3 Equações de movimentos

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1 3 Equaçõe de movimento A formulação da equaçõe governante e da condiçõe de contorno, memo que para um cao geral, é uualmente muito direta. ontudo, a olução analítica do problema, em muito cao é impoível ou muito difícil de e obter (Humar, ). 3.. Axiai Em vibraçõe axiai em uma etaca, a etaca pode er vita como uma barra embutida em uma bae elática. A Figura 3(a) motra uma barra que poui uma eção tranveral A( x ) e maa por unidade de comprimento m( x ) engatada em uma extremidade e livre em outra. A barra etá ujeita a uma força p( x, t ) paralela ao eixo longitudinal. O delocamento longitudinal de um ponto a uma ditância x do engatamento é denotado por u( x, t ). A força atuando em um elemento infiniteimal de comprimento ão motrada na Figura 3(b). Ela inclui a força axiai atuando em dua eçõe, a força de inércia, e a carga aplicada. Figura 3 - (a) Vibraçõe axiai em uma barra; (b) força atuando no elemento Para o equilíbrio do elemento na direção horizontal, pelo princípio d Alembert, tem-e:

2 P m + p = Ou: P m + = p A força axial P e o delocamento u ão relacionado como egue: u P = EA x Subtituindo a equação (3-3) na equação (3-) obtém-e: (3-) (3-) (3-3) u EA m + p = (3-) A equação (3-) governa o movimento axial da barra. A olução da equação (3-) deve, em adição, atifazer a condiçõe de contorno geométrica na dua extremidade da barra. No cao de uma barra em bae elática, conforme a Figura, aume-e que a etaca provê reitência de ponta e reitência ao atrito lateral (howdhury, 9). x Figura - Etaca embutida em olo em um comprimento L

3 5 oniderando que K repreenta a rigidez de fricção do olo ao redor da f etaca e que na ponta da etaca há uma rigidez tomada como p = a equação (3-) pode er reecrita como: K b. oniderando u EA m + K u = f (3-5) du Na Figura a etaca tem a cabeça livre de modo que ( x =, EA = ). Na du ponta da etaca a condição de contorno é ( x = L, EA = Kbu( x) x= L). A natureza da contante K é dicutida no item 5. f A equação (3-5) não apreenta o efeito do amortecimento do olo. ao ete eja coniderado a equação governante deve er ecrita como: EA m K u c + + = u u u f (3-6) 3... Frequência de vibraçõe longitudinai em barra A equação de vibraçõe axiai livre de uma barra é obtida pela ubtituição de p = na equação (3-): u u EA m = Para o cao epecial de uma barra uniforme, a equação (3-) e reduz a: (3-7) EA m = Aumindo-e que u é da forma: u = f ( x) g( t) Subtituindo a equação (3-9) na equação (3-8), obtém-e: (3-8) (3-9) EA d f x d g t = m f ( x) g( t) dt (3-) Dede que a expreão do lado equerdo da equação (3-) eja uma função apena de x, enquanto que o lado direito eja apena função de t, ela podem er

4 igualado a uma contante. Ecolhendo eta contante de eparação como igual ω. A equação (3-) pode então er ecrita como: d g t dt + ω g( t) = (3-) EA d f x m ω f ( x) = 6 (3-) A equação (3-) repreenta uma equação de autovalor para a vibração axial de uma barra, eta equação pode er ecrita como: d f ( x) + β f x = (3-3) Onde β = ω m. EA A equação (3-3) poui uma olução da forma: f ( x) = co β x + in β x (3-) Onde e ão contante arbitrária para erem determinada da condiçõe de contorno e condiçõe iniciai. A condiçõe de contorno para uma barra com uma extremidade fixa e outra livre, uma etaca de ponta, ão dada por: f ( x ) = x = df ( x) = x = L expreõe: = (3-5) Subtituindo a condiçõe (3-5) na equação (3-) obtêm-e a eguinte (3-6) co β L = (3-7) A equação (3-7) é uma equação de frequência que levará a um número infinito de valore β e então para a frequência ω. A condiçõe de contorno para uma barra com amba a extremidade livre ão dada por: df ( x) = em x = e x = L expreõe: (3-8) Subtituindo a condiçõe (3-8) na equação (3-) obtêm-e a eguinte

