1 s. Propriedades da transformada de Laplace A seguir apresentam-se algumas propriedades importantes da transformada de Laplace:

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1 Secção 6 Tranformada de aplace (Farlow: Capítulo 5) Definição Tranformada de aplace A tranformada de aplace é, baicamente, um operador matemático que tranforma uma função numa outra Ea operação é definida da eguinte forma: F( ) = t { f ( t) } f ( t) e dt = É de notar que a função original, f(t), é uma função de t, enquanto que a função tranformada, F(), é uma função de Ou eja, enquanto que a função f(t) etá definida no domínio da variável t, a função F() etá definida em, deignado como o domínio de aplace Ante de dicutirmo qual a utilidade deta tranformação na reolução de equaçõe diferenciai, vamo familiarizar-no com a operação de tranformação e com a ua propriedade Vamo calcular a tranformada de aplace da função: f ( t) = t De acordo com a definição da tranformada: F( ) = te t dt = Propriedade da tranformada de aplace A eguir apreentam-e alguma propriedade importante da tranformada de aplace: { } f() t + gt () = F() + G () { cf t } () = cf() Tranformada da derivada: Uámo aqui a deignação t para a variável independente poi a tranformação de aplace aplica-e apena a funçõe definida no domínio ], + [ (ver o limite inferior do integral na definição da tranformada), como é o cao de funçõe definida no domínio do tempo Se o domínio de definição da função correpondee ao intervalo ]-, + [, a tranformada não eria aplicável Página da Secção 6

2 Derivada da tranformada: Delocamento em : { f '( t) } = F( ) f () { f ''( t) } = F( ) f () f '() n n n d { t f ( t) } = ( ) F( ) d { e at f ( t) } = F ( a) Tranformada do integral: t { fudu } Teorema do valor inicial: ( ) = F() f () = lim F() Teorema do valor final: f ( ) = lim F() n Já que falamo de propriedade, nunca é demai friar que, da mema forma que o integral de um produto não é igual ao produto do integrai, a tranformada de aplace de um produto de dua funçõe não é igual ao produto da tranformada: { } f() t gt () F () G () Toda eta propriedade ão demontrávei com bae na definição da tranformada de aplace Ei um exemplo: Demontre a eguinte propriedade da tranformada de aplace: a { f ( at) } = F Pela definição da tranformada: a t { f ( at) } = f ( at) e dt Página da Secção 6

3 Efectuando a mudança de variável u = at: f ( u) e u d = a a u/ a ( / a) u f ( u) e du = F, cqd a a Vejamo agora como eta propriedade no podem er útei na obtenção da tranformada de uma determinada função, em termo que recorrer à definição da tranformada, a qual poderia conduzir ao cálculo de integrai complexo Qual a tranformada de aplace de f () t t = te? Comecemo por recordar a propriedade da derivada da tranformada: Aplicando à noa função: n n n d { t f ( t) } = ( ) F( ) d n d d t { te } = { t f () t } { t = ( ) e } Temo agora que calcular a tranformada de delocamento em : { e at f ( t) } = F ( a), t e Recorrendo à propriedade do teremo que: t t { e } = { e } { } ( + ) = A tranformada de f(t) = é imple de calcular directamente: ogo: E portanto: = = = t t { } = e dt e [ ] t { e } = { } = ( + ) + t d t d { te } = ( ) { e } 3 d = d = + ( + ) Página 3 da Secção 6

4 Normalmente não teremo que determinar tranformada de aplace de forma tão tortuoa Poderemo implemente utilizar uma tabela de tranformada Aí, poderemo encontrar a tranformada de muita funçõe que iremo encontrar pela frente Por exemplo, para a reolução do exemplo anterior, poderíamo ter utilizado directamente a eguinte informação: f(t) at n e t ( n=,,) F() n! ( ) n a + Tranformada invera Exite um operador que permite a tranformação de uma função do domínio de aplace para o domínio do tempo É a tranformada invera de aplace, deignada pelo ímbolo - : - = { f t } f () t = { F ()} F() () f(t) F() domínio do tempo - domínio de aplace A tranformada invera é empre obtida recorrendo a uma tabela de tranformada, poi o eu cálculo directo é normalmente demaiado complexo Aplicação à reolução de equaçõe diferenciai A etratégia é imple: em vez de reolver directamente a equação diferencial, vamo aplicar-lhe a tranformada de aplace, reolver a equação reultante nee domínio e inverter o reultado final: Uma tabela batante razoável é fornecida na primeira página do Farlow Página 4 da Secção 6

