B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

Transcrição

1 Função de Transferência Relação Entrada-Saída Desejamos obter a expressão M(s) = Y(s) R(s) Para obter essa expressão, devemos realizar uma analise de algebra de blocos. Perceba que a relação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de erro atuante E(s) é 1 of 42 FT de malha aberta = B(s) E(s) = G(s)H(s)

2 A relação entre o sinal de saída Y(s) e o sinal de erro atuante é chamada de função de transferência do ramo direto, FT de ramo direto = Y(s) E(s) = G(s) A expressão que relaciona a saída Y(s) e a entrada R(s) é obtida como: Y(s) = G(s)E(s) Realizando-se a substituição, tem-se: E(s) = R(s) B(s) = R(s) Y(s)H(s) Y(s) = G(s)[R(s) Y(s)H(s)] Y(s)[1+G(s)H(s)] = G(s)R(s) Portanto, a função de transferência de malha fechada é dada por: Y(s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) 2 of 42

3 Diagrama de Blocos Os elementos de um diagrama de blocos são listados a seguir: Seta: representação do sentido do fluxo de sinal. Bloco: operação matemática sobre o sinal de entrada que produz a saída. Normalmente uma função de transferência. Ponto de soma: círculo com o símbolo + que indica uma operação de soma. O sinal do lado externo determina se é realizada soma ou subtração. Ponto de junção: ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma. 3 of 42

4 Propriedades dos Diagramas de Blocos Associação em Cascata (Série): Associação em Paralelo: Realimentação Negativa: 4 of 42

5 5 of 42 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

6 6 of 42 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

7 Gráfico de Fluxo de Sinais Consiste em uma rede na qual os nós são conectados por ramos direcionados. Os nós correspondem às variáveis do sistema e um ramo relaciona as variáveis de entrada e saída pela multiplicação por um ganho. Definições Básicas Nó - ponto que representa uma variável. Transmitância - Ganho entre dois nós. Ramo - Segmento direcionado que conecta dois nós aplicando um ganho à variável de entrada. Nó de entrada - Nó que tem somente ramos de saída. Nó de saída - Nó que tem somente ramos que chegam. Nó misto - Nó que possui ambos tipos de ramos. Caminho - Percurso através dos ramos. Malha - Caminho fechado. Malhas que não se tocam - aquelas que não possuem nós em comum. Caminho de avanço - Caminho que inicia em um nó de entrada e termina em um de saída sem passar por nenhum nó mais do que uma vez. 7 of 42

8 Exemplo 8 of 42

9 Propriedades dos Gráficos de Fluxo de Sinais 9 of 42

10 Representação de Sistemas Lineares x 1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +b 1 u 1 x 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +b 2 u 2 x 3 = a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 10 of 42

11 Representação de Sistemas Lineares 11 of 42

12 Fórmula de Ganho de Mason P = 1 P k k k P k : ganho do caminho direto de ordem k : determinante do gráfico = 1 a L a + b,c L bl c d,e,f L dl e L f (1 - soma dos ganhos das malhas + soma dos produtos dos ganhos das combinações de duas malhas que não se tocam - mesma coisa para combinações de três malhas +...) k : cofator do k-ésimo caminho direto do gráfico de onde foram removidas todas as malhas que tocam esse caminho. 12 of 42

13 Exemplo Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason. 13 of 42

14 Exemplo Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason. 14 of 42

15 Homework Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason. 15 of 42

16 Modelagem de Sistemas Elétricos Algumas relações envolvendo componentes elétricos básicos: 16 of 42

17 Exemplo (Função de Transferência) Encontre a função de transferência E o (s)/e i (s) do seguinte circuito RLC: Aplicando a lei da tensões de Kirchhoff e depois a transformada de Laplace (com condições iniciais nulas), tem-se: L di(t) dt +Ri(t)+ 1 C LsI(s)+RI(s)+ 1 Cs I(s) = E i(s) E o (s) = 1 Cs I(s) I(s) = CsE o(s) i(t)dt = e i (t) e e o (t) = 1 C i(t)dt 17 of 42

18 Exemplo (continuação) Portanto, LCs 2 E o (s)+rcse o (s)+e o (s) = E i (s) E o(s) E i (s) = 1 LCs 2 +RCs +1 Exemplo (Elementos em Cascata) E o (s) E i (s) = 1 (R 1 C 1 s +1)(R 2 C 2 s +1)+R 1 C 2 s 18 of 42

