Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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1 Sinai e Sitema Mecatrónico Análie de Sitema no Domínio do Tempo Etabilidade Joé Sá da Cota Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 1

2 Análie e Projecto de Sitema A análie e a íntee (projecto) ão dua etapa eenciai no etudo de itema Análie Com bae no modelo matemático do itema etuda-e a repota dete a inai de entrada epecífico, no domínio do tempo e da frequência, determinando-e a ua caracterítica de deempenho. Projecto Tendo em conta o requiito de deempenho que e pretende para o itema, ou para a cadeia de medida, altera-e o memo, introduzindo dipoitivo correctore (compenadore, filtro, reguladore, etc.) que permitam no conjunto atifazer o requiito deejado. Nota: Apena e conideram Sitema Lineare Invariante no Tempo (SLIT) Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 2

3 Etapa de Análie Análie de Sitema Em termo gerai há trê etapa principai na análie de itema e em particular para o cao de itema com realimentação (ou retroacção, ou em anel fechado): O grau ou extenão da etabilidade do itema Etabilidade aboluta aber e o itema é ou não etável. Etabilidade relativa aber quão próximo etá o itema da intabilidade. O deempenho da repota permanente pretende-e aber e há ou não erro da repota etacionária do itema (parte da repota que não tende para zero à medida que o tempo tende para infinito) relativamente ao inal de entrada. A caracterítica da repota tranitória caracterítica da parte da repota do itema que tende para zero (ou decrece), à medida que o tempo tende para infinito. Nota: Há uma forte correlação entre etabilidade relativa e a repota tranitória em itema com realimentação. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 3

4 Etabilidade Aboluta Etabilidade de Sitema A etabilidade de um itema é uma caracterítica intríneca do itema que ó tranparece quando da ua repota à entrada ou perturbaçõe. Intuitivamente um itema etável é aquele que permanecerá em repouo a não er que excitado por fonte externa e que retornará ao etado de repouo e toda a excitaçõe forem removida. Definição 1 : Um itema é etável e a ua repota ao impulo unitário tende para zero à medida que o tempo tende para infinito. Definição 2 : Um itema é etável e para qualquer entrada delimitada produz uma aída delimitada (BIBO Bounded Input Bounded Output). Nota: Entende-e por entrada delimitada (ou circuncrita), uma entrada cuja grandeza ejam menore do que algum valor finito ao longo de todo o tempo. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 4

5 Etabilidade de Sitema Etabilidade Aboluta (cont.) Modelo matemático de um SLIT com condiçõe iniciai k n i m dyt () dxt () a = b, a = 1 e m n i i i i n i= dt i= dt k k d x t k e k t= dt t= i d y() t () y, k =,1,..., n 1 x, k =,1,..., m 1 k dt A tranformada de Laplace da equação anterior virá dada por Y() = () + m m i 1 n i 1 i i 1 k k i 1 k k b i b i x a i y i= i= k= i= k= X n n n i i i a i a i a i i= i= i= Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 5

6 Etabilidade de Sitema Etabilidade Aboluta (cont.) A tranformada de Laplace invera da equação anterior virá dada por m m i 1 n i 1 i i 1 k k i 1 k k b i b i x a i y 1 i= i= k= 1 i= k= yt () = L X( ) + L n n n i i i a i a i a i i= i= i= Cao a condiçõe iniciai ejam nula (CI=) obtém-e a função de tranferência m i b i 1 i= yt () = L X( ) n i a i i= Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 6

7 Etabilidade de Sitema Etabilidade Aboluta (cont.) Eta função de tranferência pode er ecrita na forma racional endo m m 1 m m + m i= n n 1 n + n Y() b b b b G () = = = X() a... a a b ( z ) Pólo do itema ão a raíze da equação caracterítica do denominador n ( p ) = i= i Zero do itema ão a raíze da equação caracterítica do numerador m ( z ) = i= i Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 7 i= m i ( p ) i

8 Etabilidade de Sitema Etabilidade Aboluta (cont.) A tranformada de Laplace invera da função de tranferência anterior para uma entrada impulo unitário virá dada por onde r ni r ni 1 c ik cik k 1 L bn + n () k = b δ t + t e i= k= 1( pi ) i= 1 k= 1( k 1)! δ () t b n =, a não er que m = n é a função impulo unitário pt i c ik ão o reíduo no pólo p i Nota: e o pólo etiver no emi-plano direito o termo exponencial terá expoente poitivo e a repota diverge para infinito quando o tempo tende para infinito, endo o itema intável. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 8

9 Etabilidade de Sitema Etabilidade Aboluta (cont.) Sitema etável e todo o pólo do itema etiverem no emiplano complexo equerdo (SPCE) Sitema marginalmente etável e o itema tiver algun pólo com parte real nula, ma nenhum com parte real poitiva. Nete cao, a repota ao impulo não tende para zero, embora eja delimitada. Certa entrada produzirão aída não delimitada, o que permite concluir que o itema marginalmente etávei ão intávei. Exemplo : ( 2 + 1) Y() = X() a equação caracterítica virá dada por = com raíze em ± j a repota a perturbaçõe é ocilatória a repota a x(t) = en t é y(t) = t.en t itema intável. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 9