5 7 = enβ L = (3-9) (3-) A equação (3-) é uma equação de frequência que levará a um número infinito de valore β e então para a frequência ω. No cao de barra em bae elática a equação (3-7) pode er reecrita como: u EA m K = f u (3-) Reolver a equação (3-) para vibraçõe torna-e um problema mai complexo, epecialmente quando a condiçõe de contorno e tornam complicada no cao de etaca parcialmente embutida, e na condiçõe em a propriedade do olo ão variávei. howdhury (9) apreenta a olução da equação (3-) para alguma condiçõe de contorno epecífica. 3.. Tranverai Em vibraçõe tranverai em uma etaca, a etaca pode er modelada como uma viga embutida em uma bae elática. A Figura 5 motra uma viga com rigidez à flexão EI ( x ) e maa m( x ) por unidade de comprimento, amba funçõe da coordenada epacial x coaxial com a etaca. Para objetivo de ilutração, a viga etá implemente apoiada, ma outra condiçõe de uporte ão igualmente admiívei. A viga é ubmetida a uma vibração tranveral no plano do papel ob a ação de uma força ditribuída p( x, t ). O delocamento tranveral em qualquer ponto ao logo da viga é aqui também repreentado por u( x, t ), que é uma função da coordenada epacial x e do tempo t.

6 8 Figura 5 - Vibraçõe tranverai de uma viga: (a) elevação da viga; (b) elemento infiniteimal e ua poição em delocamento; (c) força atuando em um pequeno elemento Um elemento infiniteimal da viga de comprimento é motrado na Figura 5(b) numa poição deformada e a força atuando no elemento ão identificada na Figura 5(c). omo indicado, ea força conitem em uma força externa p na direção poitiva de u, que é para cima; a força de inércia m( ) momento M + ( M ) na direção para baixo; a força de cialhamento V + ( V ) e o na face da mão direita. É negligenciado o momento de inércia cauado pela aceleração angular do elemento infiniteimal. O elemento infiniteimal etá em equilíbrio à ação da força e momento identificado na Figura 5(c). Para o equilíbrio do elemento na direção vertical, tem-e: V m + p = Ou: (3-) Igualando-e a oma do momento, obre à mão equerda, a zero, obtém- V e: m + = p (3-3) V + + p m + M + M = V u M Negligenciando a quantidade de alta ordem, a equação (3-) e torna: (3-)

7 9 M V + = (3-5) Se a rotação de flexão é denotada por θ, então negligenciando a deformaçõe de cialhamento, tem-e: u θ = (3-6) x Também, da teoria elementar da viga: θ M = EI (3-7) M = EI Subtituindo a equação (3-7) na equação (3-5) obtém-e: V = EI Subtituindo a equação (3-8) na equação (3-3), obtém-e: (3-8) EI m p + = (3-9) A equação (3-9) é a equação que governa a vibração tranveral em uma viga. Para obter uma olução particular para eta equação, devem-e epecificar quatro condiçõe de contorno e dua condiçõe iniciai Vibraçõe amortecida amortecida. Na eção 3. foi apreentada a vibração tranveral de uma viga livre não Doi tipo de reitência de amortecimento podem er identificado: o amortecimento cauado por força externa opota à vibraçõe e o amortecimento da reitência interna de deformação do material. Amba a força de reitência ão diipativa na natureza e cauam perda de energia no itema. A energia perdida é convertida em outra forma, tai como calor e om. O amortecimento externo pode er repreentado por um mecanimo de amortecimento vicoo ditribuído ou amortecedore com uma contante de amortecimento c( x ) por unidade de comprimento, como motra a Figura 6(a). A

8 força de amortecimento reultante atuando em um elemento infiniteimal é identificada na Figura 6(b). Quando ea força é incluída no balanço da força vertical, a equação (3-3) é modificada para: 3 V u u m c + p = (3-3) Figura 6 - (a) Vibraçõe tranverai em uma viga, incluindo efeito de amortecimento; (b) força atuando em um elemento, incluindo amortecimento externo; (c) força de amortecimento interno e momento reultante A reitência à deformação interna irá depender da taxa de deformação ε. Definindo-e um coeficiente de amortecimento c t que converte a taxa de deformação em tenão σ, então: σ = c ε (3-3) A ditribuição dea tenão atravé da eção é motrada na Figura 6(c). De acordo com a teoria elementar de viga, a deformação varia linearmente com a ditância da linha neutra, a taxa de deformação e então a tenão de amortecimento também ão linearmente ditribuída na altura da viga. A reultante da tenõe atuando na eção pode er repreentada em termo de um momento derivado de uma maneira imilar ao momento fletor. M = A σ yda M = c y yda ( κ ) (b) A (a) M, que é (3-3)

