Sistemas e Sinais 2009/2010

Transcrição

1 Análie de Sitema alimentado Sitema e Sinai 9/ Análie de itema realimentado Álgebra de diagrama de bloco Sitema realimentado Etabilidade Deempenho SSin

2 Diagrama de bloco Sitema em érie X Y G G Z Y G X Z G Y Z G G X Sitema em paralelo X G Y Z Y Y G X Z ( G + G ) X G X G Y Z Y + Y SSin 3 Diagrama de bloco Sitema realimentado a entrada de um itema depende da ua aída X Y G Z G Z G Y Y X + G Z Z G X + GG Z G Z G G X G GG ganho directo ganho em anel SSin

3 Diagrama de bloco exemplo O itema podem etar interligado de forma arbitrária! Por exemplo G X X W W W3 G G G3 W Y G 5 G 6 Y Y Como e calculam a funçõe de tranferência e? X X. Definindo variávei auxiliare (W, W, ) e manipulando a equaçõe até e obterem a relaçõe pretendida.. Aplicando técnica itemática! Fórmula de Maon SSin 5 Diagrama de bloco Alguma definiçõe: Sinai independente o que não etão definido à cuta de outro Sinai dependente o que etão definido à cuta de outro Ramo bloco de interligação entre doi inai (FT ou omador) Caminho uceão de ramo orientado no memo entido Caminho directo caminho no qual um inal apena aparece uma vez Ganho de um caminho produto do ganho do ramo de um caminho Anel caminho fechado que começa e acaba no memo inal Ganho de um anel produto do ganho do ramo de um anel SSin 6 3

4 Diagrama de bloco Determinante de um diagrama + + L, i L, i L3, i L, i L,i L,i L3,i ganho em anel produto de ganho de doi anéi que não e tocam produto de ganho de trê anéi que não e tocam Cofactor de um caminho: é o determinante do diagrama de bloco que e obtém retirando todo o ramo e inai dee caminho SSin 7 Diagrama de bloco Fórmula de Maon Y X T n n Tn n ganho do caminho directo de X para Y cofactor de T n determinante do diagrama G Y X G G G3 Z G 5 G 6 SSin 8

5 Determinação de ganho exemplo G X X G G G3 Y G 5 G 6 L, i GG 5 + GG6 L, i GG 5GG6 + GG 5 GG6 GG 5GG6 Y X T GG G3 T G GG6 Y X T G3 + GG 5 Y GG G3 + G( GG6 ) X + GG 5 GG6 GG 5GG6 Y G3 X GG6 SSin 9 Sitema realimentado Etrutura geral R( ) E( ) Y ( ) G( ) R Y entrada ou referência aída H ( ) E erro G( ) G( ) H ( ) G( ) + G( ) H ( ) função de tranferência (ou ganho) em malha aberta função de tranferência (ou ganho) em anel função de tranferência (ou ganho) em malha fechada H ( ) alimentação unitária SSin 5

6 Sitema realimentado etabilidade Determinante do diagrama: + G( ) H ( ) R( ) aparece no denominadore da FT Equação caracterítica do itema realimentado E( ) Y ( ) G( ) H ( ) + G( ) H ( ) permite determinar o pólo em malha fechada ng ( ) nh ( ) Se G( ) e H ( ) forem quociente de polinómio d ( ) d ( ) g h então a equação caracterítica é também polinomial: d ( ) d ( ) + d ( ) d ( ) g h g h Nota: Para que o itema realimentado eja etável (entrada limitada aída limitada) a oluçõe da equação caracterítica deverão ter parte reai negativa! SSin Etabilidade tete de Hurwitz n n Polinómio caracterítico: Q( ) a + a + + a + a n n Por veze interea analiar a etabilidade de um itema, ito é verificar e a raíze de Q() etão toda no SPE), em ter de a calcular! Tete de Hurwitz Para que toda a raíze de Q() etejam no SPE é neceário que. Q() não tenha coeficiente nulo.. Todo o coeficiente de Q() tenham o memo inal. Nota O tete de Hurwitz apena fornece condiçõe neceária de etabilidade. Para e obterem condiçõe uficiente terão de e aplicar outro critério! SSin 6

