Teoria da Computação. Clique de um Grafo. Alexandre Renato Rodrigues de Souza 1

Transcrição

1 Teoria da Computação Clique de um Grafo Alexandre Renato Rodrigues de Souza 1

2 O que é um grafo? Definição 1: grafo é uma estruturas utilizada para representar relações entre elementos de um dado conjunto. Tais elementos são representados por pontos denominados vértices, e tais relações são representadas por segmentos unindo dois destes pontos, denominados arestas. Definição 2: um grafo é um conjunto de pontos, chamados vértices, conectados por linhas, chamadas de arestas. 2

3 O que é um grafo? Ferramenta de modelagem. Abstração matemática que representa situações reais através de um diagrama. 3

4 O que é um grafo? Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos. Que objetos? Ex.: pessoas, cidades, empresas, países, páginas web, filmes, etc... Que relacionamentos? Ex. amizade, conectividade, produção, língua falada, etc. Simétrico ou assimétrico. 4

5 Aplicação dos grafos Redes sociais 5

6 Porque estudar grafos Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento: genética, química, pesquisa operacional, telecomunicações, engenharia elétrica, redes de computadores, conexão de vôos aéreos, restrições de precedência, fluxo de programas, dentre outros. Utilizados na definição e/ou resolução de problemas. Em computação: estudar grafos é mais uma forma de solucionar problemas computáveis. Os estudos teóricos em grafos buscam o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes. 6

7 Grau de um vértice: definição Grau de um vértice V: número de vértices adjacentes a V Grau mínimo de um vértice: zero Grau máximo de um vértice: número total de vértices - 1 Obs.: o último e os 3 primeiros casos da figura anterior possuem grau máximo em todos os vértices. 7

8 Grafo completo: definição Grafo simples em que existe exatamente uma aresta entre cada par de vértices distintos. Todos os vértices tem grau máximo. Notação de grafo completo: Kn onde n é o número de vértices. Exemplos: 8

9 Subgrafo induzido: definição Se G2 é um subgrafo de G1 e possui toda a aresta (v, w) de G1 tal que ambos, v e w, estejam em V2, então G2 é o subgrafo induzido pelo subconjunto de vértices V2. 9

10 Clique de um grafo: definição Denomina-se clique de um grafo G a um subgrafo (induzido) de G que seja completo. O clique é denotado como Kn, onde n é o número de vértices do clique. Um clique de um grafo é um conjunto de vértices adjacentes entre si que não está estritamente contido em outros cliques (conceito similar para dígrafos). Pode-se pensar em um clique como um conjunto totalmente relacionado de vértices de um grafo. 10

11 Clique de um grafo: exemplos O tamanho (número de vértices) do maior clique de (dí)grafo G é chamado número de clique, ω(g). 11

12 Clique de um grafo: exemplos a) 3 cliques de 3 vértices b) 1 clique de 4 vértices (considerando G2 um subgrafo induzido) 12

13 Clique de um grafo: exemplos Subgrafo {2,3,4,6} é um clique de tamanho 4 (K4): 4 cliques de 3 vértices: tamanho 3 (K3) 13

14 Clique de um grafo: exemplos 14

15 Clique de um grafo: exemplos Em um mesmo grafo, podemos encontrar cliques de diferentes ordens, pois podem existir diferentes subgrafos que podem ser induzidos de G tal que formem um subgrafo completo. No grafo abaixo podemos observar dois destaques, a aresta f1; 6g (destaca em azul e pontilhado) forma uma clique de tamanho 2. Isso pois se analisarmos o subgrafo induzido por vértices G[S], com S = f1; 6g ele é um grafo completo. Outras cliques de tamanho 2 também estão presentes no grafo. O destaque em vermelho e pontilhado denota uma clique de tamanho 3, pois se analisarmos o subgrafo induzido por vértices G[S], com S = f2; 4; 5g ele é também um grafo completo. 15

16 Clique de um grafo: aplicações A determinação de cliques modela diversas outras situações reais, dentre as quais podem ser citados: - problemas de otimização em pesquisa operacional - atribuição de frequências em comunicação a rádio - criptografia - determinação de trilhas em circuitos impressos - emparelhamento de sequências de aminoácidos em proteínas 16

17 Clique de um grafo: aplicações O problema de identificar agrupamentos de objetos relacionados frequentemente se reduz a encontrar grandes cliques em grafos. Exemplo: empresa de fabricação de peças por meio de injeção plástica que fornece para diversas outras empresas montadoras. Para reduzir o custo relativo ao tempo de preparação das máquinas injetoras (setups), pode-se aumentar o tamanho dos lotes produzidos para cada peça encomendada. É preciso identificar os clientes que adquirem os mesmos produtos, para negociar prazos de entrega comuns e assim aumentar o tamanho dos lotes produzidos. Solução: construir um grafo com cada vértice representando um cliente e ligar com uma aresta os que adquirem os mesmos produtos. Um clique no grafo representa o conjunto de clientes que adquirem os mesmos produtos. 17

18 Clique de um grafo: aplicações Outro exemplo de situação na qual se enquadra este problema: Suponha que, em um laboratório farmacêutico, seja necessário dimensionar o depósito de substâncias composto por alguns refrigeradores, tendo em mãos uma lista de pares de substâncias que não podem ser armazenadas em um mesmo refrigerador. Assim, o clique máximo do grafo formado por tais incompatibilidades é um limitante inferior para a quantidade de refrigeradores necessários para armazenar todas as substâncias. 18

19 Algoritmos de determinação Em um grafo com N vértices, existem 2N possibilidades para um possível clique, e um algoritmo de força bruta deveria testar todas elas, sendo exponencial em N. Algoritmos Gulosos Heurística de Maior Grau (GREEDY1) Heurística de Maior Vizinhança (GREEDY2) Heurística de Maior Expansibilidade (GREEDY3) Algoritmo de Verificação e Eliminação (BINARY) 19

20 Teoria da Computação Clique de um Grafo Alexandre Renato Rodrigues de Souza 20