Aplicações da Matemática: Redes Sociais, Jogos, Engenharia
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- Luzia Dreer Nobre
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1 Aplicações da Matemática: Redes Sociais, Jogos, Engenharia Fábio Protti IC/UFF
2 Grafo É um conjunto de pontos, chamados vértices...
3 Grafo É um conjunto de pontos, chamados vértices... Conectado por um conjunto de linhas, chamadas arestas.
4 Grafo
5 Grafo
6 Grafo
7 Grafo
8 Grafo
9 Grafo Definição Informal Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos
10 Grafos Definição Informal Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos Que objetos?
11 Grafo Definição Informal Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos Que objetos? Ex.: Pessoas, cidades, empresas, países, páginas web, filmes, etc.
12 Grafo Definição Informal Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos Ex.: Pessoas, cidades, empresas, países, páginas web, filmes, etc. Que objetos? Que relacionamentos?
13 Grafo Definição Informal Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos Que objetos? Ex.: Pessoas, cidades, empresas, países, páginas web, filmes, etc. Que relacionamentos? Ex.: Amizade, conectividade, produção, língua falada, etc.
14 Grafo Definição Informal
15 Grafo Definição Informal Objetos Vértices do Grafo
16 Grafo Definição Informal Objetos Vértices do Grafo Relacionamentos Arestas do Grafo
17 Grafo Definição Informal Objetos Vértices do Grafo Relacionamentos Arestas do Grafo Exemplos?
18 Transporte Aéreo: Objeto: Cidades Exemplos de Grafos Relacionamento: Vôo comercial entre duas cidades
19 Transporte Aéreo: Objeto: Cidades Exemplos de Grafos Relacionamento: Vôo comercial entre duas cidades Sampa Vôo entre Sampa e Manaus Cuiabá Manaus BH Rio
20 Atores e Filmes: Objeto: Atores Exemplos de Grafos Relacionamento: Atores atuaram e um mesmo filme
21 Atores e Filmes: Objeto: Atores Exemplos de Grafos Relacionamento: Atores atuaram e um mesmo filme Wagner Moura Lázaro Ramos Meu tio matou um cara Débora Secco Cláudia Abreu Selton Mello
22 Web: Exemplos de Grafos Objeto: páginas web Relacionamento: link de uma página para outra
23 Web: Exemplos de Grafos Objeto: páginas web Relacionamento: link de uma página para outra es/docentes.php ff.br
24 Definição Formal G=(V(G), E(G), G ) Conjunto não vazio de vértices Função que associa cada aresta de G um par de vértices de G Conjunto disjunto de V(G), chamado arestas
25 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 )
26 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
27 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
28 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
29 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
30 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
31 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
32 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
33 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
34 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 v 3
35 Exemplo G=(V(G), E(G), G ), onde V(G) ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E(G)={e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8 } G : G (e 1 )= (v 1, v 2 ), G (e 2 )= (v 2, v 3 ), G (e 3 )= (v 3, v 3 ), G (e 4 )= (v 3, v 4 ), G (e 5 )= (v 2, v 4 ), G (e 6 )= (v 4, v 5 ), G (e 7 )= (v 2, v 5 ), G (e 8 )= (v 2, v 5 ) v 1 v 2 v 4 v 5 G v 3
36 Observações Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente
37 Observações Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente Existe uma única maneira de desenhar um grafo?
38 Observações Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente Existe uma única maneira de desenhar um grafo? NÃO!!!
39 Um pouco de História A Teoria dos Grafos teve sua origem com o problema das Pontes de Könisber, em 1735.
40 Um pouco de História A cidade de Königsberg é banhada pelo rio Pregel que, ao atravessar a cidade se ramifica formando uma ilha (Kneiphof) que está ligada à parte restante da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias de descanso e sol, tentavam efetuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não era possível encontrar tal percurso. Será que tinham razão?
41 Um pouco de História É possível andar por toda a cidade de tal modo que cada ponte seja atravessada exatamente uma vez?
