Aula 7 Resposta no domínio do tempo - Sistemas de segunda ordem

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1 FUNDAMENTOS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Aula 7 Repota no domínio do tempo - Sitema de egunda ordem Prof. Marcio Kimpara Univeridade Federal de Mato Groo do Sul

2 Sitema de primeira ordem Prof. Marcio Kimpara Função impulo:. A amplitude aproxima-e de infinito;. A duração da função aproxima-e de zero; 0 e 0 0 t e t t Tranformada de Laplace: ) ( ) ( t L Repota ao impulo: ) ( ) ( G a a a a a a a G a. ) ( ). ( ) ( G R C t e t c ) (

3 Prof. Marcio Kimpara 3 TABELA TRANSFORMADA DE LAPLACE Função f (t) F() Impulo unitário (delta de Dirac) Degrau unitário Rampa Exponencial Seno Coeno (t) u(t) t e at en( t) co( t) a

4 Amplitude Prof. Marcio Kimpara 4 Sitema de primeira ordem Conidere: G( ) b a Forma genérica Step Repone Repota ao degrau G( ).7 Alteração no parâmetro a G( ) G( ) t t 4 t 6 8 Time (ec) G G G

5 Amplitude Prof. Marcio Kimpara 5 Sitema de primeira ordem Conidere: G( ) Repota ao impulo G( ).7 b a Forma genérica Impule Repone G G G Alteração no parâmetro a G( ) G( ) t t 4 t 6 8 Time (ec)

6 Prof. Marcio Kimpara 6 Anote No cao anteriore, a repota no tempo e altera em formato para diferente entrada, entretanto para uma mema função de entrada a alteração do parâmetro a não alterou o formato da repota; Diferentemente de um itema de primeira ordem, um itema de egunda ordem apreenta uma diveridade de repota; Enquanto a variação de um parâmetro num itema de primeira ordem implemente altera a velocidade da repota, a variaçõe no parâmetro de um itema de egunda ordem podem alterar a forma da repota. Vejamo como um itema de egunda ordem e comporta para a entrada em degrau...

7 Amplitude Sitema de egunda ordem R( ) b a b C() jω Polo reai e ditinto Conidere: C( ). G( ) c( t) 0.7e 7.854t Repota ao degrau unitário: e.46t Expandindo em fraçõe parciai e aplicando a tranformada invera de Laplace: σ Step Repone Time (ec) Prof. Marcio Kimpara 7

8 Amplitude Sitema de egunda ordem R( ) b a b C() jω j 8 Polo complexo Alteração no parâmetro a G( ) j 8 σ Step Repone Repota ao degrau unitário: C( ) 9. 9 raíze: j 8 c( t) e t co 8 8t en 8t Time (ec) Prof. Marcio Kimpara 8

9 Prof. Marcio Kimpara 9 Sitema de egunda ordem Caracterítica da repota ubamortecida

10 Amplitude Sitema de egunda ordem R( ) b a b C() jω j 3 Polo imaginário Alteração no parâmetro a G 9 9 ( ) Repota ao degrau unitário: t c( t) co 3 C( ). 9 9 raíze: j3 j3 σ Step Repone Time (ec) Prof. Marcio Kimpara 0

11 Amplitude Sitema de egunda ordem R( ) b a b C() jω Polo reai e iguai Alteração no parâmetro a G3( ) σ Step Repone Repota ao degrau unitário: c( t) 3te 3t e 3t C( ) raíze: Time (ec) Prof. Marcio Kimpara

12 Prof. Marcio Kimpara Sitema de egunda ordem RESUMO Repota Superamortecida (Overdamped) Polo: polo reai em Repota natural: dua exponenciai com contante de tempo igual a localização do pólo c( t) K e K e e t t Repota Subamortecida (Underdamped) Polo: polo complexo em d jd Repota natural: repota com enoide amortecida envolvida por uma exponencial cuja contante de tempo é igual à parte real do polo. A frequência da enoide é igual à parte imaginária do polo c( t) Ae t d co t d

13 Prof. Marcio Kimpara 3 Sitema de egunda ordem RESUMO Repota Ocilatória (Undamped) Polo: polo imaginário em Repota natural: enoide não amortecida com frequência em radiano igual à parte imaginária do polo. c ( t) Aen d Repota Criticamente amortecida (Critically damped) Polo: polo reai em j d Repota natural: repota com uma exponencial com contante de tempo igual a parte real do polo e uma exponencial multiplicada por t com contante de tempo igual a parte real do polo c( t) K e K te t t

14 Prof. Marcio Kimpara 4 Sitema de egunda ordem RESUMO

15 Amplitude Prof. Marcio Kimpara 5 Sitema de egunda ordem Exemplo: Eboce a repota temporal eperada para uma entrada em degrau da função de tranferência dada abaixo 65 G( ) 65.5 Step Repone f 3, 98Hz T 0, f 3, Time (ec)

16 Prof. Marcio Kimpara 6 Sitema de egunda ordem Já temo um conhecimento qualitativo a repeito da repota de um itema de egunda ordem, podemo generalizar a dicuão e definir caracterítica quantitativa para eta repota. Eta quantidade podem er uada para decrever a caracterítica da repota de um itema de egunda ordem, aim como a contante de tempo decreve a repota de um itema de primeira ordem Definimo então: O Frequência natural ( n ): A frequência natural de um itema de egunda ordem é a frequência de ocilação do itema em amortecimento. Taxa de amortecimento ( ): Ete parâmetro decreve quantitativamente o amortecimento da ocilação no tempo. Frequência dedecaimento daexponencial Frequência natural (rad/)

17 Prof. Marcio Kimpara 7 Sitema de egunda ordem Equação Geral: G( ) b ab Sem amortecimento, o polo etarão obre o eixo jω. Para o polo erem puramente imaginário a = 0. Com a = 0, o polo erão j b Por definição, a frequência natural é a frequência de ocilação do itema. Logo n b n b E o termo a?

