Aula 09 Equações de Estado (parte II)

Transcrição

1 Aul 9 Equções de Estdo (prte II)

2 Recpitulndo (d prte I): s equções de estdo têm form (sistems de ordem n ) = A + B u y = C + D u onde: A é um mtriz n n B é um mtriz n p C é um mtriz q n D é um mtriz q p sendo: p = número de entrds q = número de síds = vetor derivd de

3 = vetor derivd de (t) = 1 (t) 2 (t) n-1 (t) n (t) (t) = 1 (t) 2 (t) n-1 (t) n (t)

4 No cso de sistems com pens um entrd u(t), i.e., p = 1, temos que: No cso de sistems com pens um síd y(t), i.e., q = 1, temos que: B = b 1 b 2 b n C = [ c 1 c 2 c n ] C é um vetor linh. No cso de sistems com pens um entrd u(t) e um síd y(t), ou sej, neste cso B é um vetor colun. D = [ d 1 ] D é um constnte d 1 (ou sej, D é um mtriz 11 ).

5 o 1 o 3 n o 2 n o 1 n o n L L M M M M M M L L L A = Um mtriz A n form compnheir tem o seguinte speto: n 1 n 2 n 2 1 n 1 n o s s s s (s) p = L onde o, 1,, n-1, n, são os coeficientes d equção crcterístic p(s): Equções de Estdo

6 1 3 n 2 n 1 n n L L M M M M M M L L L A = No cso prticulr, ms bstnte comum, de o = 1, mtriz A n form compnheir tem o seguinte speto: n 1 n 2 n 2 1 n 1 n s s s s (s) p = L onde, 1,, n-1, n, são os coeficientes d equção crcterístic p(s): Equções de Estdo

7 A equção crcterístic e os polos do sistem Um sistem descrito n form de equção de estdos = A + B u y = C + D u tem o seu polinómio crcterístico ddo por: p(s) = det {[ si A ]}

8 Os polos do sistem são os utovlores (ou vlores próprios ) de A, podendo ser repetidos, i.e., duplos, triplos, etc. Como é sbido, os utovlores de A são s rízes do polinómio crcterístico p(s) = det [ s I A ]

9 Representções Equivlentes Considere um sistem descrito n form de equção de estdos cuj vriável de estdo é (t). Logo, como: temos que: = A + B u y = C + D u Definindo-se gor um nov vriável de estdo como: = P = P = P -1 = P -1 sendo P inversível.

10 e então: onde: = A + B u y = C + D u A = P A P -1 B = P B C = C P -1 D = D é um outr representção do mesmo sistem em equções de estdo Note que entrd u e síd y não se lterrm. Somente representção intern do sistem (s vriáveis de estdo).

11 Conversão de Equção de Estdo pr Função de Trnsferênci Pr se converter representção de um sistem de equções de estdo = A + B u y = C + D u pr função de trnsferênci, fórmul é dd por, Y(s) U(s) = C (si A) 1 B + D

12 simulção nlógic

13 Simulção Anlógic Sej qul for nturez de um sistem (SLIT) liner e invrinte no tempo (mecânic, elétric, eletromecânic, térmic, hidráulic, ou um processo químico, etc.) ele pode ser simuldo em lbortório trvés de componentes eletrónicos. Dest form é possível simulr um entrd qulquer pr o sistem, como um degru por eemplo, e observrmos qul seri respost (ou sej, síd) do sistem pr quel entrd. A isso chmmos de simulção nlógic.

14 componentes com que fzemos simulção nlógic INTEGRADOR trnsform um sinl n su entrd em n su síd, ou sej, integr A simulção nlógic de um sistem de ordem n precis de n integrdores. SOMADOR y z + + y + z som os sinis que entrm num único sinl de síd

15 MULTIPLICADOR k k multiplic por k o sinl que entr, devolvendo k n su síd Eemplo 16: N figur seguir vemos como se fz simulção nlógic d equção diferencil =

16 Eemplo 17: Agor simulção nlógic d equção diferencil Eemplo 18: E gor simulção nlógic d equção diferencil = 2 3 = u u

17 Eemplo 19: = = u y = Vmos gor fzer simulção nlógic deste sistem de segund ordem (descrito pels sus equções de estdo) 2 2 u + = = y 3 3

18 Eemplo 19 (continução): Agor, se colocrmos um ci brngendo simulção nlógic feit 2 2 u + = = y y 3 3 Pode-se observr que nest ci entr pens entrd u (input do sistem) e si pens síd y (output do sistem). O que fic dentro d ci é representção intern do sistem, trvés ds vriáveis de estdo 1 e 2

19 Simulção Anlógic n prátic

20 conversão d função trnsferênci pr equções de estdo

21 Conversão d Função de Trnsferênci pr Equções de Estdo Já vimos que representção de um sistem pel su função de trnsferênci Y(s U(s = A + B u y = C + D u é únic! Por outro ldo representção de um sistem em equções de estdo não é únic!

