Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.

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1 Agenda Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo Conceitos básicos Classes de de Complexidade P NP Redução Problemas NPC NP-Completude Introdução Existem alguns problemas computacionais que são difíceis de de serem resolvidos. Impossível de de se se provar que não existe solução eficiente. Que conclusões tirar da da tabela abaixo? Funções de Tamanho da Entrada (n) Complexidade n.00001s.00002s.00003s.00004s.00005s.00006s n s.0004s.0009s.0016s.0025s.0036s n 3.001s.008s.027s.064s.125s.216s n 5.1s 3.2s 24.3s 1.7min 5.2min 13.0min 2 n.001s 1.0s 17.9min 12.7dias 35.7anos 366sec 3 n 0.059s 58min 6.5anos 2855sec 2x10 8 sec 1.3x10 13 sec Eficiência Como definir a eficiência de de uma solução? Vimos em nosso curso a conveniência de de se se utilizar medidas de de complexidade como medida de de eficiência. Um algoritmo é eficiente quando a sua complexidade for for polinomial em relação ao ao tamanho de de sua entrada. Um algoritmo é dito ser de de tempo polinomial se se for for O(n k k ), ), para alguma constante k > Qualquer outro algoritmo que não for for polinomial é dito ser exponencial. Classificação não é absoluta. Algumas vezes pode ser insatisfatória mas, na na maioria dos casos, é aceitável. Intratabilidade de Problemas Um problema é dito tratável se se ele apresenta uma solução polinomial. Um problema é intratável se se ele for for tão difícil que nenhum algoritmo polinomial pode resolvê-lo. Alguns algoritmos polinomiais podem não ser muito úteis. Por exemplo, se se for for O(n ). ). Na prática, porém, quase sempre os os polinômios são de de grau 2 ou ou Alguns problemas são tão difíceis que são indecidíveis. Por exemplo, o problema da da parada. Por outro lado, alguns problemas são decidíveis mas, intratáveis. NP-Completude Vamos estudar certos problemas que são, de de fato, difíceis (computacionalmente) de de se se resolver. Esse é a idéia central da da teoria de de NP-Completude. Vamos mostrar que encontrar uma solução eficiente para um certo problema é tão difícil quanto encontrar soluções eficientes para todos os os problemas definidos em uma classe de de problemas que chamamos NP. 1

2 Problema Algorítmico Caracterizado por: Conjunto de de dados. Objetivo do do problema. Solução. Exemplo: Encontrar um clique de de tamanho k em um grafo G. G. Conjunto de de dados: um grafo G e um inteiro k > Objetivo do do problema: a própria definição. Classes de Problemas Problemas de de Decisão: Problemas em que a saída (solução) é SIM ou ou NÃO. Problemas de de Localização: Determinar uma certa estrutura que satisfaça um conjunto de de propriedades dadas. Problemas de de Otimização: Problemas de de localização em que as as propriedades satisfazem critérios de de otimização. Todos os os problemas que vamos utilizar no no estudo de de NP- Completude são problemas de de decisão. Classes de Problemas Classes de Complexidade P e NP É possível relacionar problemas de de otimização e localização com problemas de de decisão. Por exemplo: Problema de de Decisão: Dados: Um grafo G e um inteiro k>0. Objetivo: Verificar se se G possui um percurso de de caixeiro viajante de de peso k. Problema de de Localização: Dados: Um grafo G e um inteiro k>0. Objetivo: Localizar, em G, G, um percurso de de caixeiro viajante de de peso k. Problema de de Otimização: Dados: Um grafo G. G. Objetivo: Localizar, em G, G, um percurso de de caixeiro viajante ótimo. A Classe de de Complexidade P (polynomial time) é o conjunto de de todos os os problemas de de decisão que são resolvíveis em tempo polinomial em um computador determinístico. A Classe de de Problemas NP (nondeterministic polynomial time) é o conjunto de de problemas resolvíveis em tempo polinomial em um computador não-determinístico. A Classe NP também pode ser definida como a classe de de problemas em que é possível verificar em tempo polinomial, se se um determinada solução proposta satisfaz o problema de de decisão. Não Determinismo Veja um computador não determinístico como sendo um computador que magicamente adivinha uma solução: Se Se a solução existe, o computador sempre adivinha. Outra forma de de definir: Um computador paralelo que executa infinito número de de processos Um processador para cada solução possível Classes de Complexidade Co-NP O complemento de de um problema de de decisão D é um problema de de decisão cujo objetivo é o complemento da da decisão de de D. D. A Classe Co-NP compreende exatamente os os complementos dos problemas da da classe NP. 2

