Resumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral

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1 Resumo Sinis e Sistems Trnsformd Instituto Superior Técnico Definição Região de convergênci Trnsformd invers Proprieddes d trnsformd Avlição geométric d DTFT Crcterição de SLITs usndo trnsformd. Representção de SLITs em digrms. Sinis e Sistems p./55 Sinis e Sistems p.2/55 Introdução Trnsformd Bilterl A trnsformd de Fourier não converge pr tods s sequêncis. A trnsformd rnge um mior clsse de sinis. A trnsformd desempenh pr os sinis discretos o mesmo ppel que trnsformd de Lplce pr os contínuos., X()= + n= x(n) X() x(n) n Sinis e Sistems p.3/55 Sinis e Sistems p.4/55

2 A DTFT e Trnsformd X()= + n= x(n) n A trnsformd de Fourier é trnsformd clculd sore o círculo unitário ( =r=): X(e jω )= + n= =re jω X(re jω )= x(n)e jωn Plno + n= Im (x(n)r n )e jωn =e jω ω Re Clculr trnsformd do sinl: n, x(n)= n u(n) em que eu(n) é função esclão unitário. X()=, > Sinis e Sistems p.5/55 Sinis e Sistems p.6/55 Convergênci d Trnsformd Clculr trnsformd do sinl: n, x(n)= n u( n ) em que eu(n) é função esclão unitário. X()=, < Aplicndo condição d sequênci ser solutmente somável, usd pr trnsformd de Fourier: + n= x(n) n < A convergênci d trnsformd depende pens de : ROC tem form de um nel. Em certos csos o limite interno do nel poderá ser origem e o limite externo poderá ser infinito. Plno Im Re Sinis e Sistems p.7/55 Sinis e Sistems p.8/55

3 Função Rcionl Sinl Lterl Direito Um importnte clsse de trnsformds são quels em que trnsformd é um função rcionl no interior d região de convergênci: X()= P() Q() Em que P() e Q() são polinómios em. de um sinl lterl direito: x(n)= n u(n) Plno Im Re eros de X() : nome ddo às ríes do numerdor P(). pólos de X() : nome ddo às ríes do denomindor Q(). Sinis e Sistems p.9/55 Sinis e Sistems p.0/55 Sinl Lterl Esquerdo Proprieddes d ROC Plno Im Re de um sinl lterl esquerdo: x(n)= n u( n ) Se trnsformd for um função rcionl e x(n) tiver mplitude finit excepto possivelmente em n = + ou n= : Propriedde : A região de convergênci é um nel centrdo n origem. Propriedde 2: A trnsformd de Fourier de x(n) converge solutmente sse região de convergênci d trnsformd incluir o círculo unitário. Propriedde 3: A região de convergênci não pode incluir nenhum pólo. Sinis e Sistems p./55 Sinis e Sistems p.2/55

4 Proprieddes d ROC Proprieddes d ROC Propriedde 4: Se x(n) for um sinl de durção finit então região de convergênci é todo o plno excepto possivelmente =0ou =. Propriedde 5: Se x(n) for um sinl lterl direito região de convergênci estende-se pr for do pólo mis fstdo d origem (incluindo possivelmente = ). Propriedde 6: Se x(n) for um sinl lterl esquerdo região de convergênci estende-se pr o interior do pólo mis próximo d origem (incluindo possivelmente =0). Propriedde 7: Se x(n) for um sinl ilterl região de convergênci será um nel no plno, limitdo no interior e exterior por um pólo e não contendo pólos no seu interior. Propriedde 8: A região de convergênci tem de ser um região ligd. Sinis e Sistems p.3/55 Sinis e Sistems p.4/55 Clculr trnsformd do sinl indicndo região de convergênci: n, x(n)= n [u(n) u(n N)] em que, >0eu(n) é função esclão unitário. X()= ( ) N, >0 Clculr trnsformd do sinl indicndo região de convergênci: n, x(n)= n em que, >0eu(n) é função esclão unitário. X()=, < </ Sinis e Sistems p.5/55 Sinis e Sistems p.6/55

5 Lineridde Determinr o número de sinis que podem ser ssocidos à trnsformd :, X()= ( 3 )( 2 ) x (n)+x 2 (n) X ()+X 2 () Com região de convergênci: R X R X2 Podemos ssocir um sinl i-lterl, um lterl esquerdo e um lterl direito. Sinis e Sistems p.7/55 Sinis e Sistems p.8/55 Deslocmento Temporl Multiplicção por um Exponencil x(n n 0 ) n 0 X() Com região de convergênci: R X excepto possível dição ou remoção de =0ou = n 0 x(n) X(/ 0 ) Com região de convergênci: 0 R X Sinis e Sistems p.9/55 Sinis e Sistems p.20/55