5 eta via pode er mai trabalhoa Problema no domínio do tempo Solução no domínio do tempo - Problema no domínio de aplace Solução no domínio de aplace Em vário cao, como veremo, a equação é de reolução batante mai imple no domínio de aplace do que no domínio do tempo Ei um exemplo: π π π y'' + y= t y = y' = 4 4 Primeiro vamo aplicar a tranformada de aplace à EDO, tranformando-a parcela a parcela Por conveniência, uaremo a notação: y { y} = De acordo com a propriedade da tranformada da egunda derivada, a tranformada de y erá: e a equação fica: { y ''} = y y y () '(), () '() + = y y y y Nete cao, a reolução da equação no domínio de aplace reume-e à reolução de uma equação algébrica! ( + ) y = + y() + y'() y= + y() + y'() ( + ) + + Página 5 da Secção 6

6 y= y() y'() Podemo agora inverter a tranformada de y, de forma a obter a olução no domínio do tempo Recorrendo a uma tabela de tranformada, obtemo que: ogo: - - t = in( ) = co( t) + + ( ) yt () = t in( t) + y()co( t) + y'()in( t) y() e y () ão valore deconhecido, uma vez que condiçõe do problema não e referem ao ponto x = ma im a x = π/4 No fundo, y() e y () deempenham o papel da contante de integração que urgem empre na olução geral e poderiam er implemente ubtituído por C e C Vamo aplicar a condiçõe do problema à olução obtida por forma a determinar y() e y (): Ou eja: π π π π y y() y'() 4 = = y() + y'() = ( ) y'( t) = co( t) y()in( t) + y'()co( t) π y' = = y() y'() 4 + y() + y'() = y() = y '() = E a olução particular da EDO é: yt () = t+ co( t) in( t) Torna-e evidente que muita equaçõe diferenciai anteriormente reolvida por outro método podem também er olucionada por aplicação da tranformada de aplace Vejamo um exemplo Página 6 da Secção 6

7 y'' + y' y = y() = y'() = Reolução : Reolver como uma equação linear homogénea de coeficiente contante A olução geral erá: y = Cy + Cy h A oluçõe particulare deverão ter a forma: y = e rt r = 68 r = 68 r + r = ogo: y= Ce + Ce 68t 68t Aplicando a condiçõe iniciai: 68 C = y() = C+ C = 36 y'() = 68 C + 68C = 68 C = 36 68t 68t yt () = ( 68e + 68e ) 36 Reolução : Aplicar a tranformada de aplace { } y'' = y y() y'() = y { y}' = y y() = y A EDO tranformada fica então: y y y + = O que é, mai uma vez, uma equação algébrica em y + + y = = = + ( + 68)( 68) = + ( + 68)( 68) ( + 68)( 68) Página 7 da Secção 6

8 y = + ( + 68)( 68) ( + 68)( 68) Recorrendo à tabela de tranformada, verificamo que: F() ( a)( b) ( a)( b) f(t) at bt a b ( e e ) at bt a b ( ae be ) ogo: 68t 68t yt () = ( 68e + 68e ) 36 Como não poderia deixar de er, amba a reoluçõe conduzem ao memo reultado Qual dela é a melhor? Depende do problema e depende da preferência de cada um Ma erá que a aplicação da tranformada de aplace tranforma empre a equação diferencial numa equação algébrica? Vejamo outro exemplo ty'' + y ' y = y() = y'() = Trata-e de uma equação de egunda ordem, linear, homogénea, de coeficiente variávei A tranformada de A tranformada de y ' é: { y}' = y y() = y ty '' pode er obtida pela propriedade da derivada da tranformada: Aim: d { tf() t } = ( ) [ F() ] d Página 8 da Secção 6

