Transformada de Laplace

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1 Sinai e Sitema - Tranformada de Laplace A Tranformada de Laplace é uma importante ferramenta para a reolução de equaçõe diferenciai. Também é muito útil na repreentação e análie de itema. É uma tranformação que faz um mapeamento do domínio do tempo para o domínio S com = σ+jw (complexo). A tranformada de Laplace exite em dua variante: unilateral e bilateral. A tranformada unilateral é útil na análie de itema com condiçõe iniciai. A tranformada bilateral tem uo para etudar certa caracterítica do itema. A principal aplicação da tranformada de Laplace no âmbito da engenharia é a análie de repota temporal e da etabilidade de itema. Rogério Largo Setúbal 999

2 Definição Sinai e Sitema - Seja e t uma exponencial complexa. = σ+jw é uma frequência complexa. Podemo ecrever e t como um inal de valor complexo: e t = e σt co(wt) + j e σt in(wt) A parte real de e t é um coeno exponencialmente amortecido e a parte imaginária um eno exponencialmente amortecido (aumindo σ negativo). Rogério Largo Setúbal 999

3 Tranformada de Laplace bilateral: Sinai e Sitema - 3 t X() = x() t e dt Tranformada de Laplace (bilateral) Tranformada de Laplace unilateral: Sinai cauai têm uma origem em tempo finito o qual pode er aumido como endo a origem: [x(t)=, t=]. Nete cao pode redefinir-e a tranformada de Laplace como unilateral. X () = x() t e dt Tranformada de Laplace (unilateral) t Rogério Largo Setúbal 999 3

4 Sinai e Sitema - 4 Condiçõe de exitência: Para que a tranformada de Laplace exita é neceário que o integral convirja. Ito é garantido e: xte () σt dt Ito é, x(t)e -σt tem de er abolutamente integrável. Região de Convergência (ROC): Valore de σ para o quai o S tranformada de Laplace converge. Sendo eta condição exprea σ em termo da parte real de =σ+jw, ela etabelece como região de convergência um emi plano à direita de uma recta vertical : Re{} > σ. Rogério Largo Setúbal 999 4

5 Sinai e Sitema - 5 Tranformada invera de Laplace: A tranformada invera de Laplace de X() é dada por: σ + t xt () X( e ) d π j σ = Tranformada invera de Laplace bilateral => reolução atravé da expanão em fracçõe parciai e tabela!!!! Rogério Largo Setúbal 999 5

6 Tranformada de Laplace de funçõe báica Função exponencial: x(t)=e -at u(t), a real at t ( + a) t ( + a) t e X = e e dt = e dt = + ( a) Sinai e Sitema - 6 =σ+jw +a=(σ+a)+jw ( σ + at ) jwt e e = = + + ; ( a) ( a) -a S ROC: Re{} > -a. Notar que e jwt = e para que -( a ) e + t lim = t σ+a >, logo: σ >- a (ROC), terá de er Rogério Largo Setúbal 999 6

7 Função alto unitário: t x(t) = u(t) X =. e dt =, Re()> Função rampa unitária t X x(t) = t u(t) = te. dt =, Re()> integração por parte: fg = fg f g Função inuoidal x(t) = en(wt).u(t) jwt jwt t e e t w, Re{S}> X() = en( wt) e dt = e dt = j + w Sinai e Sitema - 7 Analogamente, obtém-e para a função coeno: x(t) = en(wt).u(t), X() = + w Rogério Largo Setúbal 999 7

8 Tabela de Tranformada de Laplace Tabela Tranformada de Laplace de funçõe elementare Sinai e Sitema - 8 Função temporal Tranformada de x(t) Laplace X() Nota δ(t) Impulo u(t) Salto unitário Re()> tu(t) Rampa Re(>) e -at u(t) + a Exponencial Re{}>-a te -at u(t) ( + a) Re{}>-a Rogério Largo Setúbal 999 8

