CONTROLO DE SISTEMAS. APONTAMENTOS DE MATLAB CONTROL SYSTEM Toolbox. Pedro Dinis Gaspar António Espírito Santo J. A. M.

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1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROMECÂNICA CONTROLO DE SISTEMAS APONTAMENTOS DE MATLAB CONTROL SYSTEM Toolbox Pedro Dini Gapar António Epírito Santo J. A. M. Felippe de Souza Edição Abril

2 ÍNDICE. - INTRODUÇÃO REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS EM ESPAÇO DE ESTADOS CONVERSÃO DA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS Converão da repreentação de itema para função de tranferência Converão da repreentação de itema para epaço de etado Obtenção do Pólo, Zero e Ganho do itema MODELAÇÃO DE SISTEMAS BLOCOS EM CASCATA SOMADOR DE BLOCOS REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA DE SISTEMAS REALIMENTAÇÃO NÃO UNITÁRIA DE SISTEMAS CONSTRUÇÃO DE SISTEMAS DE ª ORDEM A PARTIR DE ϖ n E DE ζ RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO RESPOSTA A UMA ENTRADA EM DEGRAU UNITÁRIO RESPOSTA A UMA ENTRADA EM RAMPA UNITÁRIA RESPOSTA A UMA ENTRADA EM IMPULSO RESPOSTA A ENTRADAS COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO NULAS RESPOSTA A UMA ENTRADA ARBITRÁRIA ANÁLISE DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES MAPEAMENTO DE PÓLOS E ZEROS DE SISTEMAS EM MALHA ABERTA LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (ROOT LOCUS) ANÁLISE DE VALOR DO GANHO DE REALIMENTAÇÃO DO SISTEMA CURVAS DE ϖ n E DE ζ CONSTANTE RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA DIAGRAMAS DE BODE Diagrama de Bode : Módulo e Ângulo de Fae (BODE) Margem de Ganho e Margem de Fae DIAGRAMA DE NYQUIST DIAGRAMA DE NICHOLS (NICHOLS) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 38

3 . - INTRODUÇÃO Ete apontamento pretendem decrever e introduzir o comando báico da CONTROL SYSTEM Toolbox do MATLAB para permitir o etudo de itema dinâmico lineare. O documento tal como etá etruturado, preupõe alguma familiaridade de utilização do MATLAB, nomeadamente em termo de repreentação e manipulação de matrize e polinómio e ainda de elaboração de gráfico. O comando help control fornece uma lita da divera funçõe exitente na caixa de ferramenta : CONTROL SYSTEM Toolbox. Para obter informação mai detalhada obre cada uma da funçõe pode-e uar o comando help nome_da_função. Ete trabalho baeia-e em documento público diponívei na Internet, no manuai do MATLAB, no livro Solving Control Engineering Problem with MATLAB e na informaçõe diponívei na página da internet da companhia Mathwork. 3

4 . - REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS No MATLAB o itema dinâmico podem repreentar-e por intermédio de uma função de tranferência ou por um modelo em epaço de etado. Na repreentação por função de tranferência definem-e o coeficiente do polinómio do numerador e denominador. Na repreentação em epaço de etado definem-e a quatro matrize que caracterizam o modelo... REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA A chamada funçõe de tranferência ão funçõe uada para caracterizar a relaçõe entre entrada e aída de componente ou itema que poam er decrito por equaçõe diferenciai lineare invariante no tempo. A repreentação de itema em função de tranferência preupõe o emprego da tranformada de Laplace à equaçõe diferenciai lineare que decrevem o modelo matemático do itema dinâmico. Aim, a equação diferencial linear pode er tranformada numa equação algébrica compota por um numerador e um denominador, em função de uma variável complexa. Por exemplo, o eguinte itema que e encontra apreentado na forma de função de tranferência deverá er introduzido no MATLAB, pelo coeficiente da uceiva potência do polinómio que urgem ordenado por ordem ignificativa decrecente: Y ( R( 3 4 >> num [ 3 ] >> den [ 4 ] >> printy ( num, den ) Eta última função printy apreentará na Janela de Comando (Command Window, a função de tranferência que decreve o itema : num/den ^ 4.. REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS EM ESPAÇO DE ESTADOS Um itema dinâmico que conite num número finito de elemento concentrado pode er ecrito por equaçõe diferenciai ordinária em que o tempo é a variável independente. Fazendo uo de notação matricial-vectorial, uma equação diferencial de ordem n pode er repreentada por uma equação matricial-vectorial de primeira ordem. Se n elemento do vector ão um conjunto de variávei de etado, então a equação diferencial matricial vectorial é denominada de equação de etado. Dete modo, um itema repreentado na forma de equaçõe de etado erá dado por: 4