22 Não há um regr únic pr se trnsformr sistems descritos pel su equção diferencil ordinári (EDO) ou pel su função de trnsferênci, em equções de estdo Vmos usr qui o sistem, de terceir ordem, descrito pel equção diferencil cuj função de trnsferênci é dd por y + 12y + 2y = 8u G s = Y(s U(s = 8 s + 12s + 2s ou G s = Y(s U(s = 8 s s + 2 s + 1

23 Eemplo 2: Considere o sistem descrito pel equção diferencil ordinári (EDO) y + 12y + 2y = 8u Definindo s vriáveis de estdo = y = y = y = obtém-se s equções de estdo = = u y =

24 Eemplo 2 (continução): Escrevendo n form mtricil temos A B = u y = 1 C D = Observe que mtriz A está n form compnheir

25 Eemplo 21: Vmos gor fzer um simulção nlógic deste sistem utilizndo equção de estdo obtid no eemplo nterior = = = u y = = = y u 3 3 = 2-2

26 Eemplo 21 (continução): Agor, colocndo um ci que brnge simulção nlógic feit = u 3 3 = 2 1 = y -2 observ-se que nest ci entr pens entrd u (input do sistem) e si pens síd y (output do sistem). O que fic dentro d ci é representção intern do sistem, trvés ds vriáveis de estdo 1, 2 e 3

27 Eemplo 22: Vmos considerr o mesmo sistem dos eemplos nteriores. Entretnto qui vmos reescrever função de trnsferênci G(s) d seguinte form: G s = 5 s 4 s s + 1 = Y(s U(s Definindo s vriáveis de estdo d seguinte form X (s U(s X (s U(s X s U s

28 Eemplo 22 (continução): X (s = 5 U(s s X (s = 2 U(s s(s + 2 X s = G s. U S = Y s = 8 U(s s s + 2 (s + 1 sx (s = 5U(s) (s + 2 X (s = 4. " #($ $ = 4. X (s) (s + 1 X (s = 4. % #($ $($& = 4. X (s)

29 Eemplo 22 (continução): = 5u = 4 2 = 4 1 y = que nos dá um segund formulção em equções de estdo deste sistem, diferente d formulção do eemplo nterior.

30 Eemplo 22 (continução): Escrevendo n form mtricil temos = A y = 1 + B 5 C D =

31 Eemplo 23: Vmos gor fzer um simulção nlógic deste sistem utilizndo est equção de estdo obtid no eemplo nterior -2 u 5 = y

32 Eemplo 23 (continução): Novmente, colocndo um ci brngendo simulção nlógic feit -2 u 5 = y então observ-se que nest ci entr pens entrd u (input do sistem) e si pens síd y (output do sistem). O que fic dentro d ci é representção intern do sistem, trvés ds vriáveis de estdo 1, 2 e 3

33 Eemplo 24: Vmos considerr novmente o mesmo sistem dos 2 eemplos nteriores. Entretnto qui vmos reescrever função de trnsferênci G(s) d seguinte form: Epndindo em frções prciis e definindo s vriáveis de estdo X (s, X (s e X (s d form indicd bio, G s = 4 s + 5 s s + 1 = Y(s U(s X (s U(s X (s U(s X (s U(s

34 Eemplo 24 (continução): temos então que X s = 4U s s X s = 5U s s + 2 X s = U s s + 1 Y s = X (s U(s + X (s U(s + X (s U(s sx s = 4U(s sx s = 2X s 5U(s sx s = 1X s + U(s Y s = X s + X s + X s U(s

35 Eemplo 24 (continução): = 4u = 2 5u = 1 + u y = + + Portnto obtemos um terceir representção em equções de estdo pr o mesmo sistem, diferente ds nteriores. A B Escrevendo n form mtricil = u y = C D =

36 Eemplo 24 (continução): A B = u y = C D = Note que nest representção mtriz A está n form digonl e os polos do sistem (s =, s = 2 e s = 1) são os elementos d digonl principl. Obvimente que isso ocorre pois: se mtriz A é digonl, então os elementos d su digonl principl são os próprios utovlores do sistem.

37 Eemplo 25: Vmos gor fzer um simulção nlógic deste sistem utilizndo equção de estdo obtid no eemplo nterior. = 4u = 2 5u = 1 + u y = u y + -1

38 Eemplo 25 (continução): Mis um vez, colocndo um ci brngendo simulção nlógic feit 4-2 u y + Observ-se que nest ci entr pens entrd u -1 (input do sistem) e si pens síd y (output do sistem). O que fic dentro d ci é representção intern do sistem, trvés ds vriáveis de estdo 1, 2 e 3.

39 Nos eemplos nteriores obtivemos 3 representções diferentes pr o mesmo sistem em equções de estdo

40 ssim como obtivemos 3 simulções nlógics diferentes pr o mesmo sistem

41 Conforme já vimos n seções Representções Equivlentes, representção de um sistem em equções de estdo não é únic! Se vriável de estdo é (t), então pr cd mtriz P inversível, obtém-se um nov vriável de estdo (t) = P (t) e dest form, um nov representção do sistem em equção de estdos = A + B u y = C + D u

42 Obrigdo! Felippe de Souz