9 n t n e -at u(t) n ( a ) Re{}>-a + + en(w t)u(t) co(w t)u(t) + w e -at en(w t)u(t) w + w Seno Re()> w a + w Coeno Re()> Sinai e Sitema - 9 Seno amortecido Re{}>-a Rogério Largo Setúbal 999 9

10 Propriedade da tranformada de Laplace Sinai e Sitema - Com bae na tranformada de funçõe imple obtida de tabela e neta propriedade é poível uma um grande de tranformada de outra funçõe relacionada com aquela. i) Linearidade: x (t) X (), Roc=R ; x (t) X (), Roc=R => a a x t x( t) a X + a X ii) Delocação no tempo: +, RoC = R R t x(t) X(), => x( t t ) e X(), RoC = R Mudança de variável: τ = t-t : RoC = R t ( τ + t ) t τ t x( t t ) e dt = x( τ) e dτ = e x( τ) e dτ = e X Rogério Largo Setúbal 999

11 iii) Tranlação em S (modulação): x(t) X(), RoC = R t e x t X, RoC = R+ Re{S } Então: Sinai e Sitema - iv) Ecalamento no tempo: x(t) X(), Então: x( at) X a a, RoC = R a RoC = R v) Derivada no tempo: x(t) Então: dx t dt X X(), RoC = R, RoC contém R Nota: No cao da tranformada de Laplace unilateral aparecem a condiçõe iniciai x( + ), poi x(t) tem início em t =. dx() t dt X + x( ) Rogério Largo Setúbal 999

12 vi) Derivada em S (no domínio S): x(t) X(), RoC = R dx Então: tx() t, RoC = R d Sinai e Sitema - vii) Integração no tempo: x(t) X(), RoC = R t Então: x( τ) dτ X, RoC contém R Re()> viii) Convolução: x (t) X (), RoC =R ; X (), RoC =R x (t) => x( t) x( t) X X, RoC contém R R Nota: O ímbolo indica a operação de convolução que e define pelo eguinte integral: () () = ( ) t x t x t x τ x t τ dτ Rogério Largo Setúbal 999

13 ix) Valor Inicial e Valor Final: Sinai e Sitema - 3 Admite-e que x(t)=, t< e que não contém impulo na origem. x ( + ) = limx Reultado do teorema do valor inicial. lim t = lim X x t Reultado do teorema do valor final. Ete doi reultado ão muito útei poi, em neceidade de conhecer a expreão temporal de x(t), permitem aber o eu valore iniciai e finai a partir da ua tranformada de Laplace. Rogério Largo Setúbal 999 3

14 Tabela - Propriedade da Tranformada de Laplace Sinai e Sitema - 4 Função temporal Tranformada de Nota x(t) Laplace X() x(t); y(t) X(); Y() a x(t) + a y(t) a X() + a Y() Linearidade x(t-t ) exp(- t )X() Delocamento no tempo t > a X a x(at) Ecalamento no tempo a> e at x(t) X(-a) Modulação t n x(t) (-) dx( t) dt n d x t n dt n n d X() X() - x() n n>, e inteiro d Derivação n X() - n- x() - n- x () () Derivação Rogério Largo Setúbal 999 4

15 t x x (n-) () dτ X Integração y t X()Y() Convolução ( τ ) x t x() lim X Teorema do valor inicial x( ) lim X Teorema do valor final Sinai e Sitema - 5 Rogério Largo Setúbal 999 5

16 Tranformada invera de Laplace Sinai e Sitema - 6 Método da expanão em fracçõe imple Aume-e que a tranformada de Laplace etá repreentada por uma razão de polinómio, o que ocorre empre para a funçõe que no inteream no âmbito da engenharia. m m m m m + m m + m n n + an a+ a ( n)( n ) ( ) N () b b b b b b b b X() = = = D() p p... p Também poderíamo factorizar o numerador. Obteríamo m raíze que eriam o zero (z i ). A raíze do polinómio denominador ão o pólo (p i ) de X() e ão em número de n. Em geral n>m ito é há mai pólo que zero pelo que X() pode er ecrito como uma oma de termo em cujo denominador apena exite um pólo (fracçõe imple): Rogério Largo Setúbal 999 6