42 Remodelando o problema
43 Remodelando o problema
44 Remodelando o problema O problema agora consiste em percorrer todos os arcos, passando por cada um apenas uma vez, sem levantar o lápis do papel.
45 Remodelando o problema Um caminho completo com as propriedades descritas acima de não retraçar nenhum arco é chamado de TRAJETÓRIA de EULER
46 O Assassinato de Van Diamond: O bilionário Van Diamond acaba de ser assassinado. Sherlock Gomes (um conhecido detetive que nas horas vagas é um estudioso da Teoria de Grafos) foi chamado para investigar o caso. O mordomo alega ter visto o jardineiro entrar na sala da piscina (lugar onde ocorreu o assassinato) e logo em seguida deixar aquela sala pela mesma porta que havia entrado. O jardineiro, contudo, afirma que ele não poderia ser a pessoa vista pelo mordomo, pois ele havia entrado na casa, passado por todas as portas uma única vez e, em seguida, deixado a casa. Sherlock Gomes avaliou a planta da residência e em poucos minutos declarou solucionado o caso.
47 Planta da Casa Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para apontar o suspeito?
48 Planta da Casa Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para apontar o suspeito?
49 Planta da Casa Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para apontar o suspeito?
50 Planta da Casa RUA Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para apontar o suspeito?
51 Planta da Casa G possui circuito Euleriano sse todos seus vértices possuem grau par.
52 Poder da Abstração
53 Formando Pares
54 Formando Pares Regra:
55 Formando Pares Regra: Casal pode sair junto (formar um par) se existe interesse mútuo
56 Formando Pares Problema 1: Dadas as escolhas dos rapazes e moças, é possível formar n casais?
57 Formando Pares Problema 1: Dadas as escolhas dos rapazes e moças, é possível formar n casais? Problema 2: Qual o número máximo de pares que podem ser formados?
58 Formando Pares Como abstrair o problema usando grafos? Objeto: Rapazes e Moças Relacionamento: Interesse mútuo em sair
59 Formando Pares Como abstrair o problema usando grafos? Objeto: Rapazes e Moças Relacionamento: Interesse mútuo em sair
60 Formando Pares Como abstrair o problema usando grafos? Objeto: Rapazes e Moças Relacionamento: Interesse mútuo em sair
61 Alocação de Professores Regra: Cada professor leciona uma ou mais disciplinas
62 Alocação de Professores Regra: Cada professor leciona uma ou mais disciplinas Problema 1: Dado o que cada professor pode lecionar, é possível que todas as disciplinas sejam oferecidas simultaneamente?
63 Alocação de Professores Regra: Cada professor leciona uma ou mais disciplinas Problema 1: Dado o que cada professor pode lecionar, é possível que todas as disciplinas sejam oferecidas simultaneamente? Problema 2: Qual o maior número de disciplinas que podem ser oferecidas?
64 Alocação de Professores Mesma Abstração Mesmo Algoritmo
65 Robustez da Malha Elétrica Malha elétrica (distribuição de energia) Torres e linhas de transmissão Problema: Quantas linhas precisam falhar (no mínimo) para termos um apagão? Apagão: desconectar parte do sistema
66 Robustez da Malha Elétrica
67 Robustez da Malha Elétrica
68 Colorindo um Mapa Mapa de Regiões (Estados) Colorir o mapa: - regiões vizinhas cores diferentes Problema 1: Colorir o mapa de forma a atender a restrição Problema 2: Qual o menor no. de cores necessárias?
69 Colorindo um Mapa Mapa de Regiões (Estados) Colorir o mapa: - regiões vizinhas cores diferentes Problema 1: Colorir o mapa de forma a atender a restrição Problema 2: Qual o menor no. de cores necessárias?
70 Colorindo um Mapa Mapa de Regiões (Estados) Colorir o mapa: - regiões vizinhas cores diferentes Problema 1: Colorir o mapa de forma a atender a restrição Problema 2: Qual o menor no. de cores necessárias?
71 Colorindo um Mapa
72 Alocação de Frequências Rede telefonia celular Estações base (torre) Células vizinhas não podem usar mesma frequência (interferência) Problema 1: Como alocar frequências às células? Problema 2: Qual o menor número de frequências necessárias?