7 Etabilidade critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh n n n n 3 n n n n 3 Q( ) a + a + a + a + + a + a n αn, αn, αn,3 n αn, αn, αn,3 n αn, αn, αn,3 n 3 αn 3, αn 3, α, α, gra de contrução α n, an, α n, an, α n,3 an, α n, an, α n, an 3, α n,3 an 5, αi+, αi+, j+ αi+, αi+, j+ α i, j, i n, n, αi+, Critério de Routh-Hurwitz O número de raíze de Q() com parte real poitiva é igual ao número de troca de inal do coeficiente da ª coluna da matriz (coluna pivot). É condição neceária e uficiente para que toda a raíze de Q() e ituem no SPE que o tete de Hurwitz eja verificado e que não haja troca de inal na coluna pivot. SSin 3 Etabilidade critério de Routh-Hurwitz Aparecimento de um zero na coluna pivot. Subtitui-e o zero da coluna pivot por e continuam-e o cálculo. ε >. No fim determina-e o limite quando ε + de cada um do elemento da coluna pivot. Do elemento da coluna pivot imediatamente ante e depoi do zero, conclui-e que e ete elemento tiverem o memo inal então exite um par de raíze no eixo real. e ete elemento tiverem inai opoto então exite uma raiz no SPD. 5 3 Q( ) ???? raiz no SPD outra raiz no SPD ε ε 3ε+ 3ε+ 5 3 ε SSin 7

8 Etabilidade critério de Routh-Hurwitz Aparecimento de uma linha de zero (raíze imétrica em relação ao eixo imaginário). Formar o polinómio auxiliar T ( ) com o coeficiente da linha anterior à linha de zero.. Subtituir a linha de zero pelo coeficiente de T '( ) e proeguir o cálculo. Se a partir da linha de zero não houver troca de inal na coluna pivot então exitem raíze obre o eixo imaginário. Cao contrário, o número de troca e inal indica o número de raíze no SPD. Nota: Se o grau de T() for par e igual a m então há m pare de raíze imétrica em relação ao eixo imaginário. 5 3 Q( ) ???? pare de raíze no eixo imaginário 5 3 T ( ) T '( ) + SSin 5 Lugar Geométrico da Raíze LGR Equação caracterítica: + kg( ) H ( ) R( ) k G( ) Y( ) m ( zi ) N( ) i G( ) H ( ) D( ) n ( pi ) i grau [ N( ) ] grau [ D( ) ] n m m n N( ) + k D ( ) D( ) + kn( ) H ( ) equação polinomial de ordem n Lugar geométrico da raíze (LGR): localização do pólo de malha fechada (raíze da equação caracterítica) em função de k R LGR directo k > LGR invero k < SSin 6 8

9 LGR propriedade D( ) + kn( ) N ( ) D( ) k Prop. O número de ramo do LGR é igual ao número de pólo de G( ) H ( ) D( ) k N ( ) [ D ] [ N ] grau ( ) grau ( ) [ D + kn ] [ D ] grau ( ) ( ) grau ( ) Prop. O ramo do LGR ão linha contínua coeficiente de D( ) + kn ( ) dependem continuamente de k raíze de polinómio dependem continuamente do eu coeficiente Prop. 3 O LGR é imétrico em relação ao eixo real D( ) + kn( ) é um polinómio de coeficiente reai raíze complexa em pare conjugado SSin 7 LGR propriedade D( ) + kn( ) N( ) D( ) k D( ) k N( ) Prop. Um ponto do eixo real pertence ao LGR directo (invero) e e ó e o número de zero e pólo reai de G( ) H ( ) à ua direita for ímpar (par), p R q C 8º e < p ( p) º e > p * ( ( q)( q )) ( ( )( * * )) q q q N( ) D ( i ) ( i ) ( z p 8º # de pólo ou zero reai de G( ) H ( ) à direita de ) zi R pi R (l + ) 8º e k > ( k ) l 8º e k < ( ) Prop. 5 O ramo do LGR entram ou aem do eixo real no ponto em que k como função real da variável real atinge um máximo ou mínimo local SSin 8 9

