Controle de Processos Aula: graus de liberdade, variáveis de desvio e linearização

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1 Controle de Proceo Aula: grau de liberdade, variávei de devio e linearização Prof. Eduardo Stockler Tognetti Departamento de Engenharia Elétrica Univeridade de Braília UnB 1 o Semetre 2015 E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 1/12

2 Sumário 1 Grau de liberdade 2 Variávei de devio 3 Linearização E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 1/12

3 Análie de grau de liberdade O grau de liberdade de um proceo ão a variávei independente que devem er epecificada para definir o proceo completamente (repota do conjunto de equaçõe que repreentam a dinâmica do itema). O controle do proceo no ponto fixo epecificado ó é obtido e, e omente e, todo o grau de liberdade tiverem ido epecificado. Grau de liberdade grau de liberdade = no. var. independente - no. eq. independente f = V E Cao 1 f = 0: proceo exatamente epecificado 2 f > 0: proceo ub-epecificado (infinita oluçõe) 3 f < 0: proceo uper-epecificado (em olução) E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 2/12

4 Análie de grau de liberdade Obervaçõe: Determinação incorreta e informaçõe relevante forem deprezada ou equaçõe redundante incluída. Lei de controle introduz equação adicional entre a variávei medida e manipulada e reduz por 1 o grau de liberdade do proceo. Manipulação do grau de liberdade Em geral f > 0. Há dua forma de e diminuir f (aumentar E): 1 Ambiente externo (variávei de ditúrbio): d(t) = f(t) f = f 0 N d 2 Objetivo (lei) de controle (variávei manipulada): mv(t) = f(y i) f = f 0 N mv Grau de liberdade de controle (f c): variávei que podem er controlada de forma independente f c = f N d. Uualmente, ma não empre, f c = N mv E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 3/12

5 Sumário 1 Grau de liberdade 2 Variávei de devio 3 Linearização E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 3/12

6 Variávei de devio Interee no etudo da repota de proceo e eu itema à variávei de entrada (ditúrbio e variávei manipulada) eliminação do efeito da condiçõe iniciai obre a repota Procedimento para definir a variávei de devio 1 Dada a variávei de entrada, upor que a condiçõe iniciai y(0) etão em etado etacionário dy(0) = 0 2 Subtituir a variável de aída y por eu devio do valor inicial ỹ(t) = y(t) y(0) Portanto, d n ỹ(t) n = dn y(t) n E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 4/12

7 Variávei de devio Conidere a equação linear diferencial de n-éima ordem: a ny (n) +a n 1y (n 1) +...+a 0y = b nu (m) +b m 1u (m 1) +...+b 0u +c (1) em que n > m, y(t) é a variável de aída, u(t) é a variável de entrada e c uma contante. Em etado etacionário Subtraindo (2) de (1), a 0y(0) = b 0u(0)+c (2) a nỹ (n) +a n 1ỹ (n 1) +...+a 0ỹ = b nũ (m) +b m 1ũ (m 1) +...+b 0ũ (3) em que ỹ(t) = y(t) y(0) e ũ(t) = u(t) u(0). Portanto, é poível reecrever (3) na forma de função de tranferência (condição inicial nula), Y() = bmm +b m 1 m b 0 a n n +a n 1 n a 0 U() (4) E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 5/12

8 Sumário 1 Grau de liberdade 2 Variávei de devio 3 Linearização E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 5/12

9 Linearização de itema multivariávei Seja o itema não-linear dx(t) = f(x(t),y(t),z(t)). (5) Deeja-e linearizar (5) em torno do ponto de operação em regime permanente = (x(0),y(0),z(0)) = (x,y,z). Em etado etacionário f(x,y,z) = 0. (6) Linearizando em torno de, ou eja, expandindo (5) em érie de Taylor e deprezando o termo de ordem maior ou igual a doi, tem-e dx(t) = f(x(t),y(t),z(t)) f(x,y,z) + + f x (x(t) x)+ f y (y(t) y)+ f z (z(t) z). (7) E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 6/12

10 Linearização de itema multivariávei Definindo a variávei de devio x(t) x(t) x, ỹ(t) y(t) y, z(t) z(t) z (8) e ubtraindo (7) por (6), obtém-e em que c x f x, d x(t) = c x x(t)+c yỹ(t)+c z z(t), (9) c y f y, c z f z e d x(t) = d(x(t) x) = dx(t). E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 7/12

11 Linearização de itema multivariávei Portanto aplicando a Tranformada de Laplace em (9) X() c x X() = c y Ỹ()+c z Z(), (10) pode-e obter a funçõe de tranferência relacionando a variável x(t) com y(t) e z(t), X() = cy/cx cz/cx (11) 1 1 c x 1Ỹ()+ c x 1 Z(). E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 8/12

12 Linearização de itema multivariávei Obervação I A partir de (5), pode-e ecrever e portanto d x(t) = dx(t) dx dx = f(x,y,z), (12) = f(x(t),y(t),z(t)) f(x,y,z). (13) Definindo f(x(t),y(t),z(t)) f(x(t),y(t),z(t)) f(x,y,z), (14) e = (x,y,z), de Taylor tem-e d x(t) = f(x(t),y(t),z(t)) f x x(t)+ f y ỹ(t)+ f z z(t). (15) E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 9/12

13 Linearização de itema multivariávei Obervação II É poível fazer a ubtração da equação em regime traniente pela de regime permanente ante de linearização. Defina g(x,y,z) como o itema apó a ubtração g(x,y,z) dx(t) = f(x(t),y(t),z(t)) f(x,y,z) (16) e aplicando a expanão em érie de Taylor em g(x(t),y(t),z(t)), tem-e g(x(t),y(t),z(t)) g(x,y,z)+ g x (x(t) x)+ g y (y(t) y)+ g z (z(t) z) = g x x(t)+ g y ỹ(t)+ g z z(t) = f x x(t)+ f y ỹ(t)+ f z z(t), e portanto (9) é obtido. E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 10/12

14 Linearização de itema multivariávei Obervação III Um ponto importante é que linearizar um produto de funçõe que eta endo derivado poderá fornecer reultado diferente em relação à aplicação da regra da cadeia. Como exemplo, eja g(h(t),t(t)) = h(t)t(t). Linearizando g em torno de h e T tem-e g(h(t),t(t)) h T +T h(t)+h T(t) e portanto d d h(t) g(h(t),t(t)) = T difere do reultado aplicando a regra da cadeia +h d T(t) d h(t)t(t) = T(t)dh(t) +h(t) dt(t) = T(t) d h(t) (17) +h(t) d T(t). (18) E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 11/12

15 Linearização de itema multivariávei Regra geral para o procedimento de linearização 1 Se houver a derivada do produto de funçõe aplique a regra da cadeia e verifique e é poível ubtituir um do termo por outra equação proveniente de um balanço de maa ou energia; 2 Manipule a equação diferencial de forma a deixá-la como em (5), iolando no lado equerdo omente a derivada; 3 Faça a análie de etado etacionário para determinar ponto de operação; 4 Aplique a expanão em érie de Taylor em torno do ponto de operação, derivando a variávei dependente do tempo e deprezando o termo de ordem igual ou uperior a 2; 5 Subtraía da equação em regime permanente, reultando em (9); 6 Defina a variávei de devio; 7 Aplique a tranformada de Laplace e obtenha a funçõe de tranferência do itema em termo da variávei de devio. E. S. Tognetti (UnB) Controle de proceo 12/12