Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

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1 Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 9.1 INTRODUÇÃO* (Capítulo 11 do Ogata) Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira complexa. Para analisar esse sistema é essencial reduzir a complexidade das expressões matemáticas, bem como recorrer aos computadores para a maioria dos processamentos tediosos necessários à análise. A abordagem com base no espaço de estados é a mais apropriada para analisar o sistema por esse ponto de vista. Enquanto a teoria de controle convencional é fundamentada na relação entrada-saída, ou função de transferência, a teoria de controle moderno é fundamentada na descrição de um sistema de equações em ter- mos de n equações diferenciais de primeira ordem, que podem ser combinadas em uma equação diferencial vetorial-matricial de primeira ordem. O uso de uma notação vetorial-matricial simplifica bastante a representação matemática do sistema de equações. O aumento do número das variáveis de estado, do número de entradas ou do número de saídas não aumenta a complexidade das equações. De fato, a análise de complica- dos sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas pode ser conduzida por procedimentos que são apenas ligeiramente mais complicados do que aqueles necessários à análise dos sistemas de equações diferenciais escalares de primeira ordem. Esse capítulo e o próximo lidam com a análise por espaço de estados e o projeto de sistemas de controle. Materiais básicos da análise por espaço de estados, incluindo a representação de sistemas no espaço de estados, controlabilidade e observabilidade, são apresentados neste capítulo. Visão geral do capítulo. Esta Seção 9.1 apresenta uma introdução à análise de sistemas de controle no espaço de estados. A Seção 9.2 trata da representação no espaço de estados de funções de transferência. Aqui, apresentamos várias formas canônicas de equações no espaço de estados. A Seção 9.3 discute a transformação de modelos de sistemas (como de função de transferência para modelos no espaço de estados e vice-versa) com o MATLAB. A Seção 9.4 apresenta a solução das equações de estado invariantes no tempo. A Seção 9.5 fornece alguns resultados úteis sobre a análise vetorial-matricial, que são necessários quando se estudam a análise e o controle de sistemas no espaço de estados. A Seção 9.6 discute a controlabilidade de sistemas de controle e a Seção 9.7 trata da observabilidade de sistemas de controle. * Note que, neste livro, um asterisco utilizado como um sobrescrito da matriz, como A*, implica que ele é o conjugado transposto da matriz A. O conjugado transposto é o conjugado do transposto de uma matriz. Para uma matriz real (uma matriz cujos elementos são todos reais), o conjugado transposto A* é o mesmo que o transposto A T. 9.2 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA NO ESPAÇO DE ESTADOS Muitas técnicas estão disponíveis para a obtenção da representação no espaço de estados de funções de transferência. No Capítulo 3, apresentamos alguns desses métodos. Esta seção apresenta representações no espaço de estados nas formas controlável, observável, diagonal ou

2 na forma canônica de Jordan. Representação no espaço de estados em formas canônicas. Considere um sistema definido por: onde u é a entrada e y é a saída. Essa equação também pode ser escrita como: (9.1) A seguir, introduziremos as representações no espaço de estados de sistemas definidos pela Equação (9.1) ou (9.2) nas formas canônicas controlável, observável e diagonal (ou de Jordan). Forma canônica controlável. A seguinte representação no espaço de estados é denominada forma canônica controlável: (9.2) (9.3) A forma canônica controlável é importante na descrição do projeto de sistemas de controle pela abordagem por alocação de pólos. Forma canônica observável. A seguinte representação no espaço de estados é denominada forma canônica observável: (9.4) (9.5)

3 (9.6) Note que a matriz de estado n x n da equação de estado dada pela Equação (9.5) é a transposta daquela equação de estado definida pela Equação (9.3). Forma canônica diagonal. Considere a função de transferência definida pela Equação (9.2). Consideramos aqui o caso em que o polinômio do denominador envolve somente raízes distintas. Para o caso de raízes distintas, a Equação (9.2) pode ser escrita como: A forma canônica diagonal da representação no espaço de estados desse sistema é dada por: (9.7) (9.8) Forma canônica de Jordan. Em seguida, consideraremos o caso em que o polinômio do denominador da Equação (9.2) envolve múltiplas raízes. Para esse caso, a forma canônica diagonal anterior precisa ser modificada para a forma canônica de Jordan. Suponha, por exemplo, que os p sejam diferentes entre si, exceto pelos três primeiros P que são iguais, ou seja, que pi = p2 = p3. Então, a forma fatorada de Y(s)/U(s) resulta em: (9.9) A expansão em frações parciais dessa última equação resulta em:

4 A representação desse sistema no espaço de estados, na forma canônica de Jordan, é dada por: (9.10) EXEMPLO 9.1 Considere o sistema dado por: (9.11) Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável, observável e diagonal. Forma canônica controlável: Forma canônica observável: Forma canônica diagonal: Autovalores de uma matriz Anxn. Os autovalores de uma matriz Anxn são as raízes da equação característica Os autovalores são também denominados raízes características. Considere, por exemplo, a seguinte matriz A:

