CAPÍTULO 10 Modelagem e resposta de sistemas discretos

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1 CAPÍTULO 10 Modelagem e repota de itema dicreto 10.1 Introdução O itema dicreto podem er repreentado, do memo modo que o itema contínuo, no domínio do tempo atravé de uma tranformação, nete cao a tranformada Z. No cao do domínio no tempo, a repreentação é feita por equaçõe diferença, também chamada de equaçõe recuriva. No cao da repreentação por uma tranformação, uam-e funçõe de tranferência dicreta, obtida pela aplicação da tranformada Z. Ete aunto é abordado na teoria de itema lineare e na eçõe iniciai dete capítulo faremo uma breve revião daquele conceito ante de etudarmo a álgebra de diagrama de bloco. 10. Equaçõe diferença Seja um itema dicreto com uma entrada u(k) e uma aída y(k), onde k = 0,...,, e kt repreenta o tempo no k-éimo intante de amotragem. A relação entre a entrada e a aída, no domínio do tempo, é dada por uma equação a diferença y(k) + a 1 y(k 1) + + a n y(k n) = b 0 u(k) + b 1 u(k 1) + + b n u(k n) (10..1) A olução deta equação pode er feita no domínio do tempo, atravé de recurividade, uando a tranformada Z Função de tranferência dicreta Seja o itema decrito pela Equação A função de tranferência dicreta função de tranferência pulada G(z) é definida como a relação entre a tranformada Z da aída,, e a tranformada Z da entrada, U(z). Portanto G(z) = U(z) A função de tranferência amotrada pode er calculada, tomando-e a tranformada Z no doi lado da Equação Tem-e então + a 1 z a n z n = b 0 U(z) + b 1 z 1 U(z) + + b n z n U(z)

2 156 Capítulo 10: Modelagem e repota de itema dicreto Portanto (1 + a 1 z a n z n ) = (b 0 + b 1 z b n z n ) U(z) G(z) = U(z) = b 0 + b 1 z b n z n 1 + a 1 z a n z n Uaremo a função de tranferência dicreta para repreentar tanto a planta quanto o controlador na maior parte do etudo nete e no capítulo eguinte. A partir da função de tranferência pode-e determinar a equação recuriva correpondente. Formalmente, deve-e primeiro ecrever a função de tranferência na forma de potência negativa de z. Pode-e então ubtituir z i por q i, onde q 1 repreenta o operador de atrao, no domínio do tempo, eja, q 1 y(k) = y(k 1) e q i y(k) = y(k i). O operador q correponde ao operador p = d no cao contínuo. É uual, no entanto, paar diretamente da função de tranferência dt dicreta para o domínio do tempo, uando o operador z 1 como o operador produzindo o atrao no tempo Obtenção da função de tranferência dicreta Para a obtenção da função de tranferência dicreta em itema de controle, deve-e levar em conta que muita veze inai dicreto e contínuo etão imultaneamente preente nete itema. Além dito, um utentador de ordem zero etá preente. Ante de etudarmo cada um dete cao, vamo lembrar algun fato báico obre a tranformada Z. Relação entre a tranformada Z e a tranformada de Laplace A tranformada de Laplace de um inal dicreto y(k) também pode er determinada. Seja Y () eta tranformada, que algun autore chamam de tranformada etrela. Se a relação entre a variável complexa z e a tranformada complexa for z = e T, onde T é o período de amotragem, tem-e que = Y () = lnz T eja, a tranformada Z coincide com a tranformada etrela e a relação = lnz T Combinação de inai dicreto e contínuo for uada. A função de tranferência dicreta relaciona um eqüência de amotra da entrada com uma eqüência de amotra na aída. Eta função muda dependendo da exitência não de um amotrador ante de cada bloco que compõe o diagrama de bloco do itema. Se o amotrador exite, a entrada do itema é amotrada e a repota é diferente do cao onde o amotrador não exite e a entrada é o próprio inal contínuo. Por tro lado, a exitência de um amotrador na aída de um bloco é irrelevante em termo da determinação da função de tranferência dicreta, poi ela relaciona a amotra da entrada e da aída. Se o amotrador não exite, podemo upor a exitência de um amotrador fictício. Se a aída deta função de tranferência é a entrada de uma tra função de tranferência, a exitência não do amotrador terá importância na determinação da função de tranferência eguinte. A preença não do amotrador na entrada de um bloco pode er coniderada de forma automática atravé de uma propriedade da tranformada etrela. Quando toma-e a tranformada