73 Alocação de Frequências
74 Coloração de Grafos
75 Exemplo Coloração de Grafos
76 Exemplo Coloração de Grafos
77 Exemplo Coloração de Grafos
78 Exemplo Coloração de Grafos
79 Exemplo Coloração de Grafos
80 Exemplo Coloração de Grafos
81 Exemplo Coloração de Grafos
82 Exemplo Coloração de Grafos
83 Exemplo Coloração de Grafos
84 Exemplo Coloração de Grafos
85 Coloração de Mapas América do Sul
86 Coloração de Mapas América do Sul
87 Coloração de Mapas América do Sul
88 Coloração de Mapas América do Sul Qual o número máximo de cores necessárias para colorir um mapa?
89 Grafos Planares Definição: Um grafo G é dito planar se puder ser representado graficamente no plano de modo que suas arestas não se cruzem.
90 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3.
91 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3.
92 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3.
93 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3. K 5
94 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3. K 5
95 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3. K 5
96 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3. K 5
97 Grafos Planares O estudo dos grafos planares originou de dois problemas de recreação envolvendo o grafo completo K 5 e o grafo bipartido K 3,3. K 5 K 3,3
98 Grafos Planares O primeiro problema foi apresentado por A. F. Mobius por volta do ano 1840 como segue: Era um vez um Rei com 5 filhos. Em seu testamento ele desejou que, após sua morte, os seus filhos dividissem seu Reino em 5 províncias de forma que o limite de cada província tivesse uma linha fronteira comum com cada uma das outras quatro.
99 Grafos Planares Região 1 Região 4
100 Grafos Planares Região 1 Região 2 Região 4
101 Grafos Planares Região 1 Região 2 Região 3 Região 4
102 Grafos Planares Região 1 Região 2 R Região 3 Região 4
103 Grafos Planares Região 1 Região 2 R Região 3 R Região 4
104 Grafos Planares Região 4 Região 1 Região 2 Região 3
105 Grafos Planares Região 4 Região 1 Região 2 Região 3
106 Grafos Planares Problema: É possível desenhar 5 regiões mutualmente vizinhas no plano.
107 Grafos Planares Depois, o Rei pediu que todos os cinco irmãos unissem as capitais de cada uma de suas províncias através de estradas e que estas não deveriam se cruzar.
108 Grafos Planares Depois, o Rei pediu que todos os cinco irmãos unissem as capitais de cada uma de suas províncias através de estradas e que estas não deveriam se cruzar.
109 Grafos Planares Depois, o Rei pediu que todos os cinco irmãos unissem as capitais de cada uma de suas províncias através de estradas e que estas não deveriam se cruzar.
110 Grafos Planares Depois, o Rei pediu que todos os cinco irmãos unissem as capitais de cada uma de suas províncias através de estradas e que estas não deveriam se cruzar.
111 Grafos Planares Depois, o Rei pediu que todos os cinco irmãos unissem as capitais de cada uma de suas províncias através de estradas e que estas não deveriam se cruzar.
112 Grafos Planares Depois, o Rei pediu que todos os cinco irmãos unissem as capitais de cada uma de suas províncias através de estradas e que estas não deveriam se cruzar.
113 Grafos Planares Problema: K_5 é um grafo planar?
114 Grafos Planares A origem do segundo problema é desconhecida mas foi primeiramente mencionada por H. Dudeney em 1913 da seguinte forma: O problema consiste em fornecer água, gás e eletricidade a 3 casas sem cruzar seus tubos.
115 Grafos Planares
116 Grafos Planares
117 Grafos Planares
118 Grafos Planares
119 Grafos Planares
120 Grafos Planares Problema: Decidir se o grafo K 3,3 é planar
121
122 Motivação Por que estudar grafos? Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento Utilizados na definição e/ou resolução de problemas Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.
123 Slides - Referências Vejo vocês no 5º. Período. Parte das transparências foram retiradas do site do professor Daniel Ratton (COPPE-UFRJ).
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