Aula 08 Equações de Estado (parte I)

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1 Aula 8 Equaçõe de Etado (parte I)

2 Equaçõe de Etado input S output Já vimo no capítulo 4 ( Repreentação de Sitema ) uma forma de repreentar itema lineare e invariante no tempo (SLIT) atravé de uma função de tranferência que relaciona diretamente a entrada (input) com a aída (output) Aqui veremo uma outra forma de repreentar itema com o uo de variávei interna ao itema (variávei de etado). Com a variávei de etado e contrói um itema de equaçõe diferenciai de ª ordem que ão chamada de equaçõe de etado

3 Equaçõe de Etado A repreentação de um itema em equaçõe de etado conidera variávei interna (variávei de etado) n variávei de etado chamada de o etado. Normalmente o vetor etado terá n componente, endo n a ordem do itema (A dimenão do vetor etado poderá eventualmente er maior que ordem do itema, ma nete cao haverá equaçõe redundante).

4 Equaçõe de Etado Para itema lineare e invariante no tempo (SLIT) de ordem n, a equaçõe de etado têm a forma: A B u y C D u onde: A é uma matriz n n B é uma matriz n p C é uma matriz q n D é uma matriz q p endo: p número de entrada q número de aída vetor derivada de

5 Equaçõe de Etado vetor derivada de (t) (t) (t) n- (t) n (t) (t) (t) (t) n- (t) n (t)

6 Equaçõe de Etado No cao de itema com apena uma entrada u(t), i.e., p, temo que: No cao de itema com apena uma aída y(t), i.e., q, temo que: B b b b n C [ c c c n ] C é um vetor linha. No cao de itema com apena uma entrada u(t) e uma aída y(t), ou eja, nete cao B é um vetor coluna. D [ d ] D é uma contante d (ou eja, D é uma matriz ).

7 Equaçõe de Etado Eemplo : Sitema carro-maa-mola A equação diferencial ordinária (EDO) que decreve ete itema, conforme já vito no capítulo ( Modelização de Sitema ) é dada por: m y µ y ky u

8 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): Definirmo a variável de etado onde: (t) y(t) poição do carro no intante t (t) y (t) velocidade do carro no intante t (t) (t) (t) repreenta o etado interno do itema.

9 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): Por eemplo, e () o então io ignifica que no intante t o etado do itema é: o carro paa pela origem com velocidade m/, (ou eja, () ) (ou eja, m/ para trá, () ).

10 µ y u m m m k & & e como y e y então: Logo µ u m y m y m k y y & & Eemplo (continuação): Equaçõe de Etado

11 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): portanto: A B & y k / m [ ] µ / m / m u C que é a repreentação dete itema em equaçõe de etado. D Note que nete cao D.

12 Equaçõe de Etado Eemplo : Sitema carro-maa-mola do eemplo anterior com m µ 4 k

13 então: [ ] y u 4 & A B C D e portanto: 4 D [ ] [ ] A B C Eemplo (continuação): Equaçõe de Etado

14 Equaçõe de Etado Eemplo : Conidere o itema decrito por: y 4 y 5 y u cuja função de tranferência é dada por: Y() U() ( 4 5) 4 5

15 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): Definindo-e a variávei de etado como: () () () () () () () () 4 () () Y() Y() Y() () U() () U()

16 U() () 5 () 4 () () () () () () () logo: () Y() U() () 4 () 5 () () () () () Eemplo (continuação): Equaçõe de Etado

17 () Y() U() () 4 () 5 () () () () () [ ] y u 4 5 & A B C D Eemplo (continuação): Equaçõe de Etado

18 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): e portanto: 5 4 A B [ ] C D [ ] Eta matriz A é dita etar na forma companheira ito porque: o elemento acima da diagonal principal ão ; a última linha contém o coeficiente da equação caracterítica na ordem invera e com inai trocado; o demai elemento da matriz ão todo.

19 Oberve que a matrize A do eemplo anteriore também etão na forma companheira. o o n o n o n o n a a a a a a a a a a L L M M M M M M L L L A No cao geral, uma matriz A na forma companheira tem o eguinte apeto: onde a o, a,, a n- e a n ão o coeficiente da equação caracterítica p(): Equaçõe de Etado p() a o n a n- a n- a n- a n

20 n n n n a a a a a L L M M M M M M L L L A No cao particular, ma batante comum, de a o, a matriz A na forma companheira tem o eguinte apeto: onde a,, a n- e a n ão o coeficiente da equação caracterítica p(): Equaçõe de Etado p() n a n- a n- a n- a n

