ESTABILIDADE MALHA FECHADA

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1 Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Diciplina: TEQ- CONTROLE DE PROCESSOS ESTABILIDADE Método critério de Routh-Hurwitz Cao Epeciai Prof a Ninoka Bojorge ESTABILIDADE MALHA FECHADA Regiõe de etabilidade no plano complexo da raíze da equação caracterítica Parte Imaginária Região Etável Região Intável Parte Real Obervação: A mema equação caracterítica ocorre tanto para a mudança na carga e no etpoint dede o termo + G OL. Aim, e o itema de malha fechada é etável para perturbaçõe de carga, ele também erá etável para mudança de et-point.

2 Contribuiçõe do polo na repota malha fechada Im Decaimento exponencial com ocilaçõe Raíze complexa (parte real - ) muito ocilatório Crecimento exponencial com ocilaçõe rápido crecim. exponencial Decaimento exponencial raíze reai (+) raíze reai ( - ) rápido lento lento rápido Re raíze complexa (parte real -) muito ocilatório raíze complexa (parte real +) Etável (Equerda ) Intável (Direita) Criterio de Routh-Hurwitz 4 Ex) Seja etude ua etabilidade º pao: D() º pao: todo coeficiente de D() ão poitivo portanto nada pode-e concluir ºpao: contruir arranjo triangular de Routh-Hurwitz (Lembrando...) n n n n n 4 : a a a4 a6 a b a b a5 b a7 b4 c c c c4 d d d d4 : : e f g e b c d aa a a a ba ab b cb bc c b c aa 4 a a a 5 ba 5 ab b cb bc d c b c aa 6 a a a 7 ba 7 ab4 b

3 Critério de etabilidade - Exemplo R() C() ou ( ) ( ) ( ) ( ) G G G H P v KC C ( ) R( ) + KC ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( ) KC ( ) ( )( )( ) C R K C Equação Caracterítica: ( )( + )( + ) + K + C Pelo método do lugar da raíze Criterio de etabilidade - Exemplo Equação Caracterítica: ( )( + )( + ) + K + C K c p p p * j j j j j j ** j +.j j.5+4j

4 CASOS ESPECIAIS CRITÉRIO DE ROUTH o. Cao) Nenhum elemento da a coluna é zero avalia-e a etabilidade pelo reultado do arranjo. o. Cao) Exite um zero na a coluna ubtitui-e o zero por um valor ε (épilon) e faz-e a análie da etabilidade pelo arranjo. o. Cao) Todo o elemento de uma linha ão zero ubtitui-e eta linha pelo coeficiente oriundo da derivação da linha anterior e faz-e a análie da etabilidade pelo arranjo. CASOS ESPECIAIS CRITÉRIO DE ROUTH Ex) Seja + G( ) 4 de R-H Aim: etude ua etabilidade pelo critério Nete cao, o elemento da º coluna ão: Ocorrem dua mudança de inai, um de para -6 e outra de -6 para 5, logo ete itema tem doi pólo de lado direito do plano-, então o itema é intável. 8

5 Exercício 4 x Repota Degrau Ex) Seja + G( ) A fim de verificar, podemo plotar a repota deta G() para um degrau >> tf(''); >> num [ ]; >> den [ 4 5]; >> tep (num, den) Se analiamo pelo Lugar da raíze, no Matlab >> G tf([ ],[ 4 5]); >> rlocu(g) Imaginary Axi (econd - ) Repota Tempo (econd) Root Locu Real Axi (econd - ) 9 Cao Epeciai Cao ) Linha com primeiro elemento igual a zero ubtitua ete elemento por um ε > e proiga na contrução do arranjo. Na análie de etabilidade, faça ε. Ex : Indique quanto polo fora do emiplano equerdo tem o eguinte polinômio: Ob: o polinômio atende à condição neceária; no entanto, e analiamo o polo, por exemplo uando o Matlab, obtém-e :

6 Cao Epeciai Cao ) Linha com primeiro elemento igual a zero Ex : Indique quanto pólo fora do emiplano equerdo tem o eguinte polinômio: o arranjo triangular de Routh aume a forma: Nova ε 6ε 9 9 ε ε ε 9 Aim, o critério de Routh indica a exitência de pólo fora do emiplano equerdo. uma outra alternativa aqui é realizar a eguinte mudança de variávei: z / e obter o polinômio em z, eguido da aplicação do critério de Routh Cao Epeciai Cao ) Linha com todo o elemento iguai a zero Ex : Indique quanto polo fora do emiplano equerdo tem o eguinte polinômio: repare que o polinômio atende à condição neceária; no entanto, uando o Matlab, obtém-e o eguinte polo: Ob: veja-e a perda de precião numérica no cálculo ao lado. A raíze do polinômio ão efetivamente, +j, j, e. Eta perda de precião é devida ao proceo de quantização numérica empregado pelo computador. Dependendo do algoritmo, ete efeito é maior ou menor.