18 Prof. Marcio Kimpara 8 Sitema de egunda ordem Equação Geral: G( ) b ab Aumindo um itema ubamortecido, o polo complexo tem a parte real Igual a a (reolvendo pela fórmula de Bhakara) A magnitude dete valor é a frequência de decaimento da exponencial (lide 9). Logo: a Frequência dedecaimento daexponencial Frequência natural (rad/) n a n n

19 Prof. Marcio Kimpara 9 Sitema de egunda ordem Portanto, podemo ecrever uma função de tranferência de egunda ordem de forma geral como endo: G( ) n n n Reolvendo para o polo da função de tranferência geral, temo:, n n Podemo então encontrar o vário cao da repota de egunda ordem analiando a taxa de amortecimento

20 Prof. Marcio Kimpara 0 Sitema de egunda ordem O

21 Prof. Marcio Kimpara Análie de deempenho Iremo abordar a análie de deempenho em itema ubamortecido, ito é, 0 < <. A caracterítica ubamortecida é comum em itema fíico e decreve um comportamento único. Vejamo alguma epecificaçõe do tranitório aociado à repota ubamortecida. Parâmetro de deempenho Tempo de pico ( T ): é o tempo requerido O P para que a repota atinja o valor de pico (valor máximo). T P n d

22 Prof. Marcio Kimpara Análie de deempenho T r Tempo de Subida ( ): é o tempo que a repota leva para ir de 0% a 90% do valor final (valor de regime etacionário) Uma relação precia entre o tempo de ubida e a taxa de amortecimento não pode er obtida analiticamente. Contudo, com a utilização de um computador é poível encontrar o tempo de ubida. Conidere a tabela abaixo ao lado. O

23 Prof. Marcio Kimpara 3 Análie de deempenho Percentual de Overhoot (%OS ): é a quantidade em percentual que a forma de onda ultrapaa o valor de regime (valor final). Em outra palavra, é o valor de pico expreo como porcentagem do valor final. Cmáx C final % OS 00 C final % OS 00e O A função invera no permite obter a taxa de amortecimento para um dado valor de overhoot: ln % OS 00 ln % OS 00

24 Prof. Marcio Kimpara 4 Análie de deempenho T S Tempo de aentamento ( ): é o tempo requerido para que a ocilação tranitória amortecida alcance e permaneça dentro da faixa de % do valor final (valor de regime) T S 4 4 n d O OBS: O tempo de aentamento já havia ido definido para a repota de itema de primeira ordem.

25 Prof. Marcio Kimpara 5 Análie de deempenho Parâmetro da repota no tempo ubamortecida A repota tranitória pode er decrita por doi fatore: O Rapidez da repota, podendo er projetada pela ecolha adequada do tempo de pico, tempo de ubida e tempo de etabelecimento. Proximidade com a repota deejada, a qual pode er alcançada projetando-e um itema de controle com uma porcentagem de overhoot adequada.

26 Prof. Marcio Kimpara 6 Exemplo Encontre o tempo de pico, o percentual de overhoot, o tempo de aentamento e o tempo de ubida da repota de um itema cuja função de tranferência é dada por: G( ) O Comparando a função de tranferência com a forma geral: n 00 0rad / 5 n G( ) n n n A partir daí, bata aplicar a fórmula apreentada. Reolvido no quadro

27 Amplitude Prof. Marcio Kimpara 7 Exemplo Verificando com o MATLAB... >> G=tf([00],[,5,00]) Tranfer function: ^ >> tep(g) O Sytem: G Peak amplitude:.03 Overhoot (%):.83 At time (ec): 0.48 Sytem: G Rie Time (ec): 0.9 Step Repone Sytem: G Settling Time (ec): Clicando com o botão direito obre o gráfico Time (ec)

28 Prof. Marcio Kimpara 8 Análie de deempenho Plote do Polo de Um Sitema de Segunda Ordem Submortecido O co

29 Prof. Marcio Kimpara 9 Análie de deempenho Efeito da variação na localização do polo a. Parte real contante; b. Parte imaginária contante; c. Razão de amortecimento contante O

30 Prof. Marcio Kimpara 30 Exemplo Para o itema cuja localização do polo é motrada na figura ao lado, indique o tipo de repota no domínio do tempo e encontre o parâmetro deta repota. O

31 Prof. Marcio Kimpara 3 Exemplo Solução Doi polo complexo Repota ubamortecida n 3 7 d d tan 7 tan 3 n co 3 n n O T P d 4 4 T S % OS 00e %

32 Prof. Marcio Kimpara 3 Referência O conteúdo deta aula foi, na ua maioria, extraído do livro: Control Sytem Engineering 4ª Edição (Norman S. Nie)