3 EEL-DAS-UFSC 157 etrela de um produto de funçõe na forma de tranformada de Laplace, termo que já forem tranformada etrela podem er fatorado. Para a Figura 10.1(a), a aída do itema pode er ecrita como Y () = G()E () Y () E() E(z) G() E() G() Y () (a) Amotrador ante do bloco (b) Sem amotrador ante do bloco Figura 10.1: Efeito do amotrador na entrada do bloco Tomando-e a tranformada Z no doi lado da equação tem-e Y () = [G()E ()] = G ()E () poi a tranformada etrela E () pode er fatorada do produto. tranformada Z e a tranformada etrela obtem-e Uando-e a relação entre a = G(z)E(z) No cao da Figura 10.1(b), onde o amotrador não exite na entrada do bloco, o inal de entrada é contínuo. Pode-e então ecrever Y () = G()E() e tomando-e a tranformada etrela no doi lado da equação tem-e Y () = [G()E()] e não é poível obter-e um produto de tranformada Z, como no cao anterior. Nete cao pode-e ecrever = G E (z) que ignifica que deve-e obter a tranformada Z correpondente ao reultado do produto da tranformada de Laplace. Sutentador de ordem zero A função de tranferência do utentador de ordem zero é dada por SOZ() = 1 e T G() Na Figura 10., onde tem-e um utentador de ordem zero em cacata com uma função de tranferência G p (), tem-e G() = 1 e T G p ()

4 158 Capítulo 10: Modelagem e repota de itema dicreto U(z) SOZ() G p () Figura 10.: Sutentator de ordem zero em cacata com a planta Pode-e provar que G(z) = (1 e T ) G p É importante realtar que G(z) não é o produto do equivalente no domínio Z do utentador de ordem zero por G p (z), poi não exite um amotrador entre o utentador de ordem zero e a função de tranferência G p () Álgebra de bloco A álgebra de diagrama de bloco para o cao dicreto deve levar em conta a exitência de amotradore ante de um bloco, como dicutido na eção anterior. Dependendo e um inal que entra em bloco é contínuo amotrado, a funçõe de tranferência erão diferente, poi a repota erá diferente para cada inal. No entanto, a regra de manipulação ão emelhante ao cao contínuo. A eguir ão apreentada a principai regra de manipulação de diagrama de bloco Aociação em cacata Seja o itema motrado na Figura 10.3(a). E() E(z) Y 1 () Y 1 (z) Y () G 1 () G () (a) Com amotrador ante do egundo bloco E() E(z) Y 1 () Y () G 1 () G () (b) Sem amotrador ante do egundo bloco Figura 10.3: Aociação em cacata O amotradore ão upoto incronizado e com o memo período de amotragem. Do diagrama em 10.3(a) egue que: Y 1 () = G 1 () E () tomando-e a tranformada etrela no doi lado da equação Do memo modo, calculando-e a aída Y 1 () = G 1 () E () Y () = G () Y 1 ()

5 EEL-DAS-UFSC 159 Y () = G () Y 1 () Então Y () = G () Y 1 () = G () G 1()E () Y () E () = G 1 () G () Uando-e a relação entre a tranformada etrela e a tranformada Z tem-e E(z) = G 1(z) G (z) Quando não exite o amotrador intermediário, como motrado na Figura 10.3(b), tem-e: Z [G 1 ()G ()] = G 1 G (z) = G G 1 (z) eja, a tranformada Z deve er a tranformada do produto da funçõe de tranferência e: Y () E () = G 1 G () G(z) = G 1 G (z) Aociação em paralelo Seja o itema dado na Figura 10.4(a). O amotrador exite ante do doi bloco. G 1 () Y (z) E() E () Y () G () (a) Com amotrador ante do bloco na realimentação E () G 1 () Y (z) E() Y () G () (b) Sem amotrador ante do bloco na realimentação Figura 10.4: Aociação em paralelo

6 160 Capítulo 10: Modelagem e repota de itema dicreto Nete cao tem-e : Logo Y () = G 1 ()E () + G ()E () = [G 1 () + G ()]E () Y () E () = G 1 () + G () G(z) = G 1(z) + G (z) Seja agora o itema motrado na Figura 10.4(b), onde o amotrador exite omente ante de um do bloco. Nete cao tem-e Y () = G 1 () E () + G E () = G 1 (z) E(z) + G E(z) Malha fechada Seja o itema apreentado na Figura 10.5(a). Nete cao exitem amotradore ante do bloco correpondente a G() e H(). R() + E() E(z) G() H() (a) Com amotrador ante do bloco na realimentação R() + E() E(z) Y () G() H() (b) Sem amotrador ante do bloco na realimentação Figura 10.5: Malha fechada Tem-e então: Y () = G()E () (10.4.1) E() = R() + H() Y () (10.4.) Da Equaçõe e obtem-e = G(z)E(z) (10.4.3) E(z) = R(z) + H(z) (10.4.4)

