Considere as seguintes expressões que foram mostradas anteriormente:

Transcrição

1 Demontração de que a linha neutra paa pelo centro de gravidade Foi mencionado anteriormente que, no cao da flexão imple (em eforço normal), a linha neutra (linha com valore nulo de tenõe normai σ x ) paa pelo centro de gravidade da eção tranveral. gora io vai er demontrado. Para tanto, bata coniderar a expreão para ditribuição da tenõe normai e a condição para flexão imple (eforço normal nulo): y σ x = E e N = σ xd = 0. Combinando ea dua expreõe chega-e a: = = = σ y E 0 x d E d yd yd = 0 equação yd = 0 ó é atifeita e a origem do eixo y etiver no centro de gravidade da eção tranveral. to quer dizer que, para flexão imple, a linha neutra paa pelo centro de gravidade da eção, enquanto a tenõe normai permanecerem em regime elático. Relação entre o momento fletor e a curvatura da viga Pode-e obter uma relação entre a curvatura 1 / do eixo da viga (que etá aociada à ua concavidade) e o momento fletor em uma eção tranveral. Conidere a eguinte expreõe que foram motrada anteriormente: x σ d Relação entre momento fletor e tenão normal: = ( y ) Relação entre tenão normal e curvatura: σ x y = E Se a egunda expreão for introduzida na primeira, reulta em: = ( y) y E d Neta integral, o parâmetro E (módulo de elaticidade) e 1 / (curvatura) não variam para uma dada eção tranveral. Portanto, ete parâmetro podem entrar multiplicando a integral externamente: E = y d Oberve que o doi inai negativo de y e cancelaram. integral que aparece na expreão acima é uma propriedade geométrica aociada à eção tranveral que é denominada momento de inércia: = y d ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 39

2 Finalmente, chega-e a uma relação entre o momento fletor e a curvatura: 1 = E análie deta relação reulta em importante concluõe obre o comportamento de viga ubmetida a carga tranverai. Conforme mencionado anteriormente, quando o momento fletor é poitivo ( > 0), a fibra uperiore da eção tranveral ão comprimida e a fibra inferiore ão tracionada. to etá aociado a uma deformação da viga com a concavidade para cima. Para momento fletore negativo ( < 0), o invero ocorre: a viga tem uma deformação com concavidade para baixo, a fibra uperiore da eção tranveral ão tracionada e a fibra inferiore ão comprimida. Pode-e concluir que na eçõe tranverai onde o momento fletor tiver um valor nulo ( = 0), a curvatura (concavidade) é nula. to é, para = 0, ( 1 / ) = 0. De fato, quando uma barra não tem momento fletor (e por coneguinte também não tem eforço cortante), ela e deforma em curvatura, ito é, mantendo-e reta. Ee é jutamente o cao de barra de treliça, que ó têm eforço normal. figura abaixo motra a configuração deformada e o digrama de momento fletore de uma viga contínua ubmetida a uma carga tranveral uniformemente ditribuída. q Configuração deformada (deenhada de forma exagerada): Ponto de inflexão (mudança de concavidade) Repare que no trecho onde o momento fletor é negativo a concavidade é para baixo e no trecho onde o momento fletor é poitivo a concavidade é para cima. No ponto onde o momento fletor e anula há uma mudança de concavidade. Ete ponto ão chamado de ponto de inflexão. ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 40

3 Relação entre tenão normal e momento fletor Utilizando a relação entre a tenão normal e a curvatura e a relação entre o momento fletor e a curvatura, chega-e a uma relação direta entre a tenão normal e o momento fletor: y σ x = E e 1 = E σ x = Com bae neta expreão pode-e determinar a tenão no bordo inferior e a tenão no bordo uperior de uma eção tranveral ubmetida a um momento fletor: i = e σ = Sendo y i e y a máxima ditância do bordo inferior e uperior à linha neutra, repectivamente. O inai dea expreõe etão conitente com a convenção de inai para momento fletore. to é, momento fletore poitivo etão aociado à tração (tenão normal poitiva) da fibra inferiore (y < 0) da viga e à compreão (tenão normal negativa) da fibra uperiore (y > 0): > 0 σ i > 0 σ < 0 para para y < 0 y > 0 E momento fletore negativo etão aociado à compreão da fibra inferiore e à tração da fibra uperiore. < 0 σ i < 0 σ > 0 para para y < 0 y > 0 Vê-e na expreõe motrada acima para e σ que a tenõe no bordo inferior e inferior ó dependem do valor momento fletor da relaçõe geométrica y i / e y /. Eta relaçõe ó dependem da geometria da eção tranveral e ão chamada de módulo de reitência à flexão da eção tranveral: i y W = (módulo de reitência inferior) i y W = (módulo de reitência uperior) ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 41

4 Dea forma, a tenõe no bordo inferior e uperior da eção tranveral ficam determinada pela expreõe: = e W i σ = W No cao geral, o valore dea tenõe ão diferente poi a ditância do centro do centro de gravidade da eção tranveral ao doi bordo é diferente, como na eçõe do tipo T motrada abaixo: No cao de eçõe tranverai imétrica em relação à linha neutra, ito é, na quai o centro de gravidade e itua na metade da altura da eção, tem-e que y i = y e, portanto, W i = W. o ocorre, por exemplo, em eçõe tranverai retangulare ou em perfi ou H: Para ea eçõe, a tenõe no bordo inferior e uperior ão iguai em módulo, ito é: W = W i = W. σ = σ i = W nfluência do momento de inércia da eção tranveral O momento de inércia da eção tranveral é uma propriedade geométrica que depende de ua orientação com repeito ao plano onde ocorre a flexão da barra. Tome, por exemplo, a eção retangular motrada abaixo. ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 4