19 Para componentes conectados em série, a impedância total é a soma das impedâncias das componentes. Z equiv = Z 1 +Z Z n Para componentes conectados em paralelo, a inversa da impedância total é a soma das inversas das impedâncias das componentes. 19 of 42 1 Z equiv = 1 Z Z Z n

20 Impedância RC A impedância equivalente resultante de um R em série com C é Z equiv = R + 1 sc = scr +1 sc A impedância equivalente resultante de um R em paralelo com C é 1 = 1 1+sCR +sc = Z equiv R R Z equiv = R 1+sCR 20 of 42

21 + Z 1 + V i Z 2 V o A relação entrada-saída do circuito é dada por V o V i = Z 2 Z 1 +Z 2 Homework Elabore um circuito usando apenas resistores e capacitores de modo que V o (s) V i (s) = s +a s +b no qual a e b são constantes que dependem dos resistores e capacitores. 21 of 42

22 Circuito lead [avanço de fase] R 1 V i C 1 R 2 V o Note que R 1 e C 1 em paralelo resulta em No circuito temos Z 2 = R 2. Z 1 = R 1 1+R 1 C 1 s 22 of 42

23 R 1 V i C 1 R 2 V o Fazendo as contas vemos que Portanto V 0 (s) V i (s) = Z 1 = R 2(1+R 1 C 1 s) Z 1 +Z 2 R 1 +R 2 +R 1 C 1 s = s + 1 R 1C 1 s + 1 R 1C = s +a R 2C 1 s +b a = 1 R 1 C 1 b = 1 R 1 C R 2 C 1 Perceba que a < b. Calcule a fase de V0(s) V i (s) sistema realiza avanço. 23 of 42 e conclua que a < b implica que o

24 Circuito lag [atraso de fase] Homework Faça a análise do circuito de modo a determinar a e b tal que a > b e V 0 (s) V i (s) = s +a s +b V i R 1 R 2 V o Calcule a fase de V0(s) V i (s) e conclua que a > b implica que o sistema realiza atraso. 1 Dica: a = (R 1+R 2)C 2 e b = 1 R 2C 2. C 2 24 of 42

25 Circuito lead-lag Homework Faça a análise do circuito de modo a determinar a 1 < b 1 e a 2 > b 2 V 0 (s) V i (s) = (s +a 1)(s +a 2 ) (s +b 1 )(s +b 2 ) V i R 1 R 2 V o Dica: V 0 (s) V i (s) = (s + 1 R 1C 1 )(s + 1 ( ) s R 2C R 2C R 1C 1 R 2C 2 ) + 1 R 1C 1R 2C 2 C 1 C 2 25 of 42

26 Elementos sem Carga em Cascata B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil A função de transferência de dois sistemas sem carga em cascata é a multiplicação das funções de transferência individuais. Essa abordagem considera que a impedância de entrada do segundo sistema é infinita, senão for ocorre o chamado efeito de carga. Para evitar esse efeito, utilizam-se amplificadores de acoplamento (amp-ops). 26 of 42

27 Amplificadores Operacionais B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil Exemplo (Amplificador Inversor) Impedância de entrada infinita Impedância de saída zero Alto ganho diferencial (K): e 0 = K(e 2 e 1 ) Encontre a função de transferência do circuito com amp-op configuração inversor. 27 of 42

28 Exemplo (continuação) Como a impedância de entrada é elevada, a corrente de entrada no amplificador é extremamente pequena. Assim, a equação de correntes no nó n é: E i E n Z 1 + E o E n Z 2 = 0 Como o ganho diferencial do amp-op é muito alto, E n 0, portanto: E i Z 1 + E o Z 2 = 0 E o E i = Z 2 Z 1 28 of 42

29 Exemplo Encontre a função de transferência do circuito com amp-op abaixo. 29 of 42

30 Homework Encontre a função de transferência de cada circuito. 30 of 42

31 Modelagem de Sistemas Mecânicos A tabela seguinte apresenta algumas relações envolvendo componentes mecânicos: 31 of 42

32 Exemplo Obtenha a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema abaixo. Considerando que a massa está sendo deslocada para a direita, somente a força aplicada aponta para a direita; todas as outras forças impdedem o movimento e agem contra ele. O diagrama do corpo livre deste sistema é dado por: 32 of 42