6 Inversão Temporl Conjugdo x( n) X(/) Com região de convergênci: x (n) X ( ) Com região de convergênci: R X R X Sinis e Sistems p.2/55 Sinis e Sistems p.22/55 Convolução Diferencição x (n) x 2 (n) X ()X 2 () Com região de convergênci contendo: nx(n) dx() d Com região de convergênci: R X R X2 R X Sinis e Sistems p.23/55 Sinis e Sistems p.24/55

7 Clculr trnsformd invers de: Teorem do Vlor Inicil Se x(n) for um sequênci cusl (x(n)=0pr n<0):, X()= ( ) 2 x(n)=n n u(n), > x(0)= lim X() Pr um sequênci cusl, se X() for rcionl e se x(0) for um vlor finito, então ordem do numerdor não pode ser superior à do denomindor. Sinis e Sistems p.25/55 Sinis e Sistems p.26/55 Trnsformds Comuns Verifique se, X()= Pode ser trnsformd do sinl: 3 2 ( 3 )( 2 ), >/2 x(n)=7(/3) n u(n) 6(/2) n u(n) Aplicndo o teorem do vlor inicil: x(0)= lim X()= δ(n) u(n) u( n ) δ(n m) n u(n) n u( n ),, >, < m, excepto 0 (m>0) ou (m<0), >, < Sinis e Sistems p.27/55 Sinis e Sistems p.28/55

8 Trnsformds Comuns Trnsformds Comuns n n u(n) n n u( n) (n+) n u(n) (n+) n u( n 2) ( ) 2, > ( ) 2, < ( ) 2, > ( ) 2, < r n cos(ω 0 n)u(n) r n sin(ω 0 n)u(n) { n, 0 n N 0, cso contrário [r cos(ω 0 )] 2r cos(ω 0 ) + r 2 2, >r [r sin(ω 0 )] 2r cos(ω 0 ) + r 2 2, >r N N, >0 Sinis e Sistems p.29/55 Sinis e Sistems p.30/55 Trnsformd Invers No cso gerl inversão d trnsformd exige o recurso um integrl de circulção. No entnto, se trnsformd for um função rcionl, pode ser expndid n form: X()= m i= A i : Método de Inspecção X()= Us-se o pr de trnsformds: 2, > 2 n u(n),, > Em função d região de convergênci, o sinl x(n) será um som de exponenciis n form A i n i u(n) ou A i n i u( n ). Sinis e Sistems p.3/55 Sinis e Sistems p.32/55

9 Expnsão em Frcções Simples Expnsão em Frcções Simples X()= M k=0 k k M 0 k=( c k ) N k=0 k k= N 0 k= ( d k ) Se M<N e se os pólos forem todos de primeir ordem: em que: X()= N k= A k d k A k = ( d k )X() =dk No cso M N e existir um pólo de ordem s em =d i : X()= M N r=0 B r r + N k= A k s C m d k + ( d i ) m em que B r pode ser otido por divisão long do numerdor pelo denomindor terminndo-o qundo o gru do resto for menor que o do denomindor, { } d s m C m = (s m)!( d i ) s m dw [( d iw) s X(w )] s m w=di m= Sinis e Sistems p.33/55 Sinis e Sistems p.34/55 Clculr trnsformd invers de:, X()= ( 4 )( 3 ), >/3 x(n)=(/4) n u(n)+2(/3) n u(n) Clculr trnsformd invers de:, X()= ( 3 )( 2 ) 2, >/2 x(n)=4(/3) n u(n)+3(n+)(/2) n u(n) 6(/2) n u(n) Sinis e Sistems p.35/55 Sinis e Sistems p.36/55

10 Expnsão em Série de Potêncis X() = + n= x(n) n =...+ x( 2) 2 + x( )+ x(0)+ x() + x(2) Os vlores d sequênci são os coeficientes ds potêncis de. Clculr trnsformd invers de:, X()= , 0< < x(n)=4δ(n+2)+2δ(n)+3δ(n ) Sinis e Sistems p.37/55 Sinis e Sistems p.38/55 Clculr trnsformd invers de:, X()=log(+ ), 0< < Conhecendo seguinte expnsão em série de Tylor: log(+v)= + n= ( ) n+ v n, v < n Cuslidde A repost impulsiv de um SLIT cusl é um sinl lterl direito, então Um SLIT discreto com função de trnsferênci rcionl é cusl se e só se: ) região de convergênci for o exterior d circunferênci que inclui o pólo mis fstdo, ) ordem do numerdor não exceder ordem do denomindor. x(n)= ( )n n u(n ) Sinis e Sistems p.39/55 Sinis e Sistems p.40/55