5 x& A x Bu y C x Du Coniderando o eguinte itema repreentado no epaço de etado, a ua introdução no MATLAB efectua-e pelo método comum de introdução de matrize na Janela de Comando: x& 3 x u y [.5]x >> A [ - ; 3 - ] >> B [ ] >>C [ -.5 ] >> D [ ].3. CONVERSÃO DA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS CONTÍNUOS O MATLAB poui divera funçõe que convertem a repreentação na qual o itema etá expreo. É poível realizar converõe de repreentação de itema de e para: - Função de Tranferência ( tranfer function tf ); - Epaço de Etado ( tate pace ); - Zero, Pólo e Ganho ( zero pole gain zp )..3.. Converão da repreentação de itema para função de tranferência É poível converter a repreentação de itema em equaçõe de etado ou a partir do pólo, zero e ganho atravé do uo da eguinte funçõe: tf zptf Converão de repreentação em epaço de etado para função de tranferência. Repreentação em função de tranferência a partir do Pólo, Zero e Ganho do itema. Conidere o eguinte itema dado na forma de equaçõe de etado: x& x u y [ ]x >> A [ - - ; - ] >> B [ ] >>C [ ] >> D [ ] >> [ num,den ] tf ( A, B, C, D ) 5

6 num den 4 5 Ito é, a função de tranferência do itema erá: num den 4 5 No cao do itema etar decrito pelo eu Pólo, Zero e Ganho, a converão para a repreentação em função de tranferência erá dada por: >> z % Zero do itema. >> p - i % Pólo do itema. >> p - i % Pólo do itema. >>k % Ganho. >> [ num,den ] zptf ( z, [ p p ], k ) Obtendo-e a mema função de tranferência do itema que anteriormente..3.. Converão da repreentação de itema para epaço de etado Tal como no item anterior, é poível converter a repreentação de itema em função de tranferência ou a partir do pólo, zero e ganho para a repreentação em epaço de etado atravé do uo da eguinte funçõe: tf zp Converão da função de tranferência para a repreentação em modelo de epaço de etado. Repreentação do modelo de epaço de etado a partir do Pólo, Zero e Ganho do itema. Conidere a função de tranferência do eguinte itema : Y ( R( 3 4 >> num [ 3 ] >> den [ 4 ] >> [ A, B, C, D ] tf ( num, den ) A ua repreentação em epaço de etado erá : A B

7 C D Se foem dado o Pólo, Zero e Ganho do itema, a converão para a repreentação em epaço de etado eguiria a mema metodologia apreentada para o cao da função de tranferência, tendo em conideração que e pretende obter a matrize A, B, C, D e não o numerador e denominador Obtenção do Pólo, Zero e Ganho do itema Dado qualquer itema repreentado no epaço de etado ou decrito por uma função de tranferência, é poível extrair o eu o Pólo, Zero e o Ganho atravé do uo da eguinte funçõe: tfzp zp Obtenção do Pólo, Zero e Ganho do itema a partir da função de tranferência. Obtenção do Pólo, Zero e Ganho do itema a partir da ua repreentação em epaço de etado. O Pólo, Zero e o Ganho do itema anteriore repreentado no epaço de etado e em forma de função de tranferência ão dado por : >> % Sitema repreentado na forma de equação de tranferência >> num [ ] >> den [ 5 ] >> [ z, p, k ] tfzp ( num, den ) >> % Sitema repreentado no epaço de etado >> A [ - - ; - ] >> B [ ] >>C [ ] >> D [ ] >> [ z, p, k ] zp ( A, B, C, D ) z p k - i - - i NOTA : Em todo o tipo de converõe apena é neceário ter em conideração que a função de tranferência é dada por um numerador e denominador, enquanto a repreentação em epaço de etado pela matrize A, B, C, D. A repreentação do itema pode ainda er exprea pelo eu Pólo (p), Zero (z) e Ganho (k). 7