3 Relação entre Classes de Complexidade Relação entre Classes de Complexidade P = conjunto de de problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial NP = conjunto de de problemas cuja solução pode ser verificada em tempo polinomial P NP Questão não resolvida: P = NP? ou oup NP? Se P NP,, NP P são problemas intratáveis. Problema 1: 1: Satisfiability O problema da da satisfiability (SAT) é um problema de de lógica que envolve expressões booleanas. Pode ser definido da da seguinte forma: Dados: Uma expressão booleana E na na sua forma normal conjuntiva (FNC). Objetivo: Verificar se se E é satisfeita, ou ou seja, verificar se se existe uma atribuição de de valores às às variáveis da da expressão de de tal tal modo que a expressão seja avaliada verdadeira. Uma expressão é FNC quando for for uma conjunção de de cláusulas. Por exemplo, (x2 x1) (x1 x3 x2) (x3) (x1 x3 x2). Problema 2: 2: Conjunto Independente de de Vértices Objetivo: Verificar se se G possui um conjunto independente de de vértices de de tamanho k. Dado um grafo G= (V,E), um conjunto independente de de vértices é um subconjunto V IND IND V tal tal que qualquer par de de vértices de de V IND IND não é adjacente. Problema 3: 3: Clique Objetivo: Verificar se se G possui um clique de de tamanho k. Dado um grafo G= (V,E), um clique é um subconjunto V CLI CLI V tal tal que qualquer par de de vértices de de V CLI CLI é adjacente. Problema 4: 4: Cobertura de de Vértices Objetivo: Verificar se se G possui uma cobertura de de vértices de de tamanho k. Dado um grafo G= (V,E), uma cobertura de de vértices é um subconjunto V COB COB V tal tal que qualquer aresta de de G é incidente a um vértice de de V COB COB.. 3

4 Problema 5: 5: Coloração Objetivo: Verificar se se G possui uma coloração com um número de de cores k. Dado um grafo G= (V,E), uma coloração é atribuída a G de de tal tal forma que dois vértices adjacentes tenham cores distintas. Problemas NP-Completos A A classe de de problemas NP NP captura o conjunto de de problemas que que acreditamos que que sejam difíceis de de se se tratar. Existem, entretanto, problemas que que podem ser ser considerados pelo pelo menos tão tão difíceis como qualquer outro em em NP. NP. Essa classe de de problemas mais difíceis em em NP NP é chamada de de NP-Completo ou ou NPC. Redução em Tempo Polinomial Um problema P pode ser reduzido a um outro problema Q se se qualquer instância de de P pode ser refraseada (transformada) para uma instância de de Q. Q. Intuitivamente: se se P é redutível em tempo polinomial a Q, Q, P não é mais difícil de de resolver do do que Q. Q. Teorema de Cook SAT é NP-Completo. SAT tem a propriedade que todos os os problemas em NP podem ser reduzidos a ele, em tempo polinomial. Existem outros problems em NP que têm as as mesmas características de de SAT. Se Se D1 NPC e D2 NPC, então D1 p D2 e D2 p D1. É possível concluir: Se Se um problema NPC pode ser resolvido em tempo polinomial, então todos os os problemas de de NP podem sê-lo. Se Se um problema de de NP é intratável, todos os os problemas de de NPC são intratáveis. Como Determinar se um Problema é NPC? Se Se P, P, Q NP, P é NPC e P p Q, Q, então Q é NP-Completo. Para provar se se um problema de de decisão D é NP-Completo, devemos seguir os os seguintes passos: Mostra que D NP Selecionar, D1, um problema NPC conhecido Achar uma redução de de D1 p D para Mostrar que a redução foi foi feita em tempo polinomial. Exemplos de Problemas NPC: 3SAT O problema 3SAT consiste em determinar o resultado de de uma expressão booleana E que está escrita em sua FNC é satisfeita. Cada cláusula de de E tem exatamente três literais. Por exemplo: (v1 v2 v7) (v3 v5 v5 v6) (v1 v5 v8) é uma instância de de 3SAT. Aplicando os os passos para determinar se se 3SAT é NPC temos: 3SAT é claramente NP. SAT é NPC. Se Se SAT p 3SAT. (vamos mostrar como a redução é feita) Se Se a redução é feita em tempo polinomial, 3SAT é NPC. 4

5 3SAT Para fazer a redução, devemos substituir cada cláusula Ci Ciem E por: Se Se Ci=(a),, devemos trocar por Si Si = (a b c) (a b c) (a b c) (a b c).. Se Ci=(a b), devemos trocar por Si Si = (a b c) (a b c) Se Ci= (a b c), não fazemos nada. Se Ci= (a (a 1 a a 2... a k k ), ), k>3, devemos trocar por Si Si = (a (a 1 a a 2 b b 1 ) ( b 1 a a 3 b b 2 ) ( b 2 a a 4 b b 3 )... ( b k-3 k-3 a a k-1 k-1 a a k k ). ). As As variáveis adicionadas são novas variáveis que não estão sendo usadas. Reduzir 3SAT para Cobertura de de Vértices: Para cada variável x crie um nó nópara x e x x e conecte os os dois nós. Para cada cláusula (a b c), crie um triângulo e conecte os os 3 nós. a x x c b Complete a construção: Conecte cada literal em emum triângulo para o seu correspondente (no (no par). Seja n o número de de variáveis, m o número de de cláusulas Fazer k = n + 2m 2m Por exemplo, ( x y z) x x y y z z Exemplo: (a b c) ( a b c) ( b c d) O Grafo tem cobertura de de vértice de de tamanho k = 4+6 = sss a fórmula é satisfatível a a b b c c d 32 d a c b Clique é NPC Reduzir a partir de de cobertura de de vértices. O grafo G tem cobertura de de vértice de de tamanho k sss seu complemento tem um clique de de tamanho n-k. G G 5