9 Como: d { ty'' } = { y'' } d { ''} () '() y = y y y = y, então: { ty'' } = y dy + d A EDO tranformada fica: dy + = d y y y dy ( ) d + + = y dy + + y = d Obtivemo agora uma equação linear de primeira ordem no domínio de aplace! Tudo por caua do termo ty '', cuja tranformada envolve a primeira derivada de y em ordem a Teríamo que reolver eta EDO pelo método do factor integrante (note que a equação não é de variávei eparávei), de forma a obter y em função de Nete último exemplo, a reolução no domínio de aplace ainda é, apear de tudo, mai imple do que a reolução no domínio do tempo Vamo ver outro cao, no qual io não acontece t y y y y y '' + ' = () = '() = Trata-e novamente de uma equação de egunda ordem, linear, homogénea, de coeficiente variávei Vamo tranformá-la: { t y'' } = d { y'' } d y d y 4 dy y d = = + + d d d A equação diferencial original fica então: Página 9 da Secção 6

10 d y dy ( + ) y= d d Ma eta é uma equação de egunda ordem não-homogénea! Ou eja, o nível de dificuldade da reolução no domínio de aplace é uperior ao da reolução no domínio do tempo Nete cao não eria boa ideia aplicar a tranformação de aplace Função degrau unitário (função Heaviide) Vamo agora ver como a tranformação de aplace no permite lidar com alguma funçõe batante útei, ma que eriam trabalhoa de procear e tivéemo que operar no domínio do tempo A primeira dea funçõe é a função Heaviide, ou função degrau unitário A ua repreentação gráfica é dada por: a t Definição Função Heaviide Ou eja, trata-e de uma função em degrau: é para t < a e para t a Matematicamente, vamo repreentar eta função por H(t-a):, t < a Ht ( a) =, t a Uma outra função de interee é o pulo unitário: a b t Página da Secção 6

11 Eta função pode er repreentada implemente pela diferença de doi Heaviide:, t < a Ht ( a) Ht ( b) =, a t< b, t b Se bem que conigamo compreender o ignificado da função H(t-a), ela não deixa de er uma abtracção matemática: a ua manipulação algébrica implica empre um tratamento eparado para t < a e para t a Ma vejamo qual o apecto da tranformada de aplace da função Heaviide: Tranformada de aplace da função Heaviide { Ht ( a) } t t t e e = e Ht ( adt ) = e dt = = = a a a Ou eja: apear de H(t-a) er uma função decontínua no domínio do tempo, no domínio de aplace tal não acontece! É aim batante mai imple tratar com Heaviide no domínio de aplace Ei mai alguma propriedade intereante de tranformaçõe envolvendo funçõe Heaviide : a { Ht ( a) f ( t a) } = e { f() t } a { Ht ( a) f() t } = e { f( t+ a) } Ma qual é a utilidade prática deta funçõe? Muita veze é útil poder repreentar matematicamente um degrau ou um pulo, como é demontrado no próximo exemplo Um automóvel deloca-e a uma velocidade v = t km/hr (com t em hora) durante a meia hora inicial do percuro Depoi, a velocidade paa a v = 6 km/hr Qual a ditância percorrida ao fim de uma hora e meia? A velocidade do automóvel pode er repreentada da eguinte forma: t, t < 5 v = 6, t 5 Demontre eta propriedade com bae na definição da tranformada de aplace Página da Secção 6

12 Ma, e uarmo Heaviide, podemo ecrever o reultado anterior na forma: [ ] v= t Ht ( 5) + 6 Ht ( 5) Como a velocidade é a variação da ditância percorrida com o tempo: dx t[ Ht ( 5) ] 6 Ht ( 5) dt = + Uando a função Heaviide, coneguimo uar uma única equação matemática para repreentar um fenómeno decontínuo! O proceo em caua é aim repreentado por uma EDO de primeira ordem A equação é de variávei eparávei No entanto, e optáemo pela integração directa, teríamo que voltar a decompor a equação: tdt+ C, t < 5 dx = 6 dt+ C', t > 5 Vamo ante reolver o problema uando a tranformada de aplace: dx = + dt { t th( t 5) 6 Ht ( 5) } Primeiro temo que determinar a eguinte tranformada: 5 { ( 5) } 5 { 5) } 5 th t = e t+ = e + Agora já podemo tranformar toda a equação diferencial: e x x() = e = 5 e = = Obtemo aim: 5 ( x= e ) Invertendo a tranformada: Que é como quem diz: 5 ( e ) xt () = 6 t Ht ( 5)( t 5) Página da Secção 6