8 3. - MODELAÇÃO DE SISTEMAS A CONTROL SYSTEM Toolbox do MATLAB poui um conjunto de funçõe que permitem obter repreentaçõe de itema contituído por divero ubitema interligado. O diagrama de bloco de um itema é uma repreentação ilutrativa da funçõe deempenhada por cada um do componente e fluxo de inai. Tal diagrama indica a interrelaçõe que exitem entre o vário componente. R( G( Y( 3.. BLOCOS EM CASCATA Eta função permite a aociação de bloco em cacata, tendo em conideração que o doi itema deverão er do memo tipo (contínuo ou dicreto. Aqui e doravante, conidera-e que um itema y pode etar repreentado : - Na forma de equação de tranferência : y num, den - No modelo de epaço de etado : y A, B, C, D A eguinte função implementa a aociação de bloco em cacata : >> y erie ( y, y ) R( y y Y( Ete comando é equivalente à multiplicação de polinómio no cao do itema etarem repreentado na forma de equação de tranferência que faz uo da função conv. Por exemplo, dado o polinómio : y : num den 3 y : num den A ua multiplicação é obtida a partir de: >> num [ ] >> den [ 3 ] >> num [ ] >>den [ ] 8

9 >>num conv ( num, num ) >>den conv ( den, den ) num den Ito é : y Y ( ) R ( ) num den 4 8 : SOMADOR DE BLOCOS Eta função permite a concepção de bloco em paralelo, tendo em conideração que o doi itema deverão er do memo tipo (contínuo ou dicreto. >> y parallel ( y, y ) y R( Y( y Ete comando é equivalente à oma directa de polinómio no cao do itema etarem repreentado na forma de equação de tranferência REALIMENTAÇÃO UNITÁRIA DE SISTEMAS A obtenção de um itema de malha fechada com realimentação unitária ( cloed loop ) é dada pela utilização do eguinte comando : >> y cloop ( G ) R( - G( Y( 9

10 Coniderando o itema de malha aberta G(, o itema de malha fechada com realimentação unitária Y(/R( erá dado por : num 6 G ( den 5 Y ( R( n d G( G( 6 >> num [ 6 ] >> den [ 5 ] >> [n,d] cloop ( num, den ) n d REALIMENTAÇÃO NÃO UNITÁRIA DE SISTEMAS A obtenção de um itema de malha fechada com realimentação não unitária é dada pela utilização do eguinte comando : >> y feedback ( G, H ) R( - G( Y( H( Coniderando o itema contituído pelo bloco G( e H( : G ( num den H ( num den A função de tranferência de malha aberta do itema erá dada por : G(H( : G ( H ( num3 den3 ( ) E a função de tranferência de malha fechada do itema Y(/R( erá dada por :

11 Y ( R( num den G( G( H ( >> num [ ] >> den [ ] >> num [ ] >> den [ ] >> [ num, den ] feedback ( num, den, num, den ) num den NOTA : Por defeito, aume-e que feedback(y,y repreenta realimentação não unitária negativa. Para aplicar realimentação não unitária poitiva utilizar o comando : feedback(y,y, ) CONSTRUÇÃO DE SISTEMAS DE ª ORDEM A PARTIR DE n E DE ζ Coniderando um itema de ª Ordem expreo por : Y ( R( num den ς n n A ua contrução na forma de função de tranferência ou no epaço de etado pode er realizada a partir da frequência natural : n e do coeficiente de amortecimento : ζ. No cao de e pretender gerar um itema na forma de equação de tranferência com uma frequência natural de n.4 [rad/eg] e com um coeficiente de amortecimento : ζ.4 deverá introduzir-e na Janela de Comando : >> [ num, den ] ord (.4,.4 ) num den Que correponde à função de tranferência : Y ( R( num den

