Controle de Sistemas. Estabilidade. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas
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- Vagner Weber da Cunha
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1 Controle de Sitema Etabilidade Renato Dourado Maia Univeridade Etadual de Monte Claro Engenharia de Sitema
2 Etabilidade: Uma Idéia Intuitiva... Etável... Neutro... Intável... 2/5
3 Etabilidade Ma o que é um itema etável? 3/5
4 Etabilidade Um itema é etável e, para qualquer entrada limitada, a ua aída é também limitada. BIBO Bounded Input, Bounded Output Ponte obre o defiladeiro de Tacoma: Em 7 de novembro de 940, aproximadamente à hora, a ponte obre o defiladeiro de Tacoma começa a entrar em colapo, em função de vibraçõe gerada por vento, que não eram forte... A ponte havia ido aberta para o tráfego há apena algun mee... Vejamo um vídeo... 4/5
5 Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma Obervem a torção da ponte... 5/5
6 Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma O lado direito etá 8,5 metro acima do equerdo! 6/5
7 Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma O concreto começa a cair... 7/5
8 Ponte Sobre o Defiladeiro de Tacoma Um carro! Seção de pavimento de concreto de 7,6 m!!! O concreto cai de vez... 8/5
9 Etabilidade O conceito de etabilidade é muito importante no projeto de itema de controle realimentado: no contexto em que etamo, deejaremo empre projetar controladore que reultem em itema etávei. Alguém tem dúvida do porquê dio? 9/5
10 Etabilidade Genericamente, pode-e dizer que um itema de controle é etável ou não: ee é o conceito de etabilidade aboluta. Dado um itema em malha fechada etável, grau de etabilidade poderiam er a ele atribuído: ee é o conceito de etabilidade relativa. 0/5
11 Etabilidade Como já vito: Polo no emiplano equerdo reultam em repota decrecente e, no emiplano direito, em repota crecente; polo no eixo imaginário reultam em repota neutra. /5
12 Etabilidade Etável Neutro Intável Relação da Localização do Pólo com a Etabilidade 2/5
13 Etabilidade Já abemo, então, que a condição neceária e uficiente para que um itema linear eja etável é: Todo o polo devem etar no emiplano equerdo, ou eja, devem pouir parte real negativa. 3/5
14 Etabilidade Sitema etável Plano Pólo do itema a malha fechada etávei (fora de ecala) Tempo () Sitema intável Plano Pólo do itema a malha fechada intávei (fora de ecala) Tempo () 4/5
15 Etabilidade No cao particular de a equação caracterítica pouir raíze não-múltipla no eixo imaginário, com toda a demai raíze no emiplano equerdo, o itema exibirá ocilaçõe utentada, ou eja, erá não-amortecido, a meno que a entrada eja um inal enoidal, que é limitado, cuja frequência eja exatamente igual à raiz obre o eixo jω, cao em que a aída é ilimitada. Tal itema é dito marginalmente etável. 5/5
16 Etabilidade Pergunta: Como, então, determinar e um itema é etável? Uma maneira poível é achar o polo e verificar ua parte reai... Ma ee método não é intereante, e entenderemo depoi o porquê dea afirmação... 6/5
17 Etabilidade Vário método foram deenvolvido para aber e um itema é etável ou não, em determinar a raíze de ua equação caracterítica, detacando-e trê formulaçõe: Método no plano S Critério de Routh-Hurwitz. Análie no domínio da frequência. Análie temporal. 7/5
18 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz É um método que fornece uma repota direta, do tipo im ou não, obre a quetão de etabilidade de itema lineare... O critério de Routh-Hurwitz etabelece condiçõe neceária e uficiente para que um itema eja etável. A aplicação do critério é baeada na organização do coeficiente da equação caracterítica na forma de um arranjo/tabela. 8/5
19 Controle de Sitema Renato Dourado Maia Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Arranjo/tabela para aplicação do Critério de Routh-Hurwitz: n n n n n n n n n a a b c d n n n n a a b c n n n n a a b c () n n n n n n a a a a a = /0/204 9/5
20 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Cálculo do coeficiente do arranjo: b n ( a )( a ) a ( a ) an an a a a a n n 3 n n 3 = = n n 2 n n 3 b n 3 = a n n 4 n a a a a n n 5 c n = b n n 3 n a b a b n n 3 20/5
21 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz R () N () Y() a + a + a + a+ a /5
22 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz 22/5
23 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz R () E () 000 ( + 2)( + 3)( + 5) Y() R () Y() 23/5
24 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Y() 24/5
25 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Pelo critério de Routh-Hurwitz, o número de raíze com parte reai poitiva, ito é, localizada no emiplano direito do plano S, é igual ao número de mudança de inal do elemento da primeira coluna do arranjo de Routh. Aim, a condição neceária e uficiente para que o itema eja etável é que todo o elemento da primeira coluna tenham o memo inal. 25/5