10 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh Critério aplicável a itema de ordem n, com a equação caracterítica do denominador na forma ito é, aume-e que e exitem raíze nula eta foram previamente removida. Critério n n 1 n n 1 1 com n a + a a+ a = a Se algum do coeficiente da equação caracterítica é nulo ou negativo, na preença de pelo meno um coeficiente poitivo, então exite uma raiz ou raíze que ão imaginária, ou que têm parte real poitiva. Nete cao, pode-e concluir que o itema não é etável (intável). Para um itema er etável é condição neceária, ma não uficiente, que todo o coeficiente da equação caracterítica tenham o memo inal. Para concluir da etabilidade nete cao, é neceário uma análie adicional. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 1

11 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) No cao de todo o coeficiente da equação caracterítica terem o memo inal, para e concluir obre a etabilidade, é neceário contruir a Tabela de Routh n a a a n 1 n 2 n n n 2 n 4 a a a n 1 n 3 n 5 b b b c c c d d e f 1 Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 11

12 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) n a a a n 1 n 2 n n n 2 n 4 a a a n 1 n 3 n 5 b b b c c c d d e f 1 Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 12

13 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) onde n a, n a-1,, a ão o coeficiente da equação caracterítica e o coeficiente b i e c i ão dado por a a a a a a a a b, b, etc. n 1 n 2 n n 3 n 1 n 4 n n an 1 an 1 ba a b ba a b c, c, etc. 1 n 3 n n 5 n b1 b1 A tabela é continuada horizontalmente e verticalmente até que apena zero ejam obtido. Qualquer linha pode er multiplicada por uma contante ante que a próxima linha eja calculada, em que a propriedade da tabela ejam afectada. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 13

14 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Critério referente à Tabela Toda a raíze deta equação caracterítica têm parte reai negativa, e e omente e o elemento da primeira coluna da tabela têm o memo inal. Nete cao o itema é etável. O número de raíze com parte real poitiva é igual ao número de mudança de inal na primeira coluna. Concluão obre o critério de Routh É condição neceária e uficiente para um itema er etável, que todo o coeficiente da equação caracterítica tenham o memo inal e que todo o coeficiente da primeira coluna da Tabela de Routh tenham o memo inal. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 14

15 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh onde todo o coefi- Exemplo 1: Seja ciente ão poitivo. A tabela de Routh é dada por = a a a a 3 a a a a aa a a 2 aa O itema é etável e a 2 a 1 > a 3 a, vito nete cao não haver mudança de inal na primeira coluna da tabela. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 15

16 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 2: Seja Exitem todo o coeficiente da eq. caracterítica que têm inal poitivo, o que implica que tenhamo de analiar a Tabela de Routh para concluir obre a etabilidade. A tabela de Routh é dada por = Vito nete cao não haver mudança de inal na primeira coluna da tabela, o itema é etável. Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 16

17 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 3: Seja K = Todo o coeficiente poitivo, endo a tabela de Routh dada por K 3 1+ K K Para não haver mudança de inal na primeira coluna (itema etável), é neceário que: 8 K >, 1 + K > Ou eja, que 1 < K < 8 Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 17

18 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 3 cont.: Nota: Uma linha de zero para 1 da tabela de Routh, indica que o polinómio da linha 2 tem um par de raíze que atifaz a equação auxiliar: onde A e B ão o primeiro e egundo elemento da linha 2. No exemplo, a linha 1 é zero e K = 8. Nete cao a equação auxiliar é A 2 + B = Portanto dua raíze da equação caracterítica ão Logo o itema é marginalmente etável (itema intável) K + 1= 3 + 9= =± j 3 Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 18

19 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 4: Seja A tabela de Routh é dada por = Polinómio auxiliar P () Notar que ete cao ó acontecem em linha de potência ímpar. 4 2 P () = O que indica que há doi pare de raíze de igual magnitude e inal opoto (reai, ou complexo conjugado). Ete pare ão obtido reolvendo P() =, o que não é fácil. dp() 3 Notar que a derivada em ordem a de P() é = d Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 19

20 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 4 cont.: Subtituindo o zero da linha 3 por 8 e 96, a tabela de Routh virá Da análie da tabela conclui-e que há uma mudança de inal, logo itema intável. A raíze ão Coeficiente de dp( ) d ,7 5 =± 1, =± j5 e = 2 Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 2

21 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 5: Seja = A tabela de Routh é dada por ε No cao de haver um coeficiente nulo na primeira coluna, endo o retante elemento diferente de zero, ou não exita termo remanecente, deve-e ubtituir o zero por uma quantidade poitiva pequena ε e recalcular a tabela a partir dee elemento. Nete cao a raíze do polinómio ão -2 e ±j endo o itema marginalmente etável, ou eja intável. Nota: é empre poível nete cao eguir a técnica de ubtituição da linha pelo polinómio auxiliar (ver ex. 4) Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 21

22 Etabilidade de Sitema Critério de Etabilidade de Routh (cont.) Exemplo 6: Seja A tabela de Routh é dada por = ( 1) ( + 2) = 1 3 ε ε 2 Como e pode verificar há dua mudança de inal na 1ª coluna, o que etá de acordo com a factorização da equação caracterítica que acima e indica. Nota: Atendendo ao critério de Routh, nete exemplo, não era neceário contruir a tabela de Routh para abermo que o itema era intável. Batava obervar a equação caracterítica onde há um coeficiente nulo. No entanto, já a teríamo de contruir cao pretendêemo ajutar um parâmetro de ganho K para a repota ter um comportamento deejado (ex. erro etacionário nulo). Joé Sá da Cota T9 - Análie de Sitema no Tempo - Etabilidade 22