21 Equaçõe de Etado Se p q (i.e., entrada e aída) e m grau do numerador da função de tranferência é menor que o grau do polinómio caracterítico (i.e., m < n), então dizemo que o itema etá na forma companheira quando além da matriz A etar na forma companheira temo a matrize B, C e D na forma: B C [ β n β n- β ] D [ ] onde β,, β n- eβ n, ão o coeficiente do numerador da função de tranferência, q(): q() β n- β n- β n- β n

22 Equaçõe de Etado Já no cao de p q (i.e., entrada e aída) e m grau do numerador da função de tranferência é igual que o grau do polinómio caracterítico (i.e., m n), então do numerador da função de tranferência, q() é dado por: q() β o n β n- β n- β n- β n e dizemo que o itema etá na forma companheira quando além da matriz A etar na forma companheira temo a matrize B, C e D na forma: C [ c n c n- c ] D [ d ] onde d B β o /a o e c,, c n- e c n, ão o coeficiente do polinómio, r(), o reto da divião q()/p() r() c n- c n- c n- c n

23 Equaçõe de Etado Eemplo 4: Se a equação diferencial ordinária (EDO) também tivee derivada de u, a ecolha acima não eria apropriada. Conidere o itema decrito por: y y y u u Aqui a função de tranferência do itema é: Y() U()

24 Equaçõe de Etado Eemplo 4 (continuação): Define-e nete cao a eguinte variávei de etado: () () U() U() () () () () () U() () ()

25 () () Y() U() () () () () () [ ] y u & logo: A B C D Eemplo 4 (continuação): Equaçõe de Etado

26 Equaçõe de Etado Eemplo 4 (continuação): e portanto: A B C [ ] D [ ] Oberve que a matriz A dete eemplo etá na forma companheira novamente, poi a equação caracterítica do itema é: p()

27 Equaçõe de Etado Eemplo 5: Conidere o itema cuja função de tranferência é dada por: Y() U() 7 4 Nete cao o itema é de egunda ordem, logo tem polo Ma como o numerador da função de tranferência tem o memo grau que o denominador, o itema também tem zero

28 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): Primeiramente, dividindo-e o numerador pelo denominador: Obtemo o quociente e o reto ( 7). Logo, Y() U()

29 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): ou eja, ( 7) U() Y() 4 U() Agora definindo a variávei de etado () () U() 4 U() 4

30 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): temo que: () () 4 U() 4 () () () U() () () logo: () () () () 4 () U()

31 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): e oberve que a aída y(t): ( 7) U() Y() 4 U() pode er reecrita como: U() U() Y() U() () () Y() 7 () () U()

32 logo: e aim temo: U() () () 7 Y() U() () 4 () () () () u 7 y u 4 & & Eemplo 5 (continuação): Equaçõe de Etado

33 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): então: e portanto: & y 4 [ 7 ] C A A B 4 D u B u C [ 7 ] D [ ] Oberve que a matriz A aqui nete eemplo também etá na forma companheira

34 Equaçõe de Etado a equação caracterítica e o polo do itema

35 Equaçõe de Etado A equação caracterítica e o polo do itema Um itema decrito na forma de equação de etado A B u y C D u tem o eu polinómio caracterítico dado por: p() det {[ I A ]}

36 Equaçõe de Etado O polo do itema ão o autovalore (ou valore próprio ) de A, podendo er repetido, i.e., duplo, triplo, etc. Como é abido, o autovalore de A ão a raíze do polinómio caracterítico p() det [ I A ]

37 Equaçõe de Etado Eemplo 6: Para o itema do eemplo a matriz A é dada por: A k m logo, o polinómio caracterítico p() det [ I A ] µ m p() det(i A) det (k / m) ( µ / m) e portanto: p() µ m k m

38 Equaçõe de Etado Eemplo 7: Para o itema do eemplo a matriz A é dada por: A 4 logo, o polinómio caracterítico p() det [ I A ] e portanto: p() det(i A) det p() 4 e o polo do itema ão a raíze de p(): ( e 4)

39 Equaçõe de Etado Eemplo 8: Para o itema do eemplo a matriz A é dada por: A 5 4 logo, o polinómio caracterítico p() det [ I A ] p() det(i A) det 5 ( 4)

40 Equaçõe de Etado Eemplo 8 (continuação): e portanto: p() 4 5 e o polo do itema ão a raíze de p():, j e j

41 Equaçõe de Etado Eemplo 9: Para o itema do eemplo 4 a matriz A é dada por: A logo, o polinómio caracterítico p() det [ I A ] e portanto: p() det(i A) det p() e o polo do itema ão a raíze de p(): j e j ( )

42 Equaçõe de Etado Eemplo : Para o itema do eemplo 5 a matriz A é dada por: A 4 logo, o polinómio caracterítico p() det [ I A ] e portanto: p() det(i A) det p() 4 e o polo do itema ão a raíze de p():,45 e 4,45 ( 4)

43 Equaçõe de Etado repreentaçõe equivalente

44 Equaçõe de Etado Repreentaçõe Equivalente Conidere um itema decrito na forma de equação de etado Logo, como: temo que: A B u y C D u cuja variável de etado é (t). Definindo-e agora uma nova variável de etado como: P P P - P - endo P inverível.