17 X A A An... A k é o reíduo de X() no pólo p k. = ( p) ( p) ( pn ) N () k = ( k) Da tabela de tranformada: A p k D () = p k Ae k Ak p pt k Sinai e Sitema - 7 Deta forma a inverão de cada uma da fracçõe imple é imediata. Ete reultado aplicam-e apena a ituaçõe em que o pólo ão todo diferente (p i p j e i j). Exemplo : Obter x(t) a partir da ua tranformada de Laplace X() X 5+ 3 A A A = = + + O reíduo no pólo {-;-;-3} obtém-e da eguinte maneira: A A A ( 5 + 3) 5+ 3 ( ) = = ( + ) ( + )( + 3) ( + )( + 3) = ( 5 + 3) 7 = = = 7 ( + )( + 3) = ( 5 + 3) = = = 6 ( + )( + ) = + 3 = 3 Então X() expandido em fracçõe imple e a ua tranformada invera ão: Rogério Largo Setúbal 999 7

18 Sinai e Sitema t t 3t X == + + x() t = e + 7e 6 e u() t Pólo de ordem múltipla Cao exitam pólo de ordem uperior à primeira (vário pólo iguai) aparecem no denominador da função termo do tipo (+ i ) r. O procedimento a eguir apreenta-e no exemplo eguinte: Exemplo : X N () A A B B... Br = = r r r ( + )( + )( + ) + + ( + ) ( + ) ( + 3) O reíduo A e A Correpondem a pólo imple e obtém-e da forma já vita no exemplo anterior. O pólo com multiplicidade r tem r reíduo que e calculam da eguinte forma: r () Notar que X ( 3 ) B = X + 3 = 3 r + = N () ( + )( + ) Rogério Largo Setúbal 999 8

19 Sinai e Sitema - 9 d B X r = () + 3 d = 3 d r 3 = () ( + 3) d = B X... r 3 r d r () ( 3 ) Expreão genérica para o reíduo. r ( r! ) d = 3 B = X + Exemplo 3: Obter a tranformada invera de X() X A A B B = = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) A = = 3 ( + ) ( + ) = ; A 3 = B = = ( + ) Pólo triplo S 3 =- X ( ) B = = = ( + ) = = +. Aim o reíduo B, B e B 3 viram: B d (+ ) = = = = d + ( + ) = ( ) = Notar que = + + Rogério Largo Setúbal 999 9

20 Sinai e Sitema - B d d ( + ) = = = ( + ) 3 d d = + = ( ) ( ) ( )( ) 4 ( + ) = = A expanão em fracçõe imple e a tranformada invera vem: X = ( + ) ( + ) ( + ) x( t) = + e t + t e Nota: ) Pólo complexo conjugado ocorrem em pare complexo * conjugado: S S Na expanão em fracçõe imple, o reíduo A e A * também ão complexo conjugado: Exemplo: t e t u( t) t t [ Ae + A e ] u( t) N A * A = + * * * ( + )( + ) ( + ) ( + ) De alientar que o inal temporal também é real uma vez que e trata da oma de complexo conjugado. * Rogério Largo Setúbal 999

21 Sinai e Sitema - Nota: ) Aplicação da tranformada de Laplace à reolução de equaçõe diferenciai: Tomando a equação diferencial eguinte com a condiçõe iniciai dada: d x( t) dx( t) x( t) = 5u( t) dt dt x() = x () = Aplicando tranformada de Laplace a ambo o membro: S X( S) Sx() x () 3 SX( S) 3 x() X( S) = ( S + 3S + ) S 5 X ( S) = S + S S S + 5 Então: X ( S) = S( S + 3S + ) Para obter a expreão temporal de x(t) é ó calcular a tranformada invera. Rogério Largo Setúbal 999