12 4. - RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO Na análie e projecto de itema de controlo é neceário pouir uma bae de comparação do deempenho de vário dee itema. Eta bae pode er obtida epecificando-e inai de tete de entrada particulare e comparando-e a repota do vário itema. O inai de entrada de tete típico uualmente utilizado ão a funçõe degrau, rampa e impulo. A determinação de qual ou quai dete inai de entrada típico devem er uado para analiar a caracterítica do itema depende da forma da entrada a que o itema erá ujeito mai frequentemente durante a operação normal. Durante o projecto de um itema de controlo, deverá er previto o comportamento dinâmico do itema a partir do conhecimento do componente. A caracterítica mai importante do comportamento dinâmico de um itema de controlo é a Etabilidade Aboluta, ito é, e o itema é etável ou intável. Um itema de controlo etá em equilíbrio e, na auência de qualquer perturbação ou entrada, a aída permanece no memo etado. Mai epecificamente, um determinado itema de controlo invariante no tempo e linear é etável e a aída voltar ao eu etado de equilíbrio quando o itema é ujeito a uma perturbação. A CONTROL SYSTEM Toolbox do MATLAB poui um conjunto de funçõe que permitem obter a repota de um itema no domínio do tempo. Cada uma deta funçõe erá objecto de uma decrição detalhada no iten que e eguem. 4.. RESPOSTA A UMA ENTRADA EM DEGRAU UNITÁRIO A repota de itema a degrau unitário, apreenta caracterítica totalmente diferente entre itema de ª Ordem e itema de Ordem uperior (Nete item erá dada atenção epecial ao itema de º Ordem). Coniderando que a função de tranferência de malha fechada de um determinado itema é dada por : Y ( R( num den K ς n n n O comportamento dinâmico dete itema de ª Ordem pode er decrito pela frequência natural: n e pelo coeficiente de amortecimento : ζ. < ζ < : Sitema ub-amortecido Repota traniente ocilatória. ζ : Sitema criticamente amortecido Repota traniente não ocilatória. ζ > : Sitema obre-amortecido Repota traniente não ocilatória. É neceário efectuar uma definição da epecificaçõe da repota traniente de itema de ª Ordem a uma entrada em degrau unitário, já que frequentemente a caracterítica de deempenho deejada para o itema de controlo ão epecificada em termo de grandeza no domínio do tempo para um tipo de entrada que eja imple, ma evera (cao da entrada em degrau unitário):

13 Tempo de Atrao : t d Correponde ao tempo neceário para que a repota alcance (pela primeira vez) metade do valor final. Tempo de Subida : t r Por norma, correponde ao tempo neceário para que a repota pae de % a % do eu valor final. Sabendo que a Frequência Natural Amortecida é dada por : d n ς O Tempo de Subida virá : t r d tan d ς n Intante de pico : t p Correponde ao tempo neceário para que a repota alcance o primeiro pico do Sobreinal (Overhoot) : t p π d Sobre-inal Máximo (Overhoot) : M p Valor de pico da curva da repota medido a partir do valor final de regime etacionário da repota. Geralmente é definido em termo percentuai : M p e ς π ς Tempo de Etabelecimento : t ac Correponde ao tempo neceário para que a curva da repota alcance e permaneça dentro de uma faixa em torno do valor final. Por norma, eta faixa é epecificada com uma magnitude dada por uma percentagem aboluta de % ou 5% do valor final. t ac ( %) 4 ς n t ac ( 5%) 3 ς n O MATLAB não poui funçõe para retirar automaticamente o valore deta epecificaçõe da repota de itema de ª Ordem no domínio do tempo, logo terão que er calculado aritmeticamente apó a obtenção da curva da repota do itema. 3

14 A função tep calcula a repota de um itema no domínio do tempo a uma entrada em degrau unitário. É coniderado um etado inicial nulo quando o itema etá repreentado no epaço de etado. Quando o comando é utilizado em argumento, eta função gera o traçado da repota ao degrau unitário na Janela Gráfica. A duração da imulação é determinada automaticamente baeada no Pólo e Zero do itema. >> tep ( y ) No entanto, no cao de e pretender a obtenção do valore da repota do itema (da aída: y, tempo: t e a trajectória de etado: x), deverão er utilizado o argumento no comando. O traçado da repota do itema poderá er obtido atravé da utilização da função báica do MATLAB para a criação de gráfico: plot : y num, den : Função de tranferência ou y A, B, C, D : Modelo em epaço de etado. >> [ y, t ] tep ( y ) % Sitema repreentado por função de tranferência. >> [ y, x, t ] tep ( y ) % Sitema repreentado por um modelo em epaço de etado. >> plot ( t, y ) Do memo modo, o utilizador poderá etabelecer a duração da imulação atravé da impoição do tempo: >> t :. : >> tep ( y,t ) A função tep permite a introdução de ditinto argumento que definam vário itema, de modo a que ejam apreentado o traçado da repota obrepoto na mema Janela Gráfica, podendo o tipo, core e marcadore da linha de cada itema erem definido como na funçõe báica de criação de gráfico: >> tep ( y, y:, y, g- ) Conidere a função de tranferência de malha fechada do eguinte itema : Y ( R( num den A repota do itema no domínio do tempo a uma entrada em degrau unitário (R(/, conite em : num 5 num Y ( R( Y ( den 4 5 den A linha de comando a introduzir para a viualização da repota do itema, erão : >> num [ 5 ] >> den [ 4 5 ] 4