7 EEL-DAS-UFSC 161 Uando-e em obtem-e = G(z)R(z) + G(z)H(z) R(z) = G(z) 1 + G(z)H(z) Seja agora o itema motrado na Figura 10.5(b). Na malha de realimentação, não exite amotrador ante do bloco correpondente a H(). Ou eja, a aída contínua e não a amotrada, é que é realimentada. A equaçõe correpondente a ete diagrama ão dada por: Da Equação egue que Subtituindo-e Y (), da Equação em obtem-e Y () = G()E () (10.4.5) E() = R() H()Y () (10.4.6) Y () = G ()E () (10.4.7) E() = R() H()G()E () (10.4.8), tomando-e a tranformada etrela no doi lado da equação, E () = Subtituindo-e em egue que Y () = GH () R () (10.4.9) G () 1 + GH () R () ( ) ainda, uando-e a relação entre a tranformada etrela e a tranformada Z: = G(z) R(z) ( ) 1 + GH(z) Do deenvolvimento anterior verifica-e que para a determinação da função de tranferência amotrada é importante o conhecimento da poição do amotradore na malha. Devido ao uo da tranformada Z e de um amotrador fictício na aída, o reultado da anti-tranformada dão o valore da aída no intante da amotragem, nada podendo-e afirmar quanto ao comportamento entre a amotragen Mapeamento entre o plano e o plano z A variávei complexa z e relacionam-e por z = e T (10.5.1) onde T é o período de amotragem.

8 16 Capítulo 10: Modelagem e repota de itema dicreto Atravé deta relação, pólo e zero no plano z, que ão o pólo e zero da função de tranferência pulada, podem er relacionado a poiçõe no plano. Do memo modo que em um itema de controle contínuo a etabilidade é determinada pela localização do pólo da função de tranferência de malha fechada no plano, a etabilidade do itema dicreto pode er determinada pela localização do pólo em z. É importante obervar que a localização de zero e pólo no plano z depende do período de amotragem. A eguir conideraremo o mapeamento de cada região do plano no plano Z. Além dito, algun lugare geométrico importante para a análie de itema e íntee de controladore erão também mapeado no plano Z Mapeamento do emi-plano equerdo Dede que z = e T e = σ + jω egue que, z = e (σ+jω)t = e σt e jωt = e σt j(ωt +π)n) e onde é inteiro Seja ω a a freqüência de amotragem. Então z = e σt π jt (ω+ e T n) = e jt (ω+ωan e conclui-e que o pólo e zero no plano S, cuja freqüência diferem um número inteiro de veze da freqüência de amotragem ão mapeado na mema localização no plano Z. Exemplo = σ + jω, σ + j(ω + ω a ) e = σ + j(ω + ω a ) ão mapeado no memo ponto do plano Z. No emi-plano equerdo (aberto) do plano tem-e σ > 0. Então z = e σt < 1. Sobre o eixo jω tem-e σ = 0. Então z = e σt = 1. Conclui-e portanto que o eixo imaginário no plano é mapeado obre o circulo unitário e o emi-plano equerdo (aberto) é mapeado no interior dete circulo unitário. Como um itema contínuo é etável e todo o pólo etão no emi-plano equerdo do plano complexo, então no plano Z o itema é etável e todo o pólo da função de tranferência amotrada etiverem no interior do círculo unitário centrado na origem Faixa primária e faixa complementare Seja z = e T = e (σ+jω)t = e σt e jωt. Então z = ωt. Seja um ponto obre o eixo jω no plano que e move de j ωa a + jωa. No plano Z tem-e: Para = j ωa ωa, z = e j T ω π j = e ωa = e jπ. Para = j ωa ω π, z = ej ωa = e jπ. Oberva-e que z = 1 e z varia de π a π, no entido anti- horário. Ito correponde a uma volta completa obre o círculo unitário no plano Z. Seja agora a variação obre jw no plano de jw a / a j3w a /. No plano Z tem-e : Para = j ωa, z = ejπ Para = j 3ω a, z = e j 3ωa π ωa = e j3π.

