Modelos Matemáticos de Sistemas

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1 Modelos Matemáticos de Sistemas Introdução; Equações Diferenciais de Sistemas Físicos; Aproximações Lineares de Sistemas Físicos; Transformada de Laplace; Função de Transferência de Sistemas Lineares; Modelos em Diagrama de Blocos; Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais; Analise Computacional de Sistemas de Controle; Exemplo de Projetos. 1

2 Analise Computacional de Sistemas de Controle Modelo Computacional de um sistema sob forma matemática é usado para investigar o seu comportamento, sem contudo construir-lo. Simulação em computador apresenta as vantagens seguintes: 1. O desempenho do sistema pode ser observado sob todas as condições;. Os resultados do desempenho de sistema de campo podem ser extrapolados com o modelo de simulação para fins de previsão; 3. As decisões relativas a sistemas futuros que se encontram presentemente no estagio conceitual podem ser examinadas; 4. Ensaios com sistemas sob teste podem ser realizados em um período de tempo muito reduzido; 5. Os resultados de simulação podem ser obtidos a um custo menor que o da experimentação real; 6. O estudo de situações hipotéticas pode ser efetuado mesmo quando a situação hipotética for irrealizável na vida real no presente momento; 7. A modelagem e a simulação em computador é muitas vezes a única técnica viável ou segura para se analisar um sistema.

3 Analise Computacional de Sistemas de Controle A analise e o projeto são grandemente melhorados pelo uso da simulação como uma parte do processo de concepção e desenvolvimento. MATLAB 3

4 Simulação de Sistemas usando MATLAB O interesse reside em como o MATLAB pode auxiliar: i. Na manipulação de polinômios; ii. Nos cálculos de pólos e zeros da função de transferência; iii. Nos cálculos das funções de transferência a malha fechada; iv. Na redução de diagrama de blocos; v. No calculo da resposta de um sistema a uma excitação em degrau unitário; vi. Na analise de qualquer modelo matemático de sistema. Estudar MATLAB 4

5 Exemplo de Projetos 1. Controle do Motor Elétrico de Tração: Objetivos do projeto: i. Obter o modelo do Sistema; ii. Obter a FT do Sistema de MF T(s)/ T d (s); iii. Selecionar os resistores 1,, 3 e 4; iv. Prever a esposta do Sistema. 1o. Passo: Descrever a FT de Cada Bloco Propõe o uso de: - um Tacômetro para gerar uma tensão v(t) proporcional a velocidade - v(t) é conectado a um AMPOP diferencial - Amplificador de Potencia é não-linear v =e 3v1, com um ponto de operação nominal v 10 =1,5. Linearizando em torno do ponto de operação: dg v = v = 3e v = 70 v = 540 v 10 3 ( v 10 ) ( ) dv1 v 5

6 Controle do Motor Elétrico de Tração Amplificador Diferencial: Fazendo T d (t)=v in, se T d (t)=10 rad/s v in =10V 1+ v1 = v K v 1+ ( ) 1 in t in v1 = vin vt Quando o sistema estiver em repouso: sendo v in =0V e fazendo K t =0, = Kt = / 1 =10 e 3 / 4 =10 6

7 Controle do Motor Elétrico de Tração Parâmetros de um Motor CC Grande: K m =10 J= a =1 b=0,5 L a =1 K b =0,1 ω( s) 540 G1 ( s) G( s) 5400 = = ω ( s) 1+ 0,1G G G G ( s + 1)(s + 0,5) d ω( s) 700 = ω 1 1 d ( s) s + 1, 5s + 700,75 A equação característica é de a. Ordem ωn = 5 ζ = 0,01 Espera-se se uma esposta do sistema altamente Oscilatória (subamortecida( subamortecida) 7

8 Controle do Motor Elétrico de Tração 8

9 Controle do Motor Elétrico de Tração ω( s) 700 = ω d ( s) s + 1, 5s + 700,75 ωn = 5 ζ = 0,01 9

10 Projeto de um Filtro Passa-Baixa Objetivos: - Deixar passar sinais com freqüência < 106,1 Hz; - Atenuar sinais com freqüência > 106,1 Hz; - Ganho Estático = ½. I = ( V V ) G 1 1 I = ( V V ) G 3 V = ( I I ) V 1 = I Z 3 Pólo: π (106,1)=666,7 C=0,001 =1k Ω C=1µ F G = 1/ onde Z( s) = 1/ Cs I1( s) = I1 T ( s) V M GZ V 1 L + L + L + L L 3+ GZ 3 1 = = = ( ) / 3C T ( s) = = 3Cs + s + /3C 333,35 T ( s) = ( s + 666,7) 10

11 Acelerômetro Mecânico Um acelerômetro montado sobre um trenó de teste para sistema de propulsão a jato. dy d b ky M ( y x ) dt = dt + d y dy d x M + b + ky = M dt dt dt M s d x = F( t) dt Força de Propulsão d y dy M M + b + ky = F( t) dt dt M b k F( t) && y + y& + y = M M M s s 11

12 Acelerômetro Mecânico Sendo: b/m=3 k/m= F(t)/M s =Q(t) CI : y& (0) = y( t) = 1 ( ) (0) &(0) 3[ ( ) (0)] ( ) ( ) s Y s sy y + sy s y + Y s = Q s Fazendo Q(s)=P/s, onde P é a magnitude da função degrau. P ( ) + + 3[ ( ) + 1] + ( ) = s s Y s s sy s Y s ( s s P) ( s + 3s + ) Y ( s) = + + s ( s + s + P) ( s + s + P) ( ) ( + 1)( + ) Y ( s) = = s s s s s s 1

13 Acelerômetro Mecânico Expandindo em Frações Parciais k1 k k3 Y ( s) = + + s ( s + 1) ( s + ) Onde: ( s + s + P) P ( s + s + P) ( s + s + P) P 1 = = ; = = ; 3 = = k k P k ( s + 1)( s + ) s( s + ) s( s + 1) P1 P P Y ( s) = + + s ( s + 1) ( s + ) s= 0 s= 1 s= 1 y t P Pe P e t t t ( ) = + ( + ), 0 Para P=3 y(t) é proporcional a aceleração após 5 segundo 13