5 A equação característica é: Os autovalores de A são as raízes da equação característica, ou seja, -1, -2 e -3 que nada mais são do que os polos do sistema. Diagonalização de uma matriz nxn. Note que, se uma matriz Anxn com distintos autovalores é dada por: a transformação x = Pz, onde (9.12) com,,..., n os n autovalores distintos de A. A matriz P transformará P -1 AP em uma matriz diagonal ou seja Se a matriz A definida pela Equação (9.12) envolve múltiplos autovalores, então a diagonalização é impossível. Por exemplo, se a matriz A3x3, onde

6 possui os autovalores então a transformação x=sz, onde resultará em: que é a forma canônica de Jordan. EXEMPLO 9.2 Considere a seguinte representação no espaço de estados do sistema (9.13) (9.14) As equações (9.13) e (9.14) podem ser colocadas em uma forma-padrão como: (9.15) (9.16) Onde Os autovalores da matriz A são = -1, = -2, 3 = -3 Logo, os três autovalores são distintos. Se definirmos um conjunto das novas variáveis de estado z 1, z 2 e z 3 pela transformação ou onde x=pz (9.17) (9.18)

7 então, substituindo a Equação (9.17) na Equação (9.15), obtemos: Pré-multiplicando ambos os lados dessa última equação por P -1, obtemos: (9.19) ou Simplificando, temos: (9.20) A Equação (9.20) também é uma equação de estado que descreve o mesmo sistema definido pela Equação (9.13). A equação de saída, Equação (9.16), é modificada para: y = CPz ou (9.21) Note que a matriz de transformação P, definida pela Equação (9.18), modifica a matriz de coeficientes de z para a matriz diagonal. Como é facilmente visto a partir da Equação (9.20), as três equações de estado escalares são desacopladas. Observe também que os elementos da diagonal da matriz P -1 AP na Equação (9.20) são idênticos aos três autovalores de A. É muito importante notar que os autovalores de A e os de P -1 AP são idênticos. A seguir, provaremos isso para um caso geral. Invariância dos autovalores. Para provar a invariância dos autovalores sob uma transformação linear, precisamos mostrar que os polinômios característicos I-A e I-P -1 AP são idênticos. Como o determinante de um produto é o produto dos determinantes, obtemos:

8 Sabendo que o produto dos determinantes P -1 e P é igual ao determinante do produto P -1 P, obtemos: Dessa maneira, provamos que os autovalores de A são invariantes em uma transformação linear. Não-unicidade do conjunto de variáveis de estado. Um conjunto de variáveis de estado não é único para um dado sistema. Suponha que x 1, x 2,...,x n sejam um conjunto de variáveis de estado. Então, podemos tomar qualquer conjunto de funções como outro conjunto de variáveis de estado: considerando que a cada conjunto de valores corresponde um único conjunto de valores x 1, x 2,..., x n e vice-versa. Portanto, se x é um vetor de estado, então, onde também é um vetor de estado, admitindo que P seja não singular. Diferentes vetores de estado carregam a mesma informação sobre o comportamento do sistema. = Px 9.3 TRANSFORMAÇÃO DE MODELOS DE SISTEMAS COM O MATLAB Nesta seção, consideraremos a transformação do modelo do sistema de função de transferência para espaço de estados e vice-versa. Começaremos nossa discussão com a transformação de função de transferência para espaço de estados. Vamos escrever a função de transferência de malha fechada como: Uma vez que temos essa expressão do tipo função de transferência, o comando em MATLAB [A, B, C, D] = tf2ss(num,den) fornecerá uma representação no espaço de estados. É importante notar que a representação no espaço de estados de qualquer sistema não é única. Existem inúmeras (de fato, infinitas) representações para o mesmo sistema. O comando em MATLAB fornece uma dessas representações possíveis no espaço de estados. Formulação no espaço de estados de funções de transferência. Considere a função de transferência (9.22)

9 Existem inúmeras (novamente, infinitas) representações possíveis no espaço de estados para esse sistema. Uma possível representação no espaço de estados é: Outra possível representação no espaço de estados (entre as infinitas alternativas) é: (9.23) (9.24) O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação (9.22) na representação no espaço de estados dada pelas equações (9.23) e (9.24). Para o sistema-exemplo considerado aqui, o Programa 9.1 em MATLAB produzirá as matrizes A, B, C e D. Programa 9.1 em MATLAB num=[ ] den=[ ] [A, B, C, D]=tf2ss(num, den) A= B= C= D= 0 Transformação de espaço de estados para função de transferência. Para obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados, utilize o seguinte comando: [num,den] = ss2tf(a,b,c,d,iu) iu precisa ser especificado para sistemas com mais de uma entrada. Por exemplo, se o sistema

