Definimos a unidade imaginária j, como sendo um número não real de tal forma que: PROPRIEDADES: j 4 = j 2 x j 2 = ( -1) x ( -1) = 1 ;

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1 TÍTULO: NÚMEROS COMPLEXOS INTRODUÇÃO: Os números complexos form desenvolvidos pelo mtemático K Guss, prtir dos estudos d trnsformção de Lplce, com o único ojetivo de solucionr prolems em circuitos elétricos CONSIDERAÇÃO INICIAL: DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL: UNIDADE IMAGINÁRIA j Definimos unidde imginári j, como sendo um número não rel de tl form que: j 2 = 1 PROPRIEDADES: j 0 = 1 ; j 1 = j ; j 2 = -1 (por definição) ; j 3 = j 2 x j = -1 x j = -j ; j 4 = j 2 x j 2 = ( -1) x ( -1) = 1 ; j 5 = j 4 x j 1 = 1 x j = j ; j 6 = j 4 x j 2 = 1 x (-1) = -1 ; j 7 = j 4 x j 3 = 1 x (-j ) = -j CONCLUSÃO: (com N inteiro) j 4N = 1 ; j 4N+1 = j ; j 4N+2 = -1 ; j 4N+3 = -j 1 - CONCEITO BÁSICO: DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL: NÚMERO COMPLEXO Definimos número complexo ( Indicdo por ) como sendo qulquer número que poss ser colocdo n seguinte form: = + j Onde : é Denomindo de Coeficiente l e é denomindo de Coeficiente ginário 1

2 Note-se então que um número complexo é definido por um pr de vlores, o psso que um número rel é definido por um único vlor ; o que nos fz concluir que se um número rel é um ponto num ret ordend, um número complexo será um ponto num plno imginário Visulizndo: Número l I Número Comp lexo Pelo cim exposto, podemos concluir que : i ) Não existe sentido n comprção de dois Números Complexos, já que os mesmos não podem ser entendidos como pontos num ret orientd, ms sim como pontos de um plno ginário; ) Números Complexos devem ser entendidos como ferrments d mtemátic pur, sendo números não is ; rzão pel qul não existe sentido em triuir um unidde os mesmos 2 - NOTAÇÕES DE UM NÚMERO COMPLEXO: Como já explicdo, um pr de vlores se fz necessário, pr determinção de um número complexo; poderemos ter este pr de vlores em coordends crtesins, ou em coordends polres Em Coordends crtesins, necessitremos do pr de vlores e, pr loclizrmos um complexo Em coordends polres necessitremos de um ângulo (Medido pel convenção do circulo trigonométrico) e de um Comprimento l (Que será distânci do número complexo té origem do sistem de Coordends) Visulizndo: ) Coordends Crtesins ) Coordends Polres I Número Complexo il Número Complexo i Pelo fto do comprimento l ser um número rel essencilmente positivo, costummos denominr o mesmo de módulo do número 2

3 complexo, e ind costummos denominr o ângulo de fse do número complexo No nosso curso utilizremos notção de Kennelly, ou sej: = (Lê-se: Módulo de complexo, Fse ) Considerndo: = = Que deve ser ssim interpretd pr crcterizr um número complexo: O ângulo medido prtir do eixo rel com o sentido nti horário e o comprimento l = ; Visulizndo seguir : ) Coordends Crtesins ) Coordends Polres ou tngulres (Notção de Kennelly) = + j I = i Not: Emor os Números Complexos não sejm vetores (ms sim Fsores) eles possuem lgums proprieddes vetoriis, rzão pel qul é usul presentrmos o seu módulo como sendo um vetor orientdo d origem té o ponto: = 3 - TRANSFORMAÇÕES DE UM NÚMERO COMPLEXO DE UM SISTEMA DE COORDENADAS PARA OUTRO: ) Trnsformção de um Número Complexo ddo em Coordends Crtesins pr Coordends Polres: Sendo ddo um Número Complexo d form: recomend-se: = + j, 3