7 Cao Epeciai Cao ) Linha com todo o elemento iguai a zero Ex : Indique quanto pólo fora do emiplano equerdo tem o eguinte polinômio: o arranjo triangular de Routh aume a forma: ,4 5,6 Cao Epeciai Cao Epeciai Cao ) Linha com todo o elemento iguai a zero Ex : Indique quanto pólo fora do emiplano equerdo tem o eguinte polinômio: o arranjo triangular de Routh aume a forma: ,4 5,6 Nova 6 Linha nula

8 Cao Epeciai Cao ) Linha com todo o elemento iguai a zero Ex : Indique quanto pólo fora do emiplano equerdo tem o eguinte polinômio: o arranjo triangular de Routh aume a forma: ,4 5,6 Nova 6 Aim, o critério de Routh indica a inexitência de polo fora do emiplano equerdo, embora falta ainda analiar o polinômio p() +. Ete polinômio vai apreentar raíze no eixo imaginário, +j e j, portanto, na margem do emiplano equerdo. Outra aplicaçõe Ex 4: Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o itema realimentado eja etável. olução: A F.T.M.F. é dada por: Note que não é poível obter o pólo de H() uando a calculadora.

9 Outra aplicaçõe Ex 4: Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o itema realimentado eja etável. Uando o método de Routh-Hurwitz: ºpao: D() (Kc - 6) + Kc ºpao: Para que todo o coeficiente ejam poitivo: Kc- 6 > Kc>6 e Kc > Kc > 6 atifaz (I) Outra aplicaçõe Ex 4: Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o itema realimentado eja etável. Uando o método de Routh-Hurwitz: D() (Kc - 6) + Kc ºpao: 5 5( Kc 6) Kc 5 Kc Kc 6 K c

10 Cao Epeciai Outra aplicaçõe Ex 4: Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o itema realimentado eja etável. Uando o método de Routh-Hurwitz: D() (Kc - 6) + Kc 4ºpao: Para que elemento da ª. coluna ejam todo poitivo, é neceário que: 5( Kc 6) Kc > 5 5 Kc Kc > 4 Kc > Kc > 7, 5 (II) 4 e Kc > (III) Outra aplicaçõe Ex 4: Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o itema realimentado eja etável. Uando o método de Routh-Hurwitz: 4ºpao: Kc D() (Kc - 6) + Kc 6 7,5 Logo, para Kc > 7,5 o itema terá etabilidade aboluta. Como já foi dito, e tiver um zero () na primeira coluna de tabela ou e uma linha for nula, então deve-e uar o cao epecial anterior.

11 Ex 4: Determine o intervalo de Kc, ganho do controlador, para o qual o itema realimentado eja etável. Verificação A m plitude 8 x Step Repone Kc Am plitude 5 x 8 Step Repone Kc Time (econd) Time (econd).5 Step Repone Kc Step Repone Kc.8.6 Step Repone Kc Amplitude.5 Amplitude Amplitude Time (econd) Time (econd) Time (econd) Outra aplicaçõe Dada a Equação caracterítica da FTMF, determinar etabilidade + + Kc Kc + Kc ( Kc 5. ) + ( Kc. 75) + +.5S Kc S Subtituir jω, Κc Κcu ( jω) + 5. ( jω ) + ( Kc u 5. ) jω + ( Kc u. 75) jω 5. ω + ( Kc 5. ) jω + ( Kc. 75) u u

12 Outra aplicaçõe Parte Complexa Parte real ( K. ) 5. ω + K c. 75 c 5 ω ω u u Kc 5. ω ( 5. ω ) ω ω u Step Repone 7 5. ω +. 5 ω ± /, Kc u u Amplitude Time (econd) Exercício de aplicação Exercício 5 No eguinte itema, determinar o valor do ganho, que faz com que o itema e torne intável Ue o eguinte dado: (a) τ D,5 min e (b) τ D,5 min. 4

13 Exercício de aplicação Ex 5)... O balanço de energia em torno de cada tanque: 5 Aim, em termo de variávei de devio e tomando a T. L obtemo itema da forma de ª ordem: onde: poi não há aquecedore nee tanque. Exercício de aplicação Ex 5)... O eguinte diagrama de bloco motra o itema de controle de feedback. 6 Bloco da válvula e enor ão de dinâmica mto rápida (G ) K q K onde o parâmetro do itema erá:

14 Ex 5) O eguinte diagrama de bloco motra o itema de controle de feedback. Logo, a equação caracterítica erá: Continuando... 7 Outra aplicaçõe Ex 5)... Aim a equação caracterítica... 8 Logo, pelo arranjo de Routh:

15 Outra aplicaçõe Ex 5)... 9 Aim, para : Outra aplicaçõe Ex 6) Conidere o exemplo onde o atuador e dipoitivo de medição não têm dinâmica deprezívei. Equação caracterítica:

16 Outra aplicaçõe Análie critério de Routh Control P ( +Kc) -, < Kc <.4 Outra aplicaçõe Agora, o Análie por Subtituição Direta com controle P; jw e KcKcu K cu.4

17 Simulando o exemplo anterior no Matlab (pidtune).4 Repota a variação degrau no etpoint VP p. variavel de proceo Kc Time (econd).8 Repota a variação degrau no etpoint VP p.6.4 ma, quando Kc Kcu, a repota é criticamente etável variavel de proceo Time (econd) Análie critério de Routh Control P I 4 Kc/τ I ( +Kc) A etabilidade etará definida em função do valore de Kc e τ i 4