GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira

Transcrição

1 Ciência da Computação GRAFOS Aula 04 Caminhos, Conexidade e Distância Max Pereira

2 Um grafo é dito conexo se for possível visitar qualquer vértice, partindo de um outro qualquer, passando pelas suas arestas. Essa visita sucessiva é denominada passeio (walk). Um grafo G é conexo se existe pelo menos um passeio entre qualquer par de vértices em G. Caso contrário, G é denominado não conexo. G 1 Grafo conexo Um grafo não conexo consiste de dois ou mais subgrafos conexos. Cada um desses subgrafos conexos é denominado componente.

3 Dado um grafo G não dirigido, V > 0 e v e w vértices de G. Passeio (walk): Um passeio de v para w é uma sequência alternada de vértices e arestas adjacentes de G. Um passeio tem a seguinte forma v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...v n-1 e n v n, onde v 0 = v e v n = w. Um possível passeio entre n 1 e n 7 : n 1 l 2 n 2 l 4 n 4 l 6 n 7 O número de arestas em um passeio é chamado de comprimento (tamanho) do passeio.

4 Passeio fechado (Closed walk): Um passeio que começa e termina no mesmo vértice: v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...v n-1 e n v n, onde v = w. Um possível passeio fechado: n 4 l 9 n 12 l 10 n 14 l 12 n 13 l 11 n 4 Um passeio fechado é chamado de ciclo.

5 Trilha (Trail) ou Trajeto: Um passeio de v para w sem arestas repetidas: v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...v n-1 e n v n, onde todas as arestas e i são distintas. Uma possível trilha: n 5 l 7 n 4 l 3 n 3 l 1 n 2 l 4 n 4

6 Caminho (Path) ou Caminho Simples: Um passeio de v para w sem vértices repetidos: v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...v n-1 e n v n, onde todos os vértices v i são distintos. Um possível caminho: n 6 l 8 n 5 l 7 n 4 l 13 n 9 l 15 n 11

7 Circuito (Circuit): Uma trilha (trajeto) fechada, ou seja, um passeio onde não há aresta repetida e os vértices inicial e final são idênticos: v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...v n-1 e n v n, onde toda aresta e i é distinta e v 0 = v n. Um possível circuito: n 2 l 1 n 3 l 3 n 4 l 9 n 12 l 10 n 14 l 12 n 13 l 11 n 4 l 14 n 2

8 Grafos Eulerianos: Um passeio em um grafo G que atravessa cada aresta exatamente uma vez é chamado trilha euleriana. Se, além disso, a trilha começa e termina no mesmo vértice, o passeio é chamado de circuito euleriano. Finalmente, se G tem um circuito euleriano, dizemos que G é euleriano. Que grafos tem trilhas eulerianas? Se G tem uma trilha euleriana: então é (quase) necessário que G seja conexo; então tem no máximo dois vértices de grau ímpar; que começa em um vértice v e termina em um vértice w (com v w), então os vértices v e w têm grau ímpar.

9 Grafos Eulerianos: Um passeio em um grafo G que atravessa cada aresta exatamente uma vez é chamado trilha euleriana. Se, além disso, a trilha começa e termina no mesmo vértice, o passeio é chamado de circuito euleriano. Finalmente, se G tem um circuito euleriano, dizemos que G é euleriano. Que grafos tem circuitos eulerianos? Se G tem um circuito euleriano (Grafo Euleriano): então tem no máximo um componente não-trivial; então todos os vértices têm grau par; e G é conexo, então tem um circuito euleriano que começa/termina em qualquer vértice. Um componente de um grafo que contém apenas um vértice é chamado de trivial, caso contrário é chamado de não-trivial.

10 Grafos Hamiltonianos: Um passeio em um grafo G que passa exatamente uma vez em cada vértice é chamado caminho hamiltoniano. Se, além disso, o caminho começa e termina no mesmo vértice, o passeio é chamado de ciclo hamiltoniano. Finalmente, se G tem um ciclo hamiltoniano, dizemos que G é hamiltoniano. Evidentemente, nem todo grafo é hamiltoniano. O grafo da figura (a) é hamiltoniano, enquanto o da figura (b) não é. Caminho hamiltoniano

11 O termo hamiltoniano deve-se ao matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton ( ). Hamilton rotulou cada vértice de um dodