INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 ITRODUÇÃO AOS MÉTODOS UMÉRICOS Professor: Dr. Edwin B. Mitcc Mez Ement oções Básics sore Erros Zeros Reis de Funções Reis Resolução de Sistems Lineres Introdução à Resolução de Sistems ão-lineres Interpolção Auste de funções Integrção uméric

2 Introdução Pr utilizr eficzmente qulquer ferrment de solução necessitmos conhecer e entender o prolem. Os computdores tem um grnde utilidde pr resolver prolems de engenhri, porém são prticmente ineficientes se não compreendemos o funcionmento dos sistems de engenhri. A resolução dos diversos prolems, que surgem ns mis diverss áres, envolve váris fses. Introdução os Métodos uméricos Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico Introdução os Métodos uméricos

3 Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico Um modelo mtemático pode ser definido como um formulção ou um equção que expresse s crcterístics essenciis de um sistem físico ou processo, em termos mtemáticos. Introdução os Métodos uméricos Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico Os Métodos uméricos são técnics medinte s quis é possível formulr prolems mtemáticos de tl form que possm ser resolvidos usndo operções ritmétics (Algoritmo com um número finito de operções). Introdução os Métodos uméricos 6

4 Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico Como necessitmos relizr um número grnde de cálculos ritméticos, devemos usr o computdor pr oter um solução em um tempo rzoável. Introdução os Métodos uméricos 7 Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico A nálise dos resultdos tem como oetivo verificr se os resultdos oservdos correspondem os esperdos, com se em critérios e pdrões estipuldos. Introdução os Métodos uméricos 8

5 Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico ão é rro contecer que os resultdos finis estem distntes do que se esperri oter, ind que tods s fses tenhm sido relizds corretmente. Erros Introdução os Métodos uméricos 9 Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Erros Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Análise dos Resultdos Otidos Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico Erros n Fse de Modelgem: Pr representr um fenômeno do mundo físico por meio de um método mtemático, normlmente, são necessáris váris simplificções do mundo físico pr que se tenh um modelo. A precisão dos ddos de entrd. Introdução os Métodos uméricos

6 Fses d Resolução de um Prolem Prolem Rel Levntmento de Ddos Construção do Modelo Mtemático Análise dos Resultdos Otidos Erros Escolh do Método umérico Adequdo Implementção Computcionl Se necessário: Reformulr o Modelo Mtemático e/ou Escolher ovo Método umérico Erros n Fse de Resolução: A form como os ddos são representdos no computdor (proximções). As operções numérics efetuds. Introdução os Métodos uméricos Estudremos os erros que surgem d representção de números em um computdor e os erros resultntes ds operções numérics efetuds Introdução os Métodos uméricos 6

7 Representção uméric A fim se relizrmos de mneir prátic qulquer operção com números, nós precismos representá los em um determind se numéric. Precismos escrever o número de lgum outr form, cso contrário não é possível relizr ess operção. se deciml:,,,6 Algrismos Significtivos!!!,,,6 Depende d representção Introdução os Métodos uméricos Representção uméric Sistem Deciml Sistem Binário Ddos (Sistem Deciml) Erros Resultdos (Sistem Deciml) Ddos (Sistem Binário) Operções Em um se um número pode ter um representção finit e em outr um representção infinit (rredondmentos e truncmentos ocorrem!!!!!!!!!) Introdução os Métodos uméricos 7

8 8 Sistem Deciml e Binário Conversão de úmeros Inteiros: Em gerl, um número n se β, (... ) β com k (β ) e k,..., g β β k β pode ser escrito n form polinomil Ex : β β β β β K 7 (7) β β β Introdução os Métodos uméricos Ex : 7 ( ) β β β β β Processo pr converter um número inteiro do sistem inário pr o sistem deciml A conversão de um número no sistem inário pr o sistem deciml é otid colocndo o número em evidênci: otid colocndo o número em evidênci: ) ) ( ( ) ( () Introdução os Métodos uméricos 6 ) ) ) () ( ( ( ) ) ) ( ( (

9 9 Processo pr converter um número inteiro do sistem inário pr o sistem deciml A representção do número (... ) n se, denotdpor é otid pelo seguinte processo: é otid pelo seguinte processo: M Introdução os Métodos uméricos 7 M Processo pr converter um número inteiro do sistem inário pr o sistem deciml () Exemplo: M Introdução os Métodos uméricos 8

10 Processo pr converter um número inteiro do sistem deciml pr o sistem inário Considere o número (7) e(... ) su representção n se Pelo processo inverso: se. Pelo processo inverso: ( ) 7 ( ) Introdução os Métodos uméricos O processo termin pois 8 é zero Exercícios ( ) n se Represente ( ) deciml n se Represente Introdução os Métodos uméricos

11 Processo pr converter um número frcionário do sistem deciml pr o sistem inário Conversão de úmeros Frcionários: Ddo um número entre e, como encontrr su representção (.d d...d...) n se? Exemplo:Considere(.) Multiplicndo.por temos:.. {. { Logo d prte d inteir Bse inári dmite somente ou!!!!!!!!!! prte frcionári Introdução os Métodos uméricos Processo pr converter um número frcionário do sistem deciml pr o sistem inário Aplicndo o mesmo procedimento pr.,.. {. { e repetindo pr.,.. prte inteir d { { prte inteir d Introdução os Métodos uméricos prte frcionári prte frcionári O processo termin pois prte frcionári é zero. Assim, representção de (.),nse,será(.),pois: (.). 8

12 Processo pr converter um número frcionário do sistem inário pr o sistem deciml Conversão de úmeros Frcionários: Se gor um número entre e no sistem inário. Como encontrr su representção n se? Considere o número (.) (.... ) Definimos r (.) e multiplicmos por (). ote que () () w () r () (.) (.) {. prte inteir prte frcionári Introdução os Métodos uméricos Multiplicção Binári Introdução os Métodos uméricos

13 Processo pr converter um número frcionário do sistem inário pr o sistem deciml w ( r ) ( ) (.) (.) {. prte inteir prte frcionári Convertendo prte inteir pr se deciml, otemos () ( ) Assim, e r. Repetindo o processo té r k. Introdução os Métodos uméricos w w w w w 6 Processo pr converter um número frcionário do sistem inário pr o sistem deciml ) r () (.) (.) ( ) ( ) e r. r () (.) (.) ( ) ( 9) ( () () ( ) ( ) () r r () () (.) (.). e r. ( ) ( 7) () () (.) Introdução os Métodos uméricos. 7 e r ( ) ( ) e r r 6 (.) (.97 ) e r.. O processo termin pois r 7 6

14 Exercícios Represente Represente (. ) n se (. ) n se Introdução os Métodos uméricos 7 Ponto Fixo e Ponto Flutunte noss relidde sempre estmos representndo os números n se deciml, portnto semos extmente seu significdo. quntidde equivlente Representção Posicionl Já n se inári, Introdução os Métodos uméricos 8

15 Ponto Fixo e Ponto Flutunte A idéi por trás d representção dos números em ses numérics é utilizd pr representr números no computdor. Inteiros Reis Mnipulção mis eficiente Um número inteiro present chmd representção de ponto fixo, onde posição do ponto deciml está fix e todos os dígitos são usdos pr representr o número em si, com exceção do primeiro digito usdo pr representr o sinl do número. Introdução os Métodos uméricos 9 Ponto Fixo e Ponto Flutunte Pr um número rel qulquer é utilizd representção de ponto flutunte,queéddpelexpressão: d ( β ) e ± (.d d d Kd t ) β,..., t d onde:. d d d Kd t é um frção n se, chmd de mntiss. t e número máximo de dígitos d mntiss. Expoente que vri em um intervlo ddo pelos limites d mquin utilizd. Ponto flutunte pois o ponto d frção flutu Introdução os Métodos uméricos

16 Ponto Fixo e Ponto Flutunte Exemplos d representção de ponto flutunte (β, t e e [,]): úmero n se deciml Representção em ponto flutunte mntiss se expoente, x... x... x.. x.. Underflow Expoente < Overflow Expoente > Introdução os Métodos uméricos Erros uméricos Porém, um profissionl que utilizrá o resultdo fornecido pel clculdor pr proetr, construir pontes, edifícios, etc, não pode ceitr o vlor otido ntes de fzer lguns questionmentos.,6 Como fez pr chegr nesse resultdo? Qul é confiilidde do resultdo que foi otido? Introdução os Métodos uméricos 6

17 Erros uméricos é um número irrcionl ão existe um form de representá lo com um número finito de lgrismos,6 Solução Aproximd Quão próximo do vlor rel está o resultdo mostrdo? Introdução os Métodos uméricos Definições Erro Asoluto Vmos definir diferenç entre o vlor rel d grndez que queremos clculr e o vlor proximdo que efetivmente clculmos como erro, ou se: Erro erro vlor rel vlor proximdo Asoluto Qunto menor for esse erro, mis preciso será o resultdo d operção. Se estivermos lidndo com números muito grndes, o erro pode ser grnde em termos solutos, ms o resultdo ind será preciso. O cso inverso tmém pode ocorrer: um erro soluto pequeno, ms um resultdo impreciso. Introdução os Métodos uméricos 7

18 Definições Erro Asoluto Resultdo de um operção Vlor rel..,7.., erro soluto,8 Resultdo de um operção Vlor rel,,8 erro soluto,6 Introdução os Métodos uméricos Definições Erro Reltivo Pr evitr migüidde, podemos crir um nov definição: erro vlor rel vlor proximdo Erro vlor rel Reltivo É um form mis gerl de se vlir precisão de um cálculo efetudo. Introdução os Métodos uméricos 6 8

19 Definições Erro Reltivo Resultdo de um operção Vlor rel..,7.., erro soluto,8 erro reltivo,8 Resultdo de um operção Vlor rel,,8 erro soluto,6 erro reltivo,8 Introdução os Métodos uméricos 7 Tipos de Erro n Resolução de Prolems A resolução de um prolem de engenhri num computdor utilizndo um modelo numérico produz, em gerl, um solução proximd do prolem. A introdução de erros n resolução do prolem pode ser devid vários ftores. Erros de rredondmento; Erros de truncmento. Introdução os Métodos uméricos 8 9

20 Erros de Arredondmento Quer os cálculos sem efetudos mnulmente quer otidos por computdor somos conduzidos utilizr um ritmétic de precisão finit, ou se, pens podemos ter em considerção um número finito de dígitos. O erro devido desprezr os outros e rredondr o número é designdo por erro de rredondmento.,,,6 Introdução os Métodos uméricos 9 Erros de Truncmento Muits equções têm soluções que pens podem ser construíds no sentido que um processo infinito poss ser descrito como limite d solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completdo, por isso tem de ser truncdo pós certo número finito de operções. Est sustituição de um processo infinito por um processo finito, result num certo tipo de erros designdo erro de truncmento. vlor exto? Truncmento d série!! Introdução os Métodos uméricos

21 ... Erros de rredondmento; Erros de truncmento. são erros que ocorrem no processo de cálculo de um solução numéric Introdução os Métodos uméricos Propgção e Condicionmento de Erros uméricos e rredondm ento (vlor proximdo) e truncment o (erro no resultdo otido) e Apresentrá um erro que é proveniente dos erros nos vlores de riz de e e. Os erros nos vlores se propgm pr o resultdo finl Introdução os Métodos uméricos

22 Propgção e Condicionmento de Erros uméricos A propgção de erros é muito importnte pois, lém de determinr o erro finl de um operção numéric, el tmém determin sensiiliddede um determindo prolem ou método umérico. Se um pequen vrição nos ddos de entrd de um prolem levr um grnde diferenç no resultdo finl, consider seque ess operção é ml condiciond, ou se, existe um grnde propgção de erros ness operção. Por outro ldo, se um pequen vrição nos ddos de entrd lev pens um pequen diferenç no resultdo finl, então ess operção é em condiciond. Introdução os Métodos uméricos Erros n Aritmétic de Ponto Flutunte Se pensrmos um pouco, erros de rredondmento e truncmento sempre estão presentes n mtemátic computcionl, pois os computdores precism representr os números com um quntidde finit de lgrismos. Vmos supor, pr simplificção, um computdor com um representção de ponto flutunte n se deciml (β) e um mntiss de lgrismos (t). 7,68,76 (truncá lo) 76 (t á l ),77 (rredondá lo) ERRO,8, Introdução os Métodos uméricos

23 Erros n Aritmétic de Ponto Flutunte Exemplo: 66 (, 66 ), 7 (, 7 ) 666,7 lgrismos, Apesr de prtirmos de dois números extos, o resultdo d som não será ext. Em um computdor rel, esse erro é pequeno, porém, se um número muito grnde de operções for relizdo e se existir necessidde de se oter um resultdo stnte preciso, será preciso se levr em considerção esse tipo de erro pr vlir o resultdo otido. Introdução os Métodos uméricos