45 Equaçõe de Etado e ubtituindo na equação de etado obtém-e: A B P y & C P A P D u B u & y P A P C P C D u D P B u & y A C B u D u

46 Equaçõe de Etado ou eja: onde: A B u y C D u A P A P - B P B C C P - D D é uma outra repreentação do memo itema em equaçõe de etado Note que a entrada u e a aída y não e alteraram. Somente a repreentação interna do itema (a variávei de etado)

47 Equaçõe de Etado Eemplo : Conidere um itema de ª ordem do eemplo 4, cuja equaçõe de etado ão: & y [ ] a variável de etado original é: (t) (t) (t) u Ecolhendo-e P

48 Eemplo (continuação): teremo que ou eja, a nova variável de etado é a antiga variável de etado com a ordem da componente trocada (t) P (t) (t) PAP A [ ] [ ] CP C D D PB B Equaçõe de Etado

49 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): & y Oberve que a matriz P dete eemplo é igual a própria invera: P P A [ ] C Note também que: B P P P P P P P ma P P - I, logo, P I Eta matrize ão chamada de idempotente u

50 Equaçõe de Etado Eemplo : Conidere agora o itema de ª ordem do eemplo acima: & y A 5 4 [ ] C Para que a nova variável de etado er igual à antiga apena trocando a terceira componente pelo dobro:, a ecolha de P deve er: B u P D

51 Eemplo (continuação): e deta forma temo que (t) P (t) (t) (t) (t),5 4 5 PAP A [ ] [ ],5 CP C D D 6 PB B 4,5 A Equaçõe de Etado

52 Eemplo (continuação): logo, a equaçõe de etado abaio ão uma repreentação diferente do memo itema [ ] y u 6 4,5 & A B C D Equaçõe de Etado

53 Equaçõe de Etado converão de equação de etado para função de tranferência

54 Equaçõe de Etado Converão de Equação de Etado para Função de Tranferência Para e converter a repreentação de um itema de equaçõe de etado A B u y C D u para função de tranferência, a fórmula é dada por, Y() U() C (I A) B D

55 Equaçõe de Etado Eemplo : Conidere o itema de egunda ordem do eemplo 4 dado pela ua equação de etado A B & y [ ] u D C Para calcular a função de tranferência, primeiramente achamo a matriz ( I A)

56 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): e a ua invera ( I A) e portanto, como D nete cao, F.T. C(I A) B C (I A) B

57 Equaçõe de Etado Eemplo (continuação): logo, a função de tranferência do itema é dada por: Y() U() que etá de acordo com o eemplo 4. Oberve, para e obter apena a equação caracterítica bataria calcular: p() det [ I A ] conforme já vimo no eemplo 9

58 Equaçõe de Etado Eemplo 4: Conidere o itema de egunda ordem do eemplo 5 dado pela ua equação de etado & y A 4 [ 7 ] C Para calcular a função de tranferência, primeiramente achamo a matriz ( I A) B [] D u u

59 Eemplo 4 (continuação): e a ua invera ( I A) e portanto, a função de tranferência C B (I A) A) (I [ ] R() Y() D Equaçõe de Etado

60 Equaçõe de Etado Eemplo 4 (continuação): logo, a função de tranferência do itema é dada por: Y() U() 7 4 que etá de acordo com o eemplo 5. Oberve, para e obter apena a equação caracterítica bataria calcular: conforme já vimo no eemplo. p() det [ I A ] 4

61 Eemplo 5: Conidere o itema de terceira ordem do eemplo dado pela ua equação de etado [ ] y u 4 5 & A B D C Para calcular a função de tranferência, primeiramente achamo a matriz (I A) 4 5 A) (I Equaçõe de Etado

62 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): e a ua invera (I A) (I A )

63 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): e portanto, a função de tranferência F.T. C ( I A) B Y () R() [ ] ( I A) C (I A) B logo, a função de tranferência do itema é dada por: Y() R() 4 5 que etá de acordo com o eemplo.

64 Equaçõe de Etado Eemplo 5 (continuação): Oberve, para e obter apena a equação caracterítica bataria calcular: p() det [ I A ] 4 5 ( 4 5) conforme já vimo no eemplo 8.

65 Equaçõe de Etado continua ( na próima aula ) parte II

66 Departamento de Engenharia Eletromecânica Obrigado! Thank you! Felippe de Souza