13 xt ( 5) = 6t xt ( > 5) = 6 t ( t 5) Repondendo à quetão do enunciado: = + = 6 t ( t t 5) 6( t 5) [ ] t = 5hr x= = 75km Ete exemplo podia realmente ter ido reolvido em recorrer ao uo de funçõe Heaviide No entanto, eta técnica permitir-no-á tratar problema complexo de forma implificada e matematicamente mai elegante Função impulo unitário (função delta de Dirac) Conideremo o eguinte pulo de magnitude n e duração /n: n Ete pode er repreentado por: a a+/n f () t = n H( t a) H t a+ n Note-e que o integral de f(t) é unitário: ftdt () = a+ a n = n Conideremo agora que n aumenta, ou eja, a largura do pulo diminui ao memo tempo a ua altura aumenta, de forma que a ua área continua a er unitária: Página 3 da Secção 6

14 a a+/n No limite, com n, obteremo um pulo de largura infiniteimal, localizado em t = a, ma cuja área é ainda unitária A tal chamámo impulo unitário, ou delta de Dirac **, que deignámo por δ(t-a): Definição Função delta de Dirac lim n H( t a) H t a+ = δ ( t a), n n δ ( t adt ) = Note-e que, enquanto que a função H(t-a) é adimenional, δ(t-a) tem unidade de t -! Convenciona-e que o delta de Dirac é repreentado graficamente por uma eta vertical centrada no ponto t = a: a Tranformada de aplace da função delta de Dirac A tranformada de aplace do delta de Dirac é : { δ ( )} a t a = e Outra propriedade importante é: ** Muita veze deigna-e a função δ(t-a) implemente por Dirac Demontre ete reultado aplicando a definição da tranformada à equação de definição do delta de Dirac Página 4 da Secção 6

15 f() t δ ( t adt ) = f( a) Vamo agora ver um exemplo, que procura comparar a aplicação da função Heaviide e da função delta de Dirac Pretende-e injectar g de uma ubtância no angue de um paciente Obtenha e reolva a equação de balanço material dea ubtância no angue, para o doi cao eguinte: a) A injecção dura 3, durante o quai o êmbolo da eringa e move a velocidade contante b) A injecção é muito rápida, praticamente intantânea Conidere que a ubtância não é aborvida pelo organimo e que a ua quantidade inicial no angue é nula a) A equação de balanço é dada por: Acumulação = Entrada Saída A parcela de acumulação é dada por: Acumulação = dm dt unidade = [g/], em que m deigna a quantidade máica (em g) de ubtância no angue A parcela de entrada correponde à injecção de g de ubtância, que dura 3 Ou eja, durante o 3 iniciai, entrou no angue um caudal máico contante de /3 g/ de ubtância: Entrada = [ Ht () Ht ( 3) ] 3 unidade = [g/] A equação de balanço erá então, notando que H(t) =, poi t : dm = [ Ht ( 3) ] dt 3 Aplicando tranformada de aplace: Página 5 da Secção 6