4 Construir o seu esoço gráfico; Note que for os eixos principis somente existem qutro possiiliddes: 1 : 2 : > 0 > 0 > 0 > 0 3 : 4 : < 0 < 0 > 0 < 0 Determine: = pr qulquer um ds qutro possiiliddes (Teorem de Pitágors) Note que os sinis de e de não tem mínim importânci n determinção deste módulo Determine β (menor ângulo formdo com o eixo rel) : β =rctg ; Note que em qulquer um ds possiilidde cim: 0 < β < 90 0 Determine (Ângulo do n 0 complexo), por mer inspeção visul do gráfico; por exemplo, n 1 possiilidde: = β ; n 2 : = β ; n 3 : = β ; n 4 : = β, ou simplesmente: = - β Escrev então o N 0 complexo n form polr: = + j = 4

5 ) Trnsformção de um Número Complexo ddo em Coordends Polres pr Coordends Crtesins: Sendo ddo um Número Complexo d form : recomend-se: =, Construir o seu esoço gráfico; Note que for os eixos principis somente existem qutro possiiliddes: 1 : 2 : 0 < < < < : 4 : 180 < < < < 360 Determine β (Menor ângulo formdo com o eixo l) ; Oserve que em qulquer cso: 0 < β < 90 0 Note que n 1 possiilidde β = ; n 2 : β = ; n 3 : β = ; n 4 : β = , ou simplesmente: β = - Qulquer que sej o cso nlisdo, determine: = cos β ; = sen β Determine os sinis de e de pel simples inspeção visul do gráfico Oserve por exemplo que no 1 0 cso temos: > 0 e > 0 ; já no 2 0 cso tem-se: < 0 e > 0 ; no 3 0 5

6 cso tem- cso tem-se: < 0 e < 0, e finlmente no 4 0 se: > 0 e < 0 Escrev o N 0 complexo n form crtesin: = = + j 4 - NOTAÇÃO DE EULER: Emor tl notção não sej muito usul, mesm torn-se imprescindível, n demonstrção de proprieddes fundmentis dos Números Complexos Demonstr-se pel teori ds séries que: ϕ e j = cos ϕ + j sen ϕ Suponhmos então gor que temos um Número Complexo d form = ; vmos proceder à representção do mesmo em coordends crtesins: = sen = cos Nests condições podemos escrever que: = + j = cos + j sen ou ind: = ( cos + j sen ) = = e j 6

7 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS : ) Negtivo de um Número complexo: Citmos nteriormente que os Números Complexos não são vetores, ms que possuem lgums proprieddes vetoriis, prticulrmente pr som e sutrção Visulizemos então o digrm Fsoril de :, e: - ; teremos: i - i Pel mer oservção do digrm nterior: = ± ) Número Complexo Conjugdo: N form Crtesin : Sendo ddo define-se como sendo como sendo: * = - j n form: = + j, * o Número Complexo Conjugdo de, N form Polr : Sendo ddo como sendo * = - n form: =, define-se * o Número Complexo Conjugdo de, como sendo: Em Coordends Crtesins: = + j Em Coordends polres: = i * = - j * = i 7

8 ELETRO I NÚMEROS COMPLEXOS EXPERIÊNCIA N o 05 MODALIDADE TURNO: DATA: / / NOME: N o DE MATRÍCULA: NOME: N o DE MATRÍCULA: NOME: N o DE MATRÍCULA: NOME: N o DE MATRÍCULA: NOME: N o DE MATRÍCULA: 1) Trnscrever os números indicdos no gráfico ixo n form crtesin: 1 = 2 = 2) Trnsformr o número ixo pr form crtesin: 3 = 5 /53º 4 = - 10 / - 60º 3) Trnscrever os números indicdos no gráfico ixo n form polr: 1 = 2 = 4) Trnsformr o número ixo pr form polr: 3 = 1,92 + j2,29 4 = j40 8