10 tiver três entradas (u1, u2, u3), então iu deve ser 1, 2 ou 3, onde 1 implica ul, 2 implica u2 e 3 implica u3. Se o sistema tiver apenas uma entrada, tanto como [num,den] = ss2tf(a,b,c,d) [num,den] = ss2tf(a,b,c,d,1) podem ser utilizadas. (Veja o Exemplo 9.3 e o Programa 9.2 em MATLAB.) Para o caso em que o sistema tem múltiplas entradas e múltiplas saídas, veja o Exemplo 9.4. EXEMPLO 9.3 Obtenha a função de transferência do sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados: O Programa 9.2 em MATLAB produzirá a função de transferência para o sistema dado. A função de transferência obtida é dada por: Programa 9.2 em MATLAB A=[0 1 0;0 0 1; ] B=[0;25.04; ] C=[1 0 0] D=[0] [num,den]=ss2tf(a,b,c,d) num= den= % %**** O mesmo resultado pode ser obtido introduzindo-se o seguinte comando **** % [num,den]=ss2tf(a,b,c,d,1) num= den=

11 EXEMPLO 9.4 Considere um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas. Quando o sistema possui mais de uma saída, o comando [num,den] = ss2tf(a,b,c,d,iu) produz funções de transferência para todas as saídas em relação a cada entrada. (Os coeficientes do numerador são colocados na matriz NUM, que possui tantas linhas quantos forem os números de saídas.) Considere o sistema definido por: Esse sistema possui duas entradas e duas saídas. Quatro funções de transferência estão envolvidas: Y1(s)/U1(s), Y2(s)/U1(s), Y1(s)/U2(s) e Y2(s)/U2(s). (Considerando a entrada u1, vamos supor que a entrada u2 seja nula e vice-versa.) Veja o resultado do Programa 9.3 em MATLAB: Essa é a representação em MATLAB das quatro seguintes funções de transferência: 9.4 RESOLVENDO A EQUAÇÃO DE ESTADO INVARIANTE NO TEMPO Nesta seção, obteremos a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo. Primeiramente, consideraremos o caso homogêneo e, depois, o caso não homogêneo. Solução da equação de estado homogênea. Antes de resolver a equação diferencial vetorialmatricial, vamos rever a solução diferencial escalar Resolvendo essa equação, podemos supor uma solução de x(t) na forma (9.25) x(t)=b 0 +b 1 t+b 2 t b k t k +.. (9.26) Substituindo a solução nessa forma, na Equação (9.25), obtemos: b 1 + 2b 2 t + 3b 3 t kb k t k =a(b 0 +b 1 t+b 2 t 2 + +b k t k + ) (9.27) Se a solução presumida for a solução verdadeira, então a Equação (9.27) será válida para qualquer t. Portanto, igualando os coeficientes de potências iguais em t, obtemos:

12 b 1 = ab 0 b 2 =ab 1 /2=a 2 b 0 /2 b 3 =ab 2 /3= a 3 b 0 /(3x2)... b k =a k b 0 /k! O valor de b 0 é determinado substituindo-se t = 0 na Equação (9.26) ou x(0) = b 0 Logo, a solução x(t) pode ser escrita como: Agora, resolveremos a equação diferencial vetorial-matricial (9.28) onde x = vetor n A = matriz constante nxn Por analogia com o caso escalar, vamos supor que a solução esteja na forma de uma série vetorial de potências em t ou x(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t b k t k +... (9.29) Substituindo a solução nessa forma na Equação (9.28), obtemos: b 1 + 2b 2 t + 3b 3 t kb k t k = A(b 0 + b 1 t + b 2 t b k t k +... ) (9.30) Se a solução presumida for a solução verdadeira, então a Equação (9.30) será válida para qualquer t. Portanto, igualando os coeficientes de mesma potência de t em ambos os lados da Equação (9.30), obtemos:

13 Substituindo t=0 na Equação (9.29), obtemos: x(0) = b 0 Logo, a solução x(t) pode ser escrita como: A expressão dentro dos parênteses no lado direito dessa última equação é uma matriz nxn. Por causa de sua similaridade com a série infinita de potências de uma exponencial escalar, a denominamos matriz exponencial e escrevemos: Em termos da matriz exponencial, a solução da Equação (9.28) pode ser escrita como: (9.31) Como a matriz exponencial é muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares, examinaremos a seguir suas propriedades. Matriz exponencial. Pode-se provar que a matriz exponencial de uma matriz Anxn converge absolutamente para todo t finito. (Portanto, o cálculo dos elementos de e At pelo uso da expansão em série é facilmente realizado pelo computador.) Por causa da convergência da série infinita resultando em: ela pode ser diferenciada termo a termo, A matriz exponencial possui a propriedade e A(t+s) = e At e As Isso pode ser provado como se segue:

14 Em particular, se s = -t, então Então, a inversa de e At é e -At. Uma vez que a inversa de e At sempre existe, e At é não singular. É muito importante lembrar que: Para provar isso, note que: