Resumo. Estruturas de Sistemas Discretos. A Explosão do Ariane 5. Objectivo. Representações gráficas das equações às diferenças

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1 Resumo Estruturs de Sistems Discretos Luís Clds de Oliveir Instituto Superior Técnico Representções gráfics ds equções às diferençs Estruturs ásics de sistems IIR Forms trnsposts Estruturs ásics de sistems FIR Estruturs em lttice Efeitos numéricos d precisão finit Estruturs de Sistems Discretos p./4 Estruturs de Sistems Discretos p./4 Ojectivo A Explosão do Arine 5 Em 4 de Junho de 996, o foguetão Arine 5 explodiu n su vigem inugurl. A concepção do foguetão demorou cerc de nos e custou cerc de 7 mil milhões de euros. esse voo o foguetão i lnçr um conjunto de qutro stélites com um vlor de 5 milhões de euros. Prolem: Relir sistems em tempo discreto de form eficiente e com um precisão numéric dequd. Solução: vmos definir estruturs ásics pr os diversos tipos de sistems e vmos estudr s diverss forms de representção numéric. Estruturs de Sistems Discretos p.3/4 O cidente deveu-se um erro de overflow n conversão de um vlor representdo em 64 its com vírgul flutunte pr um inteiro de 6 its com sinl. rnold/dissters/rine5rep.html Estruturs de Sistems Discretos p.4/4

2 Clssificção de um Sistem Discreto Digrm de Blocos Rel: respost o impulso, Cusl: Estável: FIR: IIR: pr tem durção finit. tem durção infinit..., é rel. Fse liner: FIR com trso de grupo constnte. Fse mínim: pólos e eros no interior do círculo unitário. Pss-tudo:. As equções às diferençs podem ser representds num digrm de locos com símolos pr: som de dus sequêncis; multiplicção de um sequênci por um constnte; trso unitário. Exemplo: Estruturs de Sistems Discretos p.5/4 Estruturs de Sistems Discretos p.6/4 Grfo de Fluxo Exemplo de um Grfo A representção num grfo de fluxo é essencilmente igul à representção em locos excepto n notção utilid: o grfo é um conjunto de rmos que se interligm em nós; cd nó está ssocid um sequênci; cd rmo corresponde um trnsformção liner do nó de entrd pr o de síd. Estruturs de Sistems Discretos p.7/4 Estruturs de Sistems Discretos p.8/4

3 Sistems IIR Form Direct I Função de Trnsferênci e Form Direct I Cuiddo com o sinl dos coeficientes do denomindor Estruturs de Sistems Discretos p.9/4 Estruturs de Sistems Discretos p./4 Sistems IIR Form Direct II Sistems IIR Form de Csct Form cnónic: form de relição do sistem com o número mínimo de trsos L L Utilim-se sistems de segund ordem pr que os coeficientes sejm reis e o sistem poss ser relido com ritmétic rel. L L L Estruturs de Sistems Discretos p./4 Estruturs de Sistems Discretos p./4

4 Sistems IIR Form Prlel Grfo ão-computável L M C e e e e el el Estruturs de Sistems Discretos p.3/4 Qundo não é possível ordenr os nós de um grfo de form que s vriáveis ssocids os nós se possm clculr em sequênci, di-se que o grfo é não-computável. Exemplo: Pr um grfo ser computável, tods s relimentções têm de possuir pelo menos um trso. O fcto de um grfo não ser computável, não signific que equção às diferençs não tenh solução. Estruturs de Sistems Discretos p.4/4 Trnsformções de Grfos Trnsposição de Um Grfo A B AB Inverter s direcções de todos os rmos mntendo s trnsmitâncis Trocr o nó de síd pelo de entrd A C AC A AB Teorem d trnsposição: O grfo resultnte d trnsposição tem mesm função de trnsferênci do grfo originl B Estruturs de Sistems Discretos p.5/4 Estruturs de Sistems Discretos p.6/4

5 Sistems FIR Form Direct Trnspost h(m) h(m) h(m ) h() h() Estruturs de Sistems Discretos p.8/4 Relção Entre Amplitude e Fse? é possível oter Ddo : por se trocr Se em ocorrem em pres recíprocos Os pólos e eros de conjugdos: Estruturs de Sistems Discretos p./4 Sistems FIR Form Direct h() h() h() h(m) h(m) Estruturs de Sistems Discretos p.7/4 Sistems FIR Form em Csct P P P Estruturs de Sistems Discretos p.9/4