15 >> tep ( num, den ) num den Step Repone..8 Amplitude Time (ec.) NOTA : O itema também poderá etar repreentado no epaço de etado, endo a repota a um degrau unitário obtida com a função exprea do eguinte modo : tep(a,b,c,d) 4.. RESPOSTA A UMA ENTRADA EM RAMPA UNITÁRIA O MATLAB não dipõe de nenhuma função para obter a repota de um itema no domínio do tempo a uma entrada em rampa unitária. Para e obter a repota temporal a ete inal de entrada particular, utiliza-e a função tep aumentando um grau o coeficiente da uceiva potência do polinómio que traduzem o denominador da função de tranferência do itema. A metodologia de utilização do comando permanece igual ao cao anterior. Coniderando a mema função de tranferência do itema, a repota do itema no domínio do tempo a uma entrada em rampa unitária (R(/ ), conite em : Y ( num den R( Y ( num den Y ( num den 5 4 ( 5) 5

16 Tal que a funçõe a introduzir na Janela de Comando para a viualização da repota do itema, erão : >> num [ 5 ] >> den [ 4 5 ] >>den [ ] >> den conv ( den, den ) >> tep ( num, den ) num den Ramp Repone Amplitude Time (ec.) O Erro Etacionário para a repota no domínio do tempo de um itema de ª Ordem ujeito a uma entrada em rampa unitária é dado por : e ς n 4.3. RESPOSTA A UMA ENTRADA EM IMPULSO A função impule calcula a repota de um itema no domínio do tempo a uma entrada em impulo. A ua aplicação etá ujeita ao memo procedimento e retriçõe que a função tep. A repota do itema anterior no domínio do tempo a uma entrada em impulo de Dirac (R(), conite em : 6

17 num 5 num Y ( R( Y ( den 4 5 den A linha de comando a introduzir para a viualização da repota do itema, erão : >> num [ 5 ] >> den [ 4 5 ] >> impule ( num, den ) num den Impule Repone 3.5 Amplitude Time (ec.) Como a repota a uma entrada em impulo correponde à derivada temporal da repota a uma entrada em degrau unitário, o Sobre-inal Máximo (Overhoot) para a repota a degrau unitário pode er determinado a partir da correpondente repota ao impulo, já que a área ob a curva de repota ao impulo de Dirac dede t até t p (tempo do primeiro cruzamento com zero) é dada por : M p Onde M p correponde ao Sobre-inal Máximo (Overhoot) para a repota a degrau unitário. 7

18 4.4. RESPOSTA A ENTRADAS COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO NULAS. A função initial gera a repota no domínio do tempo de um itema no epaço de etado com condiçõe iniciai não nula. Coniderando um itema repreentado no epaço de etado com condiçõe iniciai não nula : x& A x Bu y C x x( ) x A linha de comando que poibilitam a obtenção da repota do itema a ete tipo particular de entrada ão: >> initial ( y, x ) Coniderando o eguinte itema repreentado no epaço de etado :.557 x&.784 y.784 x [ ] x Sujeito à condiçõe iniciai : x() A repota do itema anterior no domínio do tempo conitirá na introdução da eguinte funçõe na Janela de Comando : >> A [ ;.784 ] >> B [ ] >> C [ ] >> D [ ] >> x [ ] >> initial ( A, B, C, D, x ) 8