10 LGR propriedade D( ) + kn( ) Prop. 6 O ramo do LGR partem do pólo de G( ) H ( ) N ( ) D( ) k D( ) k N( ) k D( ) LGR Prop. 7 O ramo do LGR dirigem-e para o zero de G( ) H( ) ou para o infinito k N( ) LGR D( ) N( ) Prop. 8 O ramo que partem de pólo complexo ou e dirigem para zero complexo ão tangente a emi-recta com inclinação dada pela expreão eguinte omada de 8º no cao do LGR directo e º no cao do LGR invero. ( z ) ( pi ) i zi pi SSin 9 LGR propriedade D( ) + kn( ) N( ) D( ) k D( ) k N( ) Prop. 9 Quando k, n m ramo do LGR tendem para infinito tendo como aímptota emi-recta com origem no ponto σ e inclinaçõe θ dado por n m pi z (l + ) 8º i e k > i i σ n m θ n m l 8º e k < n m n n n n ( pi ) pi + D( ) n m i i n m n m N( ) m m pi zi + m m ( zi ) i i zi + i i n m n m pi zi n m i i n m n m n m i i i i p z + D( ) N( ) n m n m pi zi i i n m ( n m) ( σ ) ( k ) SSin

11 LGR propriedade Q( ) D( ) + kn ( ) Prop. A interecçõe do LGR com o eixo imaginário correpondem a oluçõe da equação caracterítica do tipo jω. Quando jω, a equação caracterítica Q( ), pode er decompota na equaçõe { Q( jω )} { Q( jω )} que permitem determinar o ponto de interecção do LGR com o eixo imaginário e o correpondente valore do parâmetro k São importante poi etão directamente relacionada com a etabilidade do itema realimentado. Também e podem obter aplicando o critério de Routh- Hurwitz. SSin LGR traçado Q( ) D( ) + kn ( ) A propriedade do LGR podem er utilizada para o eu eboço, permitindo determinar parte do eixo real pertencente ao LGR ponto de entrada ou aída do eixo real aímptota (inclinaçõe e origem), quando k interecçõe com eixo imaginário ângulo de partida/chegada a pólo/zero complexo Ferramenta computacionai permitem já eboçar LGR reolvem automaticamente a equação caracterítica para diferente valore de k repreentam graficamente o reultado SSin

12 F : Etabilidade critério de Nyquit C C Γ : caminho obre o qual F(.) é analítica Γ F( ) F( Γ) Princípio do argumento: N Z P N: envolvimento da origem pelo contorno F(Γ) contado no memo entido de Γ Z: número de zero de F(.) no interior do contorno Γ, coniderando multiplicidade P: número de pólo de F(.) no interior do contorno Γ, coniderando multiplicidade SSin 3 F : Etabilidade critério de Nyquit C C Γ : caminho obre o qual F(.) é analítica Γ + F( ) + F( Γ) F( Γ) + j N Z P N: envolvimento da origem por +F(Γ) envolvimento de +j por F(Γ) Z: número de zero de +F(.) no interior de Γ P: número de pólo de +F(.) no interior de Γ número de pólo de F(.) no interior de Γ SSin

13 Etabilidade critério de Nyquit Contorno de Nyquit Γ jθ { } { re r π π } Γ : j ω: < ω < + : + θ F( ) G( ) H ( ) F( Γ) R( ) E( ) Y ( ) G( ) H ( ) traçado de Nyquit de G( ) H ( ) r + j N Z P N: envolvimento de +j pelo traçado de Nyquit de G()H() Z: número de zero de +G()H() no SPD número de pólo de malha fechada no SPD P: número de pólo de G()H() no SPD número de pólo ganho em anel no SPD Para o itema realimentado er etável, teremo Z, e logo o número de envolvimento de +j pelo traçado de Nyquit de G()H() no entido anti-horário terá de er igual ao número de pólo G()H() no SPD. SSin 5 Etabilidade critério de Nyquit Se G()H() tiver um pólo no eixo imaginário contorno de Nyquit terá de er alterado! de forma a evitar a ingularidade R( ) E( ) Y ( ) G( ) H ( ) Para um pólo em Γ jω jθ { } { re r π π } Γ : j ω: < ω < + : + θ jω j { j ω: < ω < ω ε} { j ω + εe θ : π θ π } { j ω: ω + ε < ω < } com ε + O critério de etabilidade aplica-e agora ao interior do contorno modificado! N Z P Se houver múltiplo pólo no eixo imaginário, efectua-e uma alteração emelhante do contorno em volta de cada um dele. SSin 6 3