11 Verifique se, H()= pode ser função de trnsferênci de um sistem cusl. Mesmo sem conhecer ROC podemos concluir que o sistem não é cusl porque ordem do numerdor é superior à do denomindor. Verifique se, H()= + 2 2, >2 é função de trnsferênci de um sistem cusl. Um ve que ROC é o exterior do pólo mis fstdo d origem, st confirmr que ordem do numerdor não excede do denomindor: H()= logo o sistem é cusl. Sinis e Sistems p.4/55 Sinis e Sistems p.42/55 Estilidde Um sistem discreto, liner e invrinto no tempo é estável se região de convergênci incluir circunferênci de rio unitário. Um SLIT cusl discreto com função de trnsferênci rcionl é estável se e só se todos os pólos estiverem no interior d circunferênci de rio unitário. Verifique que o sistem do exemplo nterior:, H()= + 2 2, >2 não é estável. Determine qul deveri ser região de convergênci pr que o sistem definido por H() fosse estável. Determine su respost o impulso. O primeiro sistem não é estável porque ROC não inclui circunferênci de rion unitário. Pr isso contecer teri de escolher ROC /2< <2e respost o impulso seri h(n)=(/2) n u(n) 2 n u( n ). Sinis e Sistems p.43/55 Sinis e Sistems p.44/55

12 Equção às Diferençs Digrm de Blocos Os SLIT são podem ser crcteridos por um equção às diferençs de coeficientes constntes: N k y(n k)= k=0 M k x(n k) k=0 Aplicndo propriedde do deslocmento: H()= Y() M X() = k=0 k k N k=0 k k As equções às diferençs podem ser representds num digrm de locos com símolos pr: som de dois sinis; multiplicção de um sinl por um constnte; trso unitário. : y(n)= x(n)+x(n )+y(n ) x(n) y(n) Sinis e Sistems p.45/55 Sinis e Sistems p.46/55 Grfo de Fluxo de um Grfo A representção num grfo de fluxo é essencilmente igul à representção em locos excepto n notção utilid: o grfo é um conjunto de rmos que se interligm em nós; cd nó está ssocido um sinl; cd rmo corresponde um trnsformção liner do nó de entrd pr o de síd. y(n)= x(n)+x(n )+y(n ) x(n) H()= + y(n) Sinis e Sistems p.47/55 Sinis e Sistems p.48/55

13 Sistems IIR Form Direct I Sistems IIR Form Direct II y(n)= x(n) N N k y(n k)+ k x(n k) k= 0 k=0 y(n) x(n) y(n) N N 2 2 N N N N N N Sinis e Sistems p.49/55 Sinis e Sistems p.50/55 Sistems FIR Form Direct Determinr respost em frequênci e representr n form direct I e n form direct II o sistem liner e invrinte no tempo definido pel seguinte equção às diferençs: n, y(n)= x(n) x(n )+ 2 y(n )+ 3 y(n 2) x(n) M M y(n)= k x(n k)= h(k)x(n k) k=0 k=0 M H()= k k k=0 h(0) h() h(2) h(m ) h(m) y(n) Sinis e Sistems p.5/55 Sinis e Sistems p.52/55

14 Determinção Geométric d DTFT Avlição vectoril As trnsformds rcionis podem ser representds n form: X()= M ΠR i= ( β i) Π P i= ( α i) Fendo =e jω : X(e jω ) = M ΠR i= e jω β i Π P i= e jω α i R P X(e jω ) = (e jω β i ) (e jω α i ) i= i= e jω β i é o módulo do vector desde o eroβ i o ponto =e jω ; e jω α i é o módulo do vector desde o póloα i o ponto =e jω ; (e jω β i ) é ângulo que o vector desde o eroβ i o ponto =e jω f com o eixo rel; (e jω α i ) é o ângulo que o vector desde o póloα i o ponto =e jω f com o eixo rel. Sinis e Sistems p.53/55 Sinis e Sistems p.54/55 Esoçr trnsformd de Fourier correspondente o sinl com trnsformf : H()= 2, >/2 H() =, >/2 2 H(e jω ) = e jω 2 H(e jω ) =ω ( e jω 2 ) Sinis e Sistems p.55/55

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