19 Initial Condition Reult Amplitude Time (ec.) NOTA : A aplicação deta função etá ujeita ao memo procedimento e retriçõe que a funçõe anteriore RESPOSTA A UMA ENTRADA ARBITRÁRIA A função lim ( linear imulation ) imula a repota de um itema no domínio do tempo a uma entrada arbitrária. Faz uo da mema intaxe que a funçõe anteriore, etá ujeita à mema metodologia de formulação e poui a mema limitaçõe. >> lim ( y, u, t ) A matriz repreentativa da função de entrada : u deverá pouir tanta coluna como a dimenão do vector repreentativo da amotragem de tempo : t (length(t)). Além deta particularidade, a função lim poderá gerar a repota a entrada arbitrária de itema repreentado no epaço de etado com condiçõe iniciai não nula. Para tal, a intaxe a utilizar erá dada por : >> lim ( y, u, t, x ) Coniderando a função de tranferência do itema : Y ( R( num den 5 9

20 Pretende-e obter a repota a uma entrada correpondente a uma onda quadrada com um período de 4 [eg]. Inicialmente, gera-e a onda quadrada com a função genig ( generate ignal ) coniderando uma amotragem cada. [eg] durante [eg] e poteriormente imula-e a repota do itema: >> [ u, t ] genig ( quare, 4,,. ) >> num [ - ] >> den [ ] >> lim ( num, den, u, t ) num den - Linear Simulation Reult.5 Amplitude Time (ec.) NOTA : A função genig gera um inal periódico ecalar u da clae type e período tau, para imulaçõe no domínio do tempo atravé do uo da função lim. A função uporta a eguinte clae de inal : type in : Onda inuoidal. type quare : Onda quadrada. type pule : Impulo periódico. >> [ u, t ] genig ( type, tau )

21 5. - ANÁLISE DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES A caracterítica báica da repota traniente de um itema em malha fechada etá intimamente relacionada com a localização do pólo de malha fechada. Se o itema tiver um ganho de malha variável, então a localização do pólo de malha fechada depende do valor do ganho de malha ecolhido. Aim, é importante durante o projecto de um itema de controlo aber qual a movimentação do pólo malha fechada no plano em função do ganho. Em algun itema, bata efectuar ajute do ganho de modo a mover o pólo de malha fechada para o locai deejado, pelo que o projecto do itema de controlo reide na elecção de um ganho apropriado. O pólo de malha fechada ão a raíze da equação caracterítica ( p( G(. H( ). O método do Lugar Geométrico da Raíze conite na determinação da raíze da equação caracterítica, colocada num gráfico para todo o valore de um parâmetro do itema. Notee que o parâmetro uualmente variado é o ganho da função de tranferência de malha aberta. 5.. MAPEAMENTO DE PÓLOS E ZEROS DE SISTEMAS EM MALHA ABERTA A função pzmap gera um gráfico com o mapeamento do Pólo e do Zero de um itema contínuo ou dicreto. O Pólo ão repreentado por X e o Zero repreentado por O. Quando o comando é utilizado em argumento, eta função gera o mapeamento do Pólo e do Zero do itema na Janela Gráfica. Em cao contrário, apreenta dua coluna correpondente ao Pólo : p e ao Zero : z, em gerar qualquer gráfico : >> pzmap ( y ) % Geração do gráfico com o mapeamento do pólo e do zero do itema. >> [ p, z ] pzmap ( y ) % Obtenção do valore do pólo e do zero. Coniderando a função de tranferência de malha aberta do itema, pretende-e obter o mapeamento do Pólo e do Zero : num G ( ) den 5 3 >> num [ 5 ] >> den [ 3 ] >> pzmap ( num, den ) num den 5 3

22 .5 Pole zero map.5 Im ag Axi Real Axi 5.. LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (ROOT LOCUS) A função rlocu calcula o Lugar Geométrico da Raíze ( Root Locu ) para um itema de malha aberta em função da variação do ganho k dede zero até infinito. O Lugar Geométrico da Raíze indica a trajectória do Pólo de malha fechada do itema em função do ganho de realimentação k (aumindo realimentação negativa). O Lugar Geométrico da Raíze é uado no etudo do efeito da variação do ganho de realimentação na localização do Pólo de malha fechada. A diferente topologia de funçõe de tranferência de malha aberta de itema para implementação da função rlocu, ão dada por : R( - G( Y( R( - G( Y( k k H( F.T.M.A. : y G( F.T.M.A. : y H( G( R( - G( H( Y( k F.T.M.A. : y G( H(