6 Sistem de Fse Mínim Sistems Pss-Tudo Um sistem de fse mínim tem todos os pólos e eros no interior do círculo unitário. Os sistems de fse mínim não invertíveis podem ter os eros sore o círculo unitário. Se é de fse mínim então é possível oter loclição dos seus pólos e eros prtir de : escolhem-se os pólos e eros de que estão no interior do círculo unitário. Os pólos e eros de pertencem : no exterior do círculo unitário Pss-tudo de ā ordem: ero em em : e pólo Um filtro pss-tudo de ordem superior pode ser otido pel csct de secções de ordem. / Estruturs de Sistems Discretos p./4 Estruturs de Sistems Discretos p./4 Decomposição em Fse Mínim e Pss-Tudo Proprieddes dos Sistems de Fse Mínim Qulquer função de trnsferênci rcionl pode ser decompost em: os pólos e eros no interior do círculo unitário pertencem. os pólos e eros no exterior do círculo unitário precem em n posição recíproc conjugd. o sistem contém os pólos e eros de no exterior do círculo unitário em como os equivlentes eros e pólos n posição recíproc conjugd. Do conjunto de sistems que têm mesm mplitude d respost em frequênci, pens um tem fse mínim. De todos estes sistems, o de fse mínim tem s seguintes crcterístics: introdu menor diferenç de fse; tem o menor trso de fse; tem o menor trso de energi. O inverso de um sistem de fse mínim tmém é de fse mínim. Um sistem de fse mínim é estável e cusl e o seu inverso tmém. Estruturs de Sistems Discretos p.3/4 Estruturs de Sistems Discretos p.4/4

7 Sistems de Fse Liner Generlid Tipos de Sistems FIR de Fse Liner Os sistems de fse liner generlid são todos queles que têm trso de grupo constnte. Sistem de fse liner ( é rel): ou tipo I: e pr; Sistem de fse liner generlid: tipo II: e ímpr; tipo III: tipo IV: e e pr; ímpr; Estruturs de Sistems Discretos p.5/4 Estruturs de Sistems Discretos p.6/4 FIR de Fse Liner do Tipo I Estrutur Lttice de Sistems FIR f (n) f (n) f (n) h() h() h() h(m/) h(m/) cso contrário Estruturs de Sistems Discretos p.7/4 Estruturs de Sistems Discretos p.8/4

8 Recursão Relção entre Prâmetros i i i Conversão Conversão : repetir pr : repetir pr f (n) i i f (n) i Estruturs de Sistems Discretos p.9/4 Estruturs de Sistems Discretos p.3/4 Lttice Só com Pólos Efeitos d Precisão uméric Finit k k k f (n) f (n) f (n) é condição necessári e suficiente pr que todos s ríes de se locliem no interior do círculo unitário As principis cuss de degrdção do desempenho dos filtros digitis são: quntificção dos sinis de entrd e de síd; quntificção dos coeficientes; erros de rredondmento ns operções ritmétics; sturção (overflow). Estruturs de Sistems Discretos p.3/4 Estruturs de Sistems Discretos p.3/4

9 Representção de úmeros Inteiros úmeros Reis de Vírgul Fix sinl + vlor soluto: o it de mior peso indic o sinl e os restntes o vlor soluto do número ( ); complemento pr : os números negtivos são representdos negndo todos os its do vlor soluto do número ( ); complemento pr : os números negtivos são representdos negndo todos os its do vlor soluto do número e somndo ( ); é o it de sinl: Prte frccionári de se se : Estruturs de Sistems Discretos p.33/4 Estruturs de Sistems Discretos p.34/4 Overflow Propriedde d Aritmétic de Complemento pr Se o vlor de exceder Quntificção do overflow: existe overflow. trunctur: os its de peso superior são ignordos e quntificção pode ter um erro muito elevdo ( ) sturção: em cso de exceder o máximo, é quntificdo com o vlor máximo ( ) Se se somr vários números em complemento pr cuj som não ultrpsse o vlor máximo de quntificção, então o resultdo d cumulção destes números estrá correct mesmo que s soms intermédis produm overflow. Estruturs de Sistems Discretos p.35/4 Estruturs de Sistems Discretos p.36/4

10 Relição de Algoritmos em Vírgul Fix Representção em Vírgul Flutunte Considerr que tods s vriáveis e todos os coeficientes são frccionários ( ) representdos com its. multiplicção : o resultdo us its do qul se pode truncr os its menos significtivos. som: o resultdo ocup its. Se se utilirem pens os its menos significtivos podem surgir erros de overflow. mntiss ( ): prte frccionári do número normlmente representd em complemento pr ( ). expoente ( ): fctor de escl d mntiss tmém representdo em complemento pr ( ). Estruturs de Sistems Discretos p.37/4 Estruturs de Sistems Discretos p.38/4 Quntificção dos Coeficientes em Sistems IIR Sensiilidde dos Pólos à Quntificção dos Coeficientes Considerndo pens os pólos: Se os coeficientes forem quntificdos ( pólos são deslocdos: ) os Se os pólos (ou eros) estiverem muito próximos pequenos erros nos coeficientes do denomindor (ou do numerdor) produem grndes deslocmentos n loclições dos pólos (eros) ds relições ns forms directs Relições em Csct e Prlelo: As relições que utilim cominções de sistems de segund ordem torn loclição de cd pr de pólos complexos conjugdos independente dos restntes. Estruturs de Sistems Discretos p.39/4 Estruturs de Sistems Discretos p.4/4

11 Sensiilidde de um Sistem IIR de Ordem Relição Alterntiv de um Sistem IIR de Ordem r senθ r cosθ r senθ r cosθ r cosθ r Estruturs de Sistems Discretos p.4/4 Estruturs de Sistems Discretos p.4/4