33 Exemplo (continuação) Logo, M d2 x(t) dt 2 +b dx(t) +Kx(t) = f(t) dt Aplicando a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas, tem-se: Ms 2 X(s)+bsX(s)+KX(s) = F(s) Portanto, X(s) F(s) = 1 Ms 2 +bs +K 33 of 42

34 Sistemas Massa-Mola-Amortecedor u(t): entrada - deslocamento do carro ( u(t) constante) y(t): saída - deslocamento da massa m 34 of 42

35 Continuação Ou, equivalentemente: ma = F ( m d2 y dy dt 2 = b dt du ) k(y u) dt Aplicando-se Laplace: m d2 y dt 2 +bdy dt +ky = bdu dt +ku ( ms 2 +bs +k ) Y(s) = (bs +k)u(s) Y(s) U(s) = bs +k ms 2 +bs +k 35 of 42

36 Sistemas Massa-Mola-Amortecedor Acoplados m 1 ẍ 1 = k 1 x 1 k 2 (x 1 x 2 ) b(ẋ 1 x 2 )+u m 2 ẍ 2 = k 3 x 2 k 2 (x 2 x 1 ) b(ẋ 2 x 1 ) 36 of 42

37 Continuação m 1 ẍ 1 +bẋ 1 +(k 1 +k 2 )x 1 = k 2 x 2 +bx 2 +u Aplicando-se Laplace: m 2 ẍ 2 +bẋ 2 +(k 2 +k 3 )x 2 = k 2 x 1 +bx 1 ( m1 s 2 +bs +(k 1 +k 2 ) ) X 1 (s) = (k 2 +bs)x 2 (s)+u(s) Resolvendo-se: ( m2 s 2 +bs +(k 2 +k 3 ) ) X 2 (s) = (k 2 +bs)x 1 (s) X 1 (s) U(s) = m 2 s 2 +bs +k 2 +k 3 (m 1 s 2 +bs +k 1 +k 2 )(m 2 s 2 +bs +k 2 +k 3 ) (bs +k 2 ) 2 37 of 42

38 Modelagem de Sistemas Mecânicos Rotativos Função de Transferência de Circuitos Mecânicos Rotativos 38 of 42

39 Exemplo (Modelagem de Servomotor de Corrente Contínua) Os servomotores DC têm diversas características interessantes como controlabilidade, portabilidade, baixos custos de aquisicão e manutenção e adaptabilidade a vários tipos de sistemas de controle. Considera-se a modelagem do servomotor controlado por armadura (campo constante). 39 of 42

40 Exemplo (Continuação) Assumindo corrente de campo (i f ) constante, o torque do motor é proporcional à corrente de armadura: T m (s) = K m I a (s) O torque do motor é igual à soma do torque da carga (Js 2 θ(s) +bsθ(s)) e o torque de distúrbio, T d (s). Considerando T d (s) = 0, tem-se: T m (s) = K m I a (s) = Js 2 θ(s)+bsθ(s) A corrente de armadura se relaciona com a tensão de armadura como: V a (s) = (R a +L a s)i a (s)+v b (s), onde V b (s) é a TL da força controeletromotriz gerada, que é proporcional à velocidade do motor, ou seja, V b (s) = K b ω(s) 40 of 42

41 Exemplo (Continuação) Assim, a corrente da armadura pode então ser escrita como: Então, tem-se: I a (s) = V a(s) K b ω(s) R a +L a s K m V a (s) K m K b ω(s) R a +L a s = s(js +b)θ(s), que pode ser escrita como (note que ω(s) = sθ(s)) K m V a (s) = s[(js +b)(r a +L a s)+k m K b ]θ(s). Assim, a função de transferência θ(s)/v a (s) é dada por: θ(s) V a (s) = K m s[(js +b)(r a +L a s)+k m K b ] 41 of 42

42 Exemplo (Continuação) Como ω(s) = sθ(s), a função de transferência ω(s)/v a (s) é dada por: ω(s) V a (s) = K m (Js +b)(r a +L a s)+k m K b O diagrama de blocos do modelo motor controlado por armadura é dado por: 42 of 42

43 Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no Cap. 9 do livro Sistemas de Controle Modernos - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. 2. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 43 of 42