23 Se o itema poui uma função de tranferência de malha aberta dada por : num G ( ) den n( d( O Pólo de malha fechada do itema ão dado pela raíze de: d ( k n( Quando o comando é utilizado em argumento, eta função gera o traçado da trajectória do Pólo em função do ganho na Janela Gráfica. Em cao contrário, apreenta dua coluna correpondente à localização da raíze complexa: r e repectivo Ganho : k, em gerar qualquer gráfico : > > rlocu ( y ) % Geração do traçado da trajectória do pólo. > > rlocu ( y, k ) % Geração do traçado da trajectória do pólo para um determinado ganho. > > [ r, k ] rlocu ( y ) % Obtenção da localização da raíze complexa e repectivo ganho. >> r rlocu ( y, k ) % Obtenção da localização da raíze complexa para um ganho fixo. No cao de e pretender determinar e viualizar a trajectória do itema dado pela eguinte função de tranferência de malha aberta : num ) G ( ) den K ( ( ) ( 4 68 ) > > num conv ( [ ], [ ] ) > > den conv ( [ - ], [ 4 68 ] ) >> rlocu ( num, den ) 5 R oot Locu 5 5 Imag Axi Real Axi 3

24 5.3. ANÁLISE DO VALOR DO GANHO DE REALIMENTAÇÃO DO SISTEMA A função rlocfind utiliza a regra da magnitude do Lugar Geométrico da Raíze para determinar o Ganho para uma localização particular da raíze. Trata-e por defeito de uma função interactiva, já que permite ao utilizador eleccionar a localização da raíze no traçado do Root Locu para a quai pretende determinar o ganho de realimentação. No entanto, pode er utilizada com argumento de modo a calcular o ganho de realimentação para uma localização epecifica da raíze. >> [ k, pole ] rlocfind ( y ) % Obtenção do ganho de realimentação interactivamente. >> [ k, pole ] rlocfind ( y, p ) % Obtenção do ganho de realimentação para uma localização epecifica CURVAS DE n CONSTANTE E DE ζ CONSTANTE A função grid tem como objectivo gerar uma grelha na plano de curva de frequência natural contante e de coeficiente de amortecimento contante. A grelha é gerada obre o traçado do Lugar Geométrico da Raíze ou obre o Mapeamento do Pólo e Zero obtido anteriormente, com um epaçamento de. dede até para a curva de coeficiente de amortecimento contante, e com um epaçamento de [rad/eg] dede até [rad/eg] para a curva de frequência natural contante. Pode-e epecificar como argumento a linha de coeficiente de amortecimento contante : ζ (zeta) e a linha frequência natural contante : ϖ n que e pretendem viualizar. >> grid >> grid ( zeta, wn ) A linha de grelha no plano de coeficiente de amortecimento contante e de frequência natural contante do itema para o qual foi obtido traçado da trajectória do Pólo (Root Locu adicionando a função grid :.5.5 Axi Im ag Real Axi 4

25 6. - RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Pelo termo repota em frequência entende-e a repota em regime etacionário de um itema ujeito a uma entrada inuoidal. Na análie e projecto de itema de controlo ão utilizado o método convencionai de repota em frequência, que conitem no etudo da repota no domínio da frequência reultante em função da variação numa faixa de interee, da frequência do inal de entrada. A CONTROL SYSTEM Toolbox do MATLAB poui um conjunto de funçõe que permitem analiar a repota no domínio da frequência de um dado itema. O traçado de Bode, Nyquit e Nichol repreentam o método convencionai mencionado anteriormente, abendo que em qualquer do cao o itema pode er decrito por uma função de tranferência ou por um modelo em epaço de etado. 6.. DIAGRAMAS DE BODE Uma função de tranferência inuoidal é uma função complexa da frequência, endo caracterizada pelo eu Módulo e Ângulo de Fae. Aim, um Diagrama de Bode é definido por doi gráfico eparado : Gráfico do logaritmo do Módulo de uma função de tranferência inuoidal e o Gráfico do Ângulo de Fae, endo ambo contruído em função da frequência em ecala logarítmica. A principal vantagem em utilizar um gráfico com ecala logarítmica reide na facilidade de traçado da curva da repota no domínio da frequência. A evoluçõe em frequência do factore báico que mai frequentemente e encontram numa função de tranferência arbitrária : G(j) H(j) ão evolutivo para a vária frequência de corte : - Ganho : k B. Módulo : log ( k ) [ db] k B Inclinação da recta : [db/dec] Ângulo de Fae : k º B Bode Diagram.5 Phae (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/ec) 5