16 3 e m m() = 3 Reolvendo para m : e m = 3 3 Invertendo para o domínio do tempo obtemo a m em função de t: mt () = t Ht ( 3) ( t 3) t( Ht ( 3) ) 3 Ht ( 3) 3 = 3 Graficamente: m(t) 3 t b) Se a injecção durar, não 3, ma im um intervalo de tempo δt, a parcela de entrada erá repreentada como: Entrada = [ Ht () Ht ( δt) ] δ t unidade = [g/] No limite em que a injecção é intantânea, ou eja, t : Ht () Ht ( δ t) lim Ht () Ht ( t) = lim = () δ t t t Entrada = [ ] δt t Vemo aim que a entrada intantânea de g de ubtância no angue é repreentada por δ () t Note-e que, uma vez que a função impulo, δ () t, tem unidade de invero de tempo, o produto δ () t tem unidade de g/, tal como requerido A equação de balanço fica aim: dm = () δ t dt Aplicando tranformada fica implemente: Se, por exemplo, a injecção tivee lugar, não no intante t =, ma im no intante t =, eria fácil demontrar que a entrada eria decrita por δ ( t ) Página 6 da Secção 6

17 Invertendo: m= m = mt () = Graficamente, obtemo o reultado que com certeza já eperávamo: m(t) t Ei mai um exemplo de aplicação da função delta de Dirac Verificou-e que a taxa de diminuição da quantidade de um dado medicamento no angue é proporcional à quantidade exitente em cada intante Se um paciente tomar dua injecçõe dee medicamento, de m e m grama repectivamente, no intante t e t, qual erá a quantidade exitente no angue do paciente, em função do tempo? Auma que no intante t = não exitia nenhum medicamento no angue do paciente? Trata-e de um problema de balanço material Nete cao, vamo balancear a quantidade (máica) de medicamento exitente no angue em qualquer intante Como uual: Acumulação = Entrada Saída A parcela de acumulação é imple de definir: Acumulação = dm dt Quanto à entrada de medicamento no angue: Entrada = injecção + injecção Página 7 da Secção 6

18 Eta entrada etão localizada no tempo: para t = t entrou (intantaneamente) uma maa de medicamento m e para t = t entrou uma maa de medicamento m Em qualquer outro intante a entrada ão nula Para repreentar na noa equação de balanço a entrada intantânea de m e m vamo uar a função impulo unitário: mδ( t t ) + m δ( t t ) Entrada = O termo mδ ( t t) decreve a entrada, em unidade de maa por unidade de tempo (recordemo que δ ( t t) tem unidade de invero de tempo), de uma maa m durante um intante de tempo infiniteimal Ou eja: uma entrada intantânea A aída correpondem ao deaparecimento do medicamento do angue, o qual é proporcional à ua quantidade em cada intante: Saída = -km Aim, a equação de balanço erá: dm = m δ( t t ) + m δ( t t ) km dt Aplicando a tranformada de aplace: m m() = km+ me + me, me m = + me + k t t t t Invertendo obtém-e (demontre que aim é): mt () = mht ( t ) e + mht ( t ) e k ( t t ) k( t t) Podemo agora eboçar graficamente a evolução de m com o tempo: m(t) m m t t t Página 8 da Secção 6

19 Definição Produto de convolução Produto de convolução Mai uma vez, recordemo que a tranformada de um produto não é igual ao produto da tranformada! No entanto, exite um outro produto para o qual ea propriedade é válida: o chamado produto de convolução, que é definido da eguinte forma: t f g = fugt ( ) ( udu ) A ua tranformada de aplace é então dada por: { f g} = { f } { g} Ete reultado é intereante poi oferece-no uma forma implificada de calcular o produto de convolução: em vez de calcular o integral da definição (normalmente batante cutoo), podemo calcular a ua tranformada (que é implemente igual ao produto da tranformada da dua funçõe) e eguidamente inverter o reultado f g t frgt ( ) ( rdr ) - { f g} { f} { g} Calcular o eguinte produto de convolução: t co( t) Vamo primeiro calcular a tranformada de aplace do produto de convolução: { t co( t) } = { t} { co( t) } = = + + ( ) Da tabela de tranformada obtemo que a invera do reultado anterior é: Página 9 da Secção 6

20 - co( t) = ( + ) ogo: t co( t) = co( t) Página da Secção 6

21 Sumário da Secção 6 Definição da tranformada de aplace Propriedade da tranformada de aplace Tranformada invera Aplicação à reolução de equaçõe diferenciai Função degrau unitário (função Heaviide) Função impulo unitário (função delta de Dirac) Produto de convolução Página da Secção 6