Análise e Projeto de Algoritmos

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1 Análise e Projeto de Algoritmos

2 Classes P e NP P São os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Determinística. NP São os problemas que podem ser decididos em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Não-Determinística.

3 Classes P e NP P São os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Determinística. NP São problemas que podem ser checados em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Determinística.

4 Soma de Subconjunto (Subset Sum) Soma de Subconjunto (Subset Sum) Dados n números inteiros e um número c, encontrar um subconjunto cuja soma dos elementos é c. É um problema NP-completo. É NP: podemos dar um algoritmo que checa uma solução em tempo polinomial. É NP-difícil: podemos reduzir um problema NP-completo a ele.

5 Soma de Subconjunto (Subset Sum) Soma de Subconjunto (Subset Sum) Dados n números inteiros S e um número c, encontrar um subconjunto T cuja soma dos elementos é c. É NP: podemos dar um algoritmo que checa uma solução em tempo polinomial total = 0 for (i=0; i<k; i++) total += T[i] if (total == c) return 1 else return 0

6 Soma de Subconjunto (Subset Sum) Soma de Subconjunto (Subset Sum) Dados n números inteiros e um número c, encontrar um subconjunto cuja soma dos elementos é c. É NP-difícil: podemos reduzir o 3-SAT a ele 3-SAT A fórmula SAT como uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de exatamente 3 literais.

7 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada variável serão criado dois números v i e v i, representando x i e seu negativo x i. Para cada cláusula serão criados dois números s i e s i. Seja k o número de variáveis e n o número de cláusulas, cada número terá n + k dígitos.

8 3-SAT - Soma de Subconjunto (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) v 1 v 1 v 2 v 2 v 3 v 3 s 1 s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 4 s 4 x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4

9 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha v i e coluna x j, coloque 1 se i = j e 0, caso contrário. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v 1 v v 2 v v 3 s 1 s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 4 s 4

10 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha v i e coluna x j, coloque 1 se i = j e 0, caso contrário. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v v v v v s 1 s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 4 s 4

11 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha s i e coluna C j, coloque 1 se i = j e 0, caso contrário. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v v v v v s s 1 s s 2 s s 3 s s 4

12 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha s i e coluna C j, coloque 2 se i = j e 0, caso contrário. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v v v v v s s s s s s s s

13 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha s i e coluna v j, coloque 0. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v v v v v s s s s s s s s

14 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha v i e coluna C j, coloque 1 se x i está na cláusula C j. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v v v v v s s s s s s s s

15 3-SAT - Soma de Subconjunto Para cada linha v i e coluna C j, coloque 1 se x i está na cláusula C j. (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 v v v v v v s s s s s s s s

16 3-SAT - Soma de Subconjunto O conjunto S será formado por cada número da tabela. x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 S v ,001,001 v ,000,110 v ,011 v ,100 v ,001 v ,110 s ,000 s ,000 s s s s s s

17 3-SAT - Soma de Subconjunto O valor procurado da soma c será formado de dígitos 1 para cada variável e dígitos 4 para cada cláusula. x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 S v ,001,001 v ,000,110 v ,011 v ,100 v ,001 v ,110 s ,000 s ,000 s s s s s s c ,114,444

18 3-SAT - Soma de Subconjunto (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 S v ,001,001 v ,000,110 v ,011 v ,100 v ,001 v ,110 s ,000 s ,000 s s s s s s c ,114,444 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 1

19 Clique Clique É um conjunto de vértices V de tamanho k de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V é adjacente. É um problema NP-completo. É NP: podemos dar um algoritmo que checa uma solução em tempo polinomial É NP-difícil: podemos reduzir o 3-SAT a ele

20 Clique Clique É um conjunto de vértices V de tamanho k de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V é adjacente. É NP: podemos dar um algoritmo que checa uma solução em tempo polinomial for (v in V ) for (w in V ) if (v!= w &&!existedge(v, w)) return 0; return 1;

21 Clique Clique É um conjunto de vértices V de tamanho k de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V é adjacente. É NP-difícil: podemos reduzir o 3-SAT a ele 3-SAT A fórmula SAT como uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de exatamente 3 literais.

22 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

23 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

24 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

25 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

26 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

27 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

28 3-SAT - Clique Para cada literal em cada cláusula crie um vértice.

29 3-SAT - Clique Dois literais estão ligados se ambos podem ser verdadeiros. Um clique só pode ter um nó de cada cláusula. Um clique de tamanho k igual ao número de cláusulas tem um vértice de cada cláusula e todos podem ser verdadeiros.

30 Reduções a partir de SAT

31 Exercício Conjunto Independente de Vértices É o maior conjunto de vértices V de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V não é adjacente. Prove que o Problema do Conjunto Independente de Vértices é um problema NP-completo.

32 Exercício: Solução Conjunto Independente de Vértices É um conjunto de vértices V de tamanho k de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V não é adjacente. É NP: podemos dar um algoritmo que checa uma solução em tempo polinomial for (v in V ) for (w in V ) if (v!= w && existedge(v, w)) return 0; return 1;

33 Exercício Aula Passada Conjunto Independente de Vértices É um conjunto de vértices V de tamanho k de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V não é adjacente. É NP-difícil: podemos reduzir o Clique a ele Clique É um conjunto de vértices V de tamanho k de um grafo G = (V, E), onde todo par de vértice V é adjacente.

34 Exercício Aula Passada Devemos construir o grafo complementar, ou seja, um grafo H que possui arestas entre dois vértices somente se o grafo G não possui arestas entre esses dois vértices. Se existir um clique de tamanho k em H, então existe um conjunto independente de tamanho k em G.