26 - Factor integral (Pólo na Origem) : (j) -. Módulo : G ( j ) log log ( ) j [ db] Inclinação da recta : - [db/dec] Ângulo de Fae : G ( j ) 9º Bode Diagram ; Ma gnitud e (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) - Factor derivativo (Zero na Origem) : (j). Módulo : G ( j ) log j log ( ) [ db] Inclinação da recta : [db/dec] Ângulo de Fae : G ( j ) 9º Bode Diagram 4 Phae (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/ec) NOTA : A repreentação dete factore no Gráfico do logaritmo do Módulo e do Ângulo de Fae, acarreta uma inclinação da recta e uma variação do Ângulo de Fae com o valore epecificado a partir da frequência de corte. 6

27 - Factor de primeira ordem (Pólo reai : ( jt ) -. Módulo : G ( j ) log log j T ( T ) [ db] ( ) G ( j ) log T log () [ db] << T >> T G ( j ) log ( T ) log ( T ) [ db] Inclinação da recta : - [db/dec] Ângulo de Fae : G ( j ) tan ( T ) << >> T G ( j ) tan G ( j ) tan T T tan T tan ( ) º ( ) 9º Bode Diagram -5 Ph ae (d eg); M agnitu de (db) Frequency (rad/ec) - Factor de primeira ordem (Zero reai : ( jt ). Módulo : G ( j ) log j T log ( T ) [ db] << G ( j ) log T ( T ) log () [ db] ( T ) log ( T ) [ ] >> G ( j ) log db T Inclinação da recta : [db/dec] 7

28 Ângulo de Fae : G ( j ) tan ( T ) << >> T G ( j ) G ( j ) tan tan T T tan T tan ( ) º ( ) 9º Bode Diagram 5 Phae (deg); Ma gnitude (db) Frequency (rad/ec) NOTA : A repreentação dete factore no Gráfico do logaritmo do Módulo e do Ângulo de Fae, acarreta uma inclinação da recta e uma variação do Ângulo de Fae com o valore epecificado a partir da frequência de corte. - Factor quadrático (Pólo complexo : [ ζ(j/ n ) (j/ n ) ] -. Módulo : G ( j ) log ς j j n n log ς n n [ db] << n G ( j ) log() [ db] >> n G j ( ) log n 4 log n [ db] Inclinação da recta : - 4 [db/dec] 8

29 Ângulo de Fae : G ( j ) tan ς n n G ( j ) º G ( j ) 9º n G ( j ) 8º Bode Diagram - Phae (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/ec) - Factor quadrático (Zero complexo : [ ζ(j/ n) (j/ n) ]. Módulo : G ( j ) log ς j j n n log n ς n [ db] << n G ( j ) log () [ db] >> n G j ( ) log n 4 log n [ db] Inclinação da recta : 4 [db/dec] 9

30 Ângulo de Fae : G ( j ) tan ς n n G ( j ) º G ( j ) n 9º G ( j ) 8º Bode Diagram 4 3 Phae (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/ec) - Frequência de Reonância r e Pico de Reonância M r. Denomina-e por Frequência de Reonância, a frequência em que G( poui um valor de pico : ς ς.77 r n O valor de pico de G(, ou Pico de Reonância é dado por : M r ς ς ς.77 M r ς.77 NOTA : A repreentação dete factore no Gráfico do logaritmo do Módulo e do Ângulo de Fae, acarreta uma inclinação da recta e uma variação do Ângulo de Fae com o valore epecificado a partir da frequência de corte. É neceário ter em conideração que a amplitude do Pico de Reonância depende do valor do coeficiente de amortecimento, o que e vai reflectir em erro na curva ainptótica do gráfico do Módulo, bem como no gráfico do Ângulo de Fae. 3

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