção pr {,, } é um permutção ímpr {,, } é um permutção ímpr {,, } é um permutção pr {,, } é um permutção pr {,, } é um permutção ímpr Sej um mtriz qudrd de ordem

3 . Definimos det - Observe que s ordens ds linhs nos elementos d definição de det permnecem fis e igul {, }, enqunto que s ordens ds coluns vrim em cd prcel, correspondendo um permutção de {, }. O sinl de cd prcel é ddo pel clssificção d permutção corresponde pr ou ímpr. Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det O mesmo contece com det, s ordens ds linhs nos elementos d definição de det permnecem fis e igul {,, }, enqunto que s ordens ds coluns vrim em cd prcel, correspondendo um permutção de {,, }. O sinl de cd prcel é ddo pel clssificção d permutção corresponde pr ou ímpr. Ests definições podem ser plicds pr mtrizes de ordem n n, onde n é um inteiro mior ou igul. lculndo determinnte trvés de redução por linhs Teorem: Sej um mtriz qudrd. Se tem um linh ou um colun de zeros, então det b det det T Teorem: Se é um mtriz qudrd tringulr n n, então det... nn Teorem: Sej um mtriz n n. b c Se B é mtriz que result qundo um únic linh ou um únic colun de é multiplicd por um esclr k, então detb k det Se B é mtriz que result qundo dus linhs ou dus coluns de são permutds, então detb det Se B é mtriz que result qundo um múltiplo de um linh de é somdo outr linh, então detb det

4 d Se B é mtriz que result qundo um múltiplo de um colun de é somdo outr colun, então detb det Teorem: Se é um mtriz qudrd n n com dus linhs ou dus coluns proporcionis, então det. Notção: Sej mtriz, então det E.: ; s coluns e form permutds; vezes últim linh foi somd primeir E.: ;. lculndo determinnte trvés de redução por linhs E.: lcule det, onde

5 det - Proprieddes básics dos determinntes: Se é um mtriz n n e k um esclr, então detk k n det b Se e B são mtrizes qudrds n n, então detb detdetb c Um mtriz qudrd é invertível se, e somente se, det d Se é invertível, então det det Sistems lineres d form X X X X <> IX Os vlores de pr os quis o sistem tem um solução não trivil X são chmdos de utovlores. Se é um utovlor de,então cd solução não trivil de IX é chmd um utovetor de ssocido o utovlor. E.: onsidere o sistem <> <> <> <> <>

6 <> <> IX onde I equção crcterístic de é det I ou <> de modo que os utovlores de são e Por definição X é um utovetor de se, e somente se, X é um solução não trivil de IX > > X t t > > X t t Epnsão em co-ftores; Regr de rmer Se é um mtriz qudrd, então o determinnte menor do elemento ij, denotdo por M ij, é definido pel pelo determinnte d submtriz que sobr qundo i-ésim linh e j-ésim colun de. O número - ij M ij, denotdo por ij, é chmdo de co-ftor de ij. E.: Encontrndo determinntes menores e co-ftores

7 Sej Então, M, M, lculndo um determinnte segundo os seus co-ftores: Sej ij um mtriz n n. Então n n... det ou... det n n E.: Sej. Então det E.: lcule det onde Operndo com linhs e epndindo em co-ftores, nós obtemos:

8 Mtriz djunt Se é um mtriz n n então mtriz dj ij T é chmd de mtriz djunt de. E.: Sej. Então,,,, logo dj trnspost E.: Sej. Então

9 ,,,,,,,,, logo dj trnspost Invers de um mtriz usndo djunt det Se é um mtriz invertível, então dj E.: Sej, Então dj, logo - E.: Sej, Então,,,,,,,, logo dj

10 det det dj Regr de rmer E.: onsidere o sistem - - det det det det E.: onsidere o sistem z z z det det det det det det z