5 De uma maneira geral, o momento de inércia para eta eção é do retângulo. b h 1 3 =, endo b a bae e h a altura O momento de inércia para a poição 1 (viga em pé) é maior do que o momento de inércia para a poição (viga deitada), poi no primeiro cao a altura h tem o maior valor. Portanto, a orientação da viga é importante para a ua reitência à flexão. Uma viga biapoiada com a eção em pé vai apreentar flexõe menore (menore curvatura) do que a mema viga com a eção deitada. orientaçõe da eçõe da primeira linha abaixo ão mai reitente do que a orientaçõe da egunda linha: ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 43

6 Exemplo de determinação de tenõe máxima para uma viga biapoiada Conidere uma viga biapoiada de madeira de metro de vão, com uma eção tranveral retangular de 10 x 30 cm, ujeita a uma carga uniformemente ditribuída de 30 kn/m. C l = m = 00 cm q = 30 kn/m B C = +ql /8 = 15 knm = 1500 kncm O momento fletor máximo na viga ocorre na eção central C e o valor é C = kncm (tracionando a fibra inferiore). tenõe normai máxima ocorrem na eção central, poi correpondem ao valor máximo do momento fletor. Como a eção é retangular, a tenão no bordo inferior (de tração) é igual em módulo à tenão no bordo uperior (de compreão). O valore da tenõe máxima dependem do poicionamento da eção tranveral. Dua ituaçõe erão etudada: viga em pé e viga deitada. Poição 1: viga em pé y i = y = 15 cm = C i = = + 1 kn/cm = + 10 Pa 500 σ = C = = 1 kn/cm = 10 Pa kn/cm 15 cm F c = F t = (1 kn/cm 15 cm 10 cm) / F c = 75 kn = 75 kn 15 cm 0 cm 15 cm F t = 75 kn = 1500 kncm 1 kn/cm É intereante obervar que a reultante F t da tenõe de tração e a reultante F c da tenõe de compreão ao longo da eção tranveral ão iguai em valor e têm entido contrário. to etá aociado ao fato do eforço normal er nulo na eção tranveral: N = σ xd = 0. Outro fato intereante é que o momento formado pela reultante F t e F c, com um braço de alavanca de 0 cm, é igual ao valor do momento fletor C na eção tranveral. ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 44

7 Poição : viga deitada y i = y = 5 cm = C i = = + 3 kn/cm = + 30 Pa 500 σ = C = = 3 kn/cm = 30 Pa kn/cm 5 cm F c = F t = (3 kn/cm 5 cm 30 cm) / F c = 5 kn = 5 kn 0/3 cm 0/3 cm 5 cm F t = 5 kn = 1500 kncm 3 kn/cm eguinte concluõe podem er obtida da comparação entre a análie da viga de madeira em pé e deitada: O poicionamento da viga deitada apreenta uma curvatura maior do que para o cao da viga em pé. O poicionamento da viga deitada apreenta tenõe normai maiore do que para o cao da viga em pé. reultante de tenõe de tração e de compreão ão maiore para a viga deitada. O momento reultante da tenõe de tração e de compreão é igual para a viga em pé e para viga deitada, e é igual ao momento fletor na eção tranveral. No cao da viga deitada, o braço de alavanca entre a reultante de tração e compreão é menor do que para a viga em pé. Ete é o motivo pelo qual na viga deitada e deenvolvem maiore tenõe normai, poi o momento reultante tem que er empre igual ao momento fletor na eção. ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 45

8 Exemplo de determinação de tenõe máxima para uma viga biapoiada com balanço e eção tranveral do tipo T Conidere a viga motrada abaixo. eção tranveral também etá indicada. O parâmetro que definem a dimenõe da eção tranveral ão: d = 50 cm (altura da eção) t w = 1 cm (largura da alma) b = 40 cm (largura da mea) t f = 10 cm (epeura da mea) O momento de inércia e a ditância do bordo ao centro de gravidade ão: = cm 4 y i = 31.4 cm y = 18.6 cm O diagrama de momento fletore da viga etá motrado abaixo, endo que o momento fletor máximo poitivo é C = knm = kncm e o momento fletor máximo negativo é B = 7 knm = 700 kncm: [knm] B C E F Tenõe normai na eção C: σ = C = = 0.50 kn/cm = 5.0 Pa Pa 18.6 cm C = 5475 kncm = C i = = kn/cm = Pa Pa 31.4 cm Tenõe normai na eção B: σ = B = = kn/cm = Pa Pa 18.6 cm B = 700 kncm = B i = = 1.11 kn/cm = 11.1 Pa Pa 31.4 cm Um poível critério de dimenionamento eria comparar a máxima tenão normal obtida (11.1 Pa) com o valor da tenão admiível do material utilizado. Se ultrapaae, eria neceário redimenionar a eção tranveral, provavelmente aumentando a ua altura, de forma a aumentar o momento de inércia da eção e o braço de alavanca entre a reultante de tração e de compreão na eção. ntrodução à nálie de Etrutura Luiz Fernando artha 46