9 EEL-DAS-UFSC 163 Portanto, novamente z = 1 e z varia de π a 3π, o que correponde a uma volta completa obre a circunferência de raio unitário do plano Z. A análie acima motra que um ponto que e move de a + no plano obre o eixo jw, é mapeado um infinito número de veze obre o círculo unitário. Pode-e ainda concluir que cada faixa correpondente a uma variação de freqüência w a é mapeada no interior do circulo unitário. O número de faixa é infinito e define-e a faixa primária como a faixa com jw variando de j wa a jw = j wa. A faixa complementare e etendem de j wa a j 3ω a, e aim por diante para valore poitivo e de j ωa a j 3ω a e aim por diante para valore negativo. Dede que cada faixa complementar é mapeada no memo círculo unitário no plano Z, egue que a correpondência entre o plano e o plano Z não é única. Um ponto no plano Z correponde a infinito ponto no plano. Por tro lado um ponto no plano correponde a um único ponto no plano Z. Dede que a faixa primária é limitada por ±j ωa, egue que e toda a freqüência correpondente do itema ão tai que ω max ωa w a ω max, onde ω max é o maior freqüência preente, então o ponto no círculo unitário repreentam apena ponto na faixa primária. Ete eria o um cao ideal onde a faixa de freqüência do inal etaria totalmente contida entre 0 e ωa. O filtro anti-aliaing concentra o epectro do inal neta faixa, ma empre exitirão componente com freqüência uperiore a ωa. A eguir algun contorno uado no plano erão mapeado no plano Z. Ete contorno ão: 1. Atenuação contante, eja, σ contante.. Freqüência própria contante, eja, ω contante. 3. Relação de amortecimento contante, eja, zeta contante. Atenuação contante Para atenuação contante no plano tem-e σ contante. Então z = e σt e jωt, eja z é contante. Portanto a reta com σ contante é mapeada num círculo de raio z = e σt. Freqüência própria contante Se = σ + jω 1 com ω 1 contante, então z = e (σ+jω1)t = e σt e jω1t, que correponde a uma linha radial no plano Z com inclinação ω 1 T. Para = σ + j ωa tem-e z = eσt e j ωa T = e σt e jπ. Para σ j ωa tem-e z = eσt ωa j e T = e σt e jπ. Portanto, para jω = ± ωa, o mapeamento correponde ao eixo real negativo no plano Z. Se σ > 0, o mapeamento correponde ao eixo real no plano Z entre 1 e +. Se σ < 0 então o mapeamento leva ao eixo real do plano Z entre 0 e 1. O eixo real do plano é dado por = σ. Então z = e σt e z = 0. Para σ > 0 (emi-eixo real poitivo no plano ) o mapeamento correpondente no plano Z é o eixo real poitivo entre +1 e +. Para σ < 0 (emi-plano real negativo no plano ) tem-e no plano Z o eixo real poitivo entre 0 e 1. Deve-e obervar ainda que qualquer reta com freqüência contante ω = ±nω a, n = 0, 1,..., no lado direito do plano complexo (σ > 0)) é mapeado em z = e σt e ±jnωat = e σt e ±jnπ, portanto

10 164 Capítulo 10: Modelagem e repota de itema dicreto no eixo real poitivo no plano Z entre 1 e. Para a mema freqüência, ma com σ < 0 a imagem no plano Z é o eixo real poitivo entre 0 e 1. Lugar geométrico com amortecimento contante O lugar geométrico no plano da raíze com memo amortecimento é uma reta que paa na origem, como vimo no Capítulo. Uma ponto deta reta é dado por = ζω n ± jω n 1 ζ = ζω p ± jω p 1 ζ E conveniente exprear ete lugar geométrico em termo da freqüência própria, já que eta freqüência deve etar limitada à faixa primária. Conideraremo eta freqüência variando de 0 à ω a. Logo, à medida que a freqüência própria ω p aumenta, z diminui e o ângulo aumenta. Portanto uma reta com amortecimento contante (radial) no plano é mapeada em uma epiral no plano Z. A Figura 10.6 ilutra ete mapeamento ζ = 1 ζ = ζ = 0.8 ζ = 0.7 ζ = 0.6 ζ = 0.5 ζ = 0.4 ζ = 0.3 ζ = 0. ζ = Figura 10.6: Lugar geométrico do amortecimento contante no plano z

11 EEL-DAS-UFSC 165 Exercício 1. Seja o itema da Figura Obtenha a função de tranferência. Também obtenha R(z) a expreão para Y (). R() + E() E () M() M () Y () G 1 () G () H() Figura 10.7: Exercício 1. Seja o itema da Figura Obtenha a eqüência de aída y(kt ) quando a entrada do itema for um degrau unitário. O período de amotragem é T = 1 eg. Obtenha também a aída contínua y(t). Y () + 1 e T K R() Figura 10.8: Exercício 3. Seja o itema da Figura Se T = 0. eg e K = 1, determine y(kt ) para k = 0, 1,, 3 e 4 quando r(t) for um degrau unitário. Determine também o valor final y rp. R() + E() K Y 1 () Y () e T Figura 10.9: Exercício 3 4. Para o itema da Figura 10.10, obtenha y(kt ) (em forma fechada) e r(k) for um impulo unitário. Conidere T = 1 eg. Y () + 1 e T 1 ( + 1) R() Figura 10.10: Exercício 4

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