Percursos em um grafo

Transcrição

1 Percursos em um grafo

2 Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; Percurso aberto: caso contrário

3 Notação A sucessão é indicada por: Vértices Arestas Vértices e arestas alternados

4 Exemplo G a c e b d

5 Comprimento de um percurso Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado?

6 Tipos de percurso Simples: não repete arestas Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) Ciclo: percurso simples e fechado Ciclo elementar: só há repetição do último vértice Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo

7 Percurso abrangente Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez Euleriano Hamiltoniano

8 Conexidade

9 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G.

10 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G

11 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

12 Reflexiva Equivalência

13 Equivalência Caminho-(u, u)

14 Caminho-(u, u) Simétrica Equivalência

15 Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)

16 Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Transitiva Equivalência

17 Equivalência Caminho-(u, u) Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e (v,w) então existe caminho-(u,w)

18 Componentes Conexas

19 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V 1, V 2,..., V p tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo V i

20 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V 1, V 2,..., V p tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo V i Os subgrafos G(V 1 ),..., G(V p ) são chamados de componentes conexas de G.

21 Maximalidade (Minimalidade) Seja S um conjunto e S' S. Diz-se que S' é maximal em relação a uma certa propriedade quando S' satisfaz a propriedade e não existe subconjunto S'' S e S' S'' que também satisfaz. Isto é, S' não está contido propriamente em nenhum subconjunto de S que satisfaz.

22 Maximal (Minimal) G G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G G tal que G tem a propriedade. Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

23 Exemplo G

24 Exemplo G G é Conexo

25 Exemplo G H G é Conexo

26 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

27 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

28 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

29 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

30 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo

31 Exemplo G H G é Conexo H é desconexo (G)= número de componentes conexas de G

32 Decomposição por Conexidade Conex (s 0 V) entrada: G = (V,E) 1. v s 0 ; 2. R(v) {v}; 3. Y ; 4. enquanto (R(v)) R(v) faça 5. Y (R(v)) R(v); 6. R(v) R(v) U Y; 7. fim-enquanto 8. Y R(v); 9. V V Y; 10. se V então 11. Conex (s V) 12. fim-se-então saída: componentes conexos de G

33 Exemplo G a v a Y, {b,c}, {d} R(v) {a}, {a,b,c},{a,b,c,d} b c d e f h i j g

34 Decomposição por Conexidade Adaptação para grafos não orientados do Algoritmo de Malgrange Se baseia na determinação de vizinhanças dos vértices Complexidade: O(n 2 ) Outros algoritmos disponíveis (Trémaux, Tarjan, Gondran e Minoux, Szwarcfiter)

35 Teorema Um grafo G é desconexo sss V pode ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2 de maneira que não existe aresta em G com um dos vértices extremos em V 1 e o outro em V 2

36 Teorema Se um grafo (conexo ou desconexo) tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho que liga esses dois vértices

37 Exercícios Indique percursos simples e não simples em G 1 Indique percursos não elementares em G 2 Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. G 1 a d a b c b c d e G 2 e

38 Exercícios Aplique a adaptação do algoritmo de Malgrange no grafo G abaixo e indique o resultado. G a d b c e a b c d e

39 Teorema Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

40 ( ) v u

41 ( ) P v u (INF 5037/INF@&*!)

42 ( ) P w v u

43 ( ) w P Q v u

44 ( ) w P Q v u u 1

45 ( ) w P 1 P Q v u u 1

46 ( ) w P 1 P Q v u u 1 Q 1

47 ( ) w P Q v u u 1

48 ( ) w P Q v u u 1

49 Teorema Um grafo simples G com n vértices e k componentes conexas pode ter no máximo (n-k)(n-k+1)/2 arestas

50 Prova Idéia: n 1 + n n k = n e n i 1, 1 i k Desigualdade algébrica utilizada: i=1,k n i2 n 2 (k-1)(2n-k)