26 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Quatro configuraçõe devem er coniderada:. Nenhum elemento da primeira coluna é zero. 2. Há um zero na primeira coluna, ma há elemento na linha que não ão nulo. 3. Há um zero na primeira coluna, e todo o elemento da linha ão nulo. 4. Idêntico ao 3, com raíze múltipla no eixo imaginário. 26/5
27 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração nenhum elemento da primeira coluna é zero. Exemplo Sitema de Segunda Ordem () = a + a+ a a a b 2 a b = ( a )( a ) a (0) 0 2 a Um itema de egunda ordem é etável e todo o coeficiente da EC ão poitivo, ou e todo ão negativo... 27/5
28 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração nenhum elemento da primeira coluna é zero. 3 2 () = a + a + a+ a 3 a a Exemplo Sitema de Terceira Ordem: 2 a b c a b = aa aa a c = = b Para que um itema de terceira ordem eja etável, todo o coeficiente devem er poitivo e aa 2 > aa 0 3. Cao aa 2 = aa 0 3, o itema terá um par de raíze no eixo imaginário (configuração 3), o que reulta em etabilidade marginal. ba a 0 28/5
29 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 2 há um zero na primeira coluna, ma há elemento na linha que não ão nulo. Nee cao, o zero é ubtituído por um parâmetro ε, de valor poitivo (ou negativo) deprezível, e que é a- proximado para zero depoi de montado o arranjo de Routh. 29/5
30 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Exemplo: = ( ) ε c 4ε 2 2 = = ε ε 2 0 c d d 6c 0ε c = = 6 Como há dua troca de inal na primeira coluna, há dua raíze com parte real negativa, e o itema é intável... 30/5
31 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 3 há um zero na primeira coluna e todo o elemento na linha em que aparece o zero ão também nulo. Ea configuração ocorre quando aparecem fatore do tipo ( + σ)( σ) ou ( + jω)( jω) aparecem na equação caracterítica. Ee problema é contornado por meio da utilização de um polinômio auxiliar, P (), que é a equação de uma linha que precede a linha de zero. A ordem do polinômio auxiliar é empre par e indica o número de pare de raíze imétrica. 3/5
32 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Plano Quando o polinômio original poui raíze imétrica em relação à origem, urge uma linha de zero durante a contrução do arranjo. A: Reai e imétrica em relação à origem B: Imaginária e imétrica em relação à origem C: Quadrantai e imétrica em relação à origem 32/5
33 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Exemplo: 3 2 () 2 4 = K b K K 0 0 b = 8 K 2 Para er etável: 0< K < 8 Com K = 8, tem-e uma linha com apena zero, implicando em etabilidade marginal (dua raíze no eixo imaginário). O polinômio auxiliar nee cao é dado por: P ( ) = 2 + K = = 2( + 4) = 2( + 2 j)( 2 j) 33/5
34 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 3 Para continuar a contrução do arranjo, deve-e ubtituir a linha de zero pela derivada do polinômio auxiliar P () e eguir com o procedimento normalmente... 34/5
35 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz T() = Etável! 35/5
36 Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Configuração 4 há raíze múltipla no eixo i- maginário. t[ en( ωt + θ)] Nee cao, a repota do itema é e, portanto, ele é intável. O critério de Routh-Hurwitz não é capaz de revelar ea forma de intabilidade. 36/5
37 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = Rótulo Primeira coluna Intável! 37/5
38 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) Para o exemplo do lide anterior, há uma aborda-gem alternativa, baeada na propriedade de polinômio com raíze recíproca, que é ecrever o denominador com o coeficiente na ordem invera: T() = T () = /5
39 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) 2 Pólo de T () Pólo de T 2 () Eixo Imaginário Eixo Imaginário Eixo Real Eixo Real Para polinômio com raíze recíproca, a ditribuição da raíze no plano S e mantém... 39/5
40 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T () = /5
41 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = /5
42 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = Par (quarta ordem) pd pe Reto (quarta ordem) pd pe Total (oitava ordem) pd pe Nota: pd = emiplano da direita; pe = emiplano da equerda 42/5
43 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) R () E () ( ) Y() 43/5
44 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = /5
45 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) R () E () ( ) Y() 45/5
46 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = Coeficiente na ordem invera 46/5
47 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) R () E () ( ) Y() 47/5
48 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = /5
49 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = Par (exta ordem) Reto (egunda ordem) Total (oitava ordem) pd pe pd pe pd pe Nota: pd = emiplano da direita; pe = emiplano da equerda 49/5
50 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) Determinar a faixa de valore de K para a qual o itema a eguir é etável: R () E () K Y() ( + 7)( + ) 50/5
51 Algun Exemplo (Nie, 3ª Ed. Cap. 6) T() = K K K K K K < 386 5/5
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