14 Margem de ganho Margem de ganho do itema realimentado G( ) é o valor do ganho k> a introduzir em érie com G() que coloca o itema realimentado no limiar de etabilidade limiar de etabilidade traçado de Nyquit de kg() paa em +j ω π exite tal que kg(j ω ) π db frequência de traveia de fae MG log G(j ω ) π G(j ω ) 8º π k G(j ω ) π SSin 7 Margem de ganho determinação MG > G(j ω π ) MG < G(j ω π ) + j ω π ω π + j G(j ω) G(j ω) G( j ω) db G( j ω) db db MG db ω db MG db ω G(j ω) G(j ω) 8º ω π ω 8º ω π ω SSin 8

15 Margem de fae Margem de fae do itema realimentado G( ) é o valor do atrao de fae φ a introduzir em érie com G() que coloca o itema realimentado no limiar de etabilidade limiar de etabilidade traçado de Nyquit de e G( ) paa em +j jφ exite ω jφ tal que e G( j ω ) frequência de traveia de ganho G(j ω ) φ 8º + G(j ω ) MF 8º + G(j ω ) SSin 9 Margem de fae determinação MF > MG < ω + j MF MF + j ω G(j ω) G( j ω) db G(j ω) G( j ω) db db ω ω db ω ω G(j ω) G(j ω) 8º MF ω 8º MF ω SSin 3 5

16 Margen de etabilidade Se G() é de fae mínima então G( ) MG> ou MF> o itema realimentado é etável MG< ou MF< o itema realimentado é intável A margen de ganho e de fae ão medida de etabilidade robuta quanto maiore forem eta margen mai poderão variar o parâmetro que definem G() mantendo o itema realimentado etável Na prática ete parâmetro podem não er conhecido exactamente, variar com factore não coniderado no modelo (temperatura, ), pelo que eta margen ão de grande utilidade prática! SSin 3 alimentação unitária regime permanente Sitema de tipo m w ( w ) u ( u ) K b b b G( ) m a a a R( ) E( ) Y ( ) G( ) FT com m pólo na origem Erro em regime permanente E( ) R( ) + G( ) R( ) e lim e( t) lim E( ) lim t + G ( ) SSin 3 6

17 alimentação unitária regime permanente Entrada em degrau: R( ) R( ) E( ) Y ( ) G( ) Contante de erro de poição: K p lim G( ) w ( w ) u ( u ) K b b b G( ) m a a a Erro em regime permanente: R( ) e lim lim + G( ) + G( ) + G() + K p m K p K e + K m K p e Para que o itema realimentado apreente (em regime permanente) erro nulo para entrada em degrau, G() deverá ter pelo meno pólo na origem. SSin 33 alimentação unitária regime permanente Entrada em rampa: R( ) R( ) E( ) Y ( ) G( ) Contante de erro de velocidade: K v lim G( ) w ( w ) u ( u ) K b b b G( ) m a a a Erro em regime permanente: R( ) e lim lim lim + G( ) + G( ) G( ) Kv m K m m Kv v K e e K K p e Para que o itema realimentado apreente (em regime permanente) erro nulo para entrada em rampa, G() deverá ter pelo meno pólo na origem. SSin 3 7

18 alimentação unitária regime permanente Entrada em parábola: R( ) 3 R( ) E( ) Y ( ) G( ) Contante de erro de aceleração: K lim G( ) a w ( w ) u ( u ) K b b b G( ) m a a a Erro em regime permanente: R( ) 3 e lim lim lim + G( ) + G( ) G( ) Ka m, K a e m m 3 Ka K e K K a e Para que o itema realimentado apreente (em regime permanente) erro nulo para entrada em parábola, G() deverá ter pelo meno 3 pólo na origem. SSin 35 Seguimento de referência n t Entrada: ( ) t r t e u( t) n Erro: { } R( ) D( ) E( ) + G( ) N( ) + D( ) ( ) n R( ) ( ) n R( ) E( ) Y ( ) G( ) N( ) G( ) D( ) itema realimentado etável D( ) + N ( ) lim e( t) t ( ) n é factor de D( ) Para que o itema realimentado iga referência com erro nulo em regime permanente, a função de tranferência de malha aberta deverá ter como pólo o pólo intávei da tranformada de Laplace da entrada! SSin 36 8