9 3 M = c y da A (c) M = ci (d) Onde ε = yκ, onde κ é a curvatura dada por κ = x reitência do materiai. Na determinação do inal da tenão σ e do momento, uma hipótee da M, deve-e reconhecer que, como uma tenão de flexão, a tenõe de amortecimento motrada ão exercida no elemento de viga pela eçõe adjacente da viga. O momento cauado pela reitência de amortecimento ão motrado na Figura 6(c). Quando inerido na equação do balanço do momento (3-) e (3-5), obtém-e: M M V + + = Subtituindo M da equação (3-7) e (3-33) e diferenciando em relação a x, obtém-e: (3-33) M da equação (3-3) na equação V + + = 3 EI c I (3-3) Subtituindo V da equação (3-3) na equação (3-3) obtém-e a eguinte equação de movimento: 3 u EI c + I m c p + + = (3-35) 3... Efeito de uma força axial Na eçõe anteriore, coniderou-e apena o cao de vibração axial, em a preença de vibraçõe de flexão. Em geral, combinaçõe de vibraçõe de flexão e axiai podem exitir. A equaçõe governante para o movimento em tai cao ão acoplada e a olução é batante complexa. A preença de uma carga axial irá influenciar na vibração tranveral de uma viga. Nee cao é razoável ignorar a preença de vibraçõe axiai, dede que

10 a rigidez axial eja grande e comparada à rigidez de flexão, de modo que a deformaçõe axiai ão comparativamente pequena. A eguir erá derivada a equação de movimento para vibraçõe tranverai de uma viga na preença de uma carga axial, ma aumindo que a deformaçõe axiai ão negligenciávei. Para efeito de implificação, o efeito da deformaçõe de cialhamento e a inércia rotacional erão negligenciado. A Figura 7 motra um elemento infiniteimal de uma viga ob vibração tranveral com a força atuante nele. Quando comparado ao cao elementar de vibraçõe de flexão, a única nova força ão a força axial S( x ) no lado equerdo e a força S + S( x) no lado direito da eção, ambo aumido poitivo quando ele produzem uma compreão na eção. O balanço da força verticai é ainda repreentado pela equação (3-3). ontudo, ecrevendo a equação de equilíbrio do momento, deve-e notar o momento adicional antihorário contribuído pela força axiai. Também notando que a linha de ação da força axial no lado direito da eção é delocada uma ditância ( u ) x relação à eção do lado equerdo, a equação do balanço do momento e torna: M u V + + S( x) = 3 em (3-36) Figura 7 - Força atuando em um pequeno elemento de uma viga ubmetido a vibraçõe tranverai ob a preença de uma força axial Subtituindo a equação (3-7) na equação (3-36) obtém-e: u V = EI S( x) (3-37)

11 33 Oberva-e que a força vertical V agora tem dua componente: um cialhamento da viga EI e uma componente que e deperta da preença da força axial. Subtituindo a equação (3-37) na equação (3-3), obtéme: 3 EI c u + I S x m c p = (3-38) Frequência de vibraçõe tranverai Negligenciando deformaçõe de cialhamento e inércia rotacional, a equação de vibração tranveral não amortecida de uma viga é obtida da equação (3-9) tomando p =. EI m + = (3-39) A equação (3-39) é uma equação diferencial parcial homogênea de quarta ordem. Uma olução da equação (3-39) pode er dada pela forma u = f ( x) g( t) (3-) Onde f ( x ) é uma função de x omente e g( t ) é uma função apena de t. Subtituindo a equação (3-) na equação (3-39) obtém-e: d d f ( x) d g( t) g( t) EI mf ( x) + = dt Ou (3-) EI = mf ( x) g( t) dt d d f ( x) d g( t) (3-) O termo do lado equerdo da equação (3-), incluindo m e EI, ão todo funçõe de x omente, enquanto o termo do lado direito ão funçõe de t omente. A igualdade pode então er mantida, dede que cada um do doi lado da equação eja igual a uma contante, normalmente referida como contante de eparação. Fazendo eta contante er igual a ω. A equação (3-) conduz a dua equaçõe eparada, como egue:

12 3 dt d g t d + ω g t = (3-3) d f ( x) EI = ω mf ( x) (3-) A equação (3-) define um problema de autovalore para vibraçõe laterai de uma viga, eta equação pode er reecrita como: EI = ω mf ( x) d f x (3-5) hamando ω m = β, pode-e ecrever a equação (3-5) de uma maneira EI alternativa: d f x f ( x) β = Para a equação (3-6), uma olução pode er repreentada por: f ( x) = Ae αx (3-6) (3-7) Onde A é uma contante arbitrária. Subtituindo f ( x ) e ua derivada de quarta ordem na equação (3-6) obtéme a eguinte equação caracterítica: α β = (3-8) Ou: ( α β )( α β ) + = (3-9) A olução da equação (3-9) é dada por α = ± β e α = ± iβ, e a olução geral da equação (3-6) é dada por: f ( x) = D e + D e + D e + D e β x β x iβ x iβ x 3 (3-5) f ( x) = coh βx + enhβ x + co βx + enβ x Onde 3 D i e condiçõe de contorno e iniciai. i ão contante arbitrária para erem determinada pela Para uma viga implemente apoiada, a condiçõe de contorno ão: f ( x ) = em x = e x = L EI d f x = em x = e x = L (3-5)

13 35 Subtituindo a condiçõe de (3-5) na equação (3-5) obtêm-e quatro equaçõe: + 3 = 3 = coh βl + enhβ L + co βl + enβl = 3 coh βl + enhβ L co βl enβ L = 3 (3-5) A equaçõe em (3-6) podem er reecrita como: = 3 = (3-53) enhβ L + enβ L = enhβ L enβ L = A equaçõe em (3-53) por ua vez fornecem a eguinte relaçõe: enh β L = (3-5) enβ L = (3-55) Dede que enhβ L não poa er nulo, deve er zero. A equação (3-55) pode er atifeita elecionando =. Ito irá, contudo, levar a olução trivial f ( x ) =, implicando uma condição etática. Uma olução não trivial é poível omente e enβ L = (3-56) A equação (3-56) é uma equação de frequência que levará a um número infinito de valore β e então para a frequência ω. Nete cao: βl = nπ (a) EI ωn = β (b) n m (3-57) Para uma viga engatada no eu lado equerdo e livre no eu lado direito. A condiçõe de contorno ão nete cao: f ( x ) = em x = df ( x) = em x = (3-58)

14 36 EI = em x = L d f x (3-59) EI = em x = L 3 3 d f x Subtituindo a condiçõe (3-58) e (3-3) na equação (3-5) obtêm-e quatro equaçõe: + 3 = + = coh βl + enhβ L co βl enβ L = 3 en h β L + coh β L enβ L co β L = 3 (3-6) A equaçõe em (3-6) podem er repreentada na forma matricial como: = coh β L enhβ L co β L enβ L 3 enhβ L coh β L enβ L co β L (3-6) A equaçõe homogênea em (3-6) podem apreentar valore não nulo para o coeficiente deconhecido lado equerdo é zero. Ito leva à eguinte condição: i omente e o determinante da matriz do + coh βlco βl = (3-6) A equação (3-6) é uma equação de frequência em que a olução pode er obtida por método numérico. Io levará a um número infinito de valore β e então para a frequência ω. d f x Para uma viga em uporte algum a condiçõe de contorno nete cao ão = em x = e x = L = em x = e x = L 3 3 d f x (3-63) A quatro equaçõe de coeficiente deconhecido à, obtida pela aplicação da condiçõe (3-63) na equação (3-5) podem er repreentada como:

15 37 = coh β L enhβ L co β L enβ L 3 enhβ L coh β L enβ L co β L (3-6) Tornando o determinante da matriz do lado equerdo da equação (3-6) nulo, obtém-e a eguinte equação de frequência: coh βlco βl = (3-65) A equação (3-65) também é uma equação de frequência em que a olução pode er obtida por método numérico. Io levará a um número infinito de valore β e então para a frequência ω. Na análie de vibraçõe em etaca, o amortecimento do material da etaca é bem menor do que o amortecimento cauado pelo olo que circunda a etaca. O amortecimento do olo faz parte do itema de vibração, contudo é obervado que para vibraçõe tranlacionai ete não é muito ignificativo, nete cao o amortecimento pode er deconiderado em maiore efeito (howdhury, 9). No cao de uma viga em bae elática, ou uma etaca embutida em um meio homogêneo e elático, deconiderando-e efeito de amortecimento e coniderando carregamento nulo p =, a equação (3-35) pode er reecrita como: EI m k + = u (3-66) A natureza da contante k erá é dicutida no item 5. Reolver a equação (3-66) para vibraçõe torna-e um problema mai complexo, epecialmente quando a condiçõe de contorno e tornam complicada no cao de etaca parcialmente embutida, e na condiçõe em a propriedade do olo ão variávei. Hetenyi (979) apreenta oluçõe da equação (3-66) na condição etática para viga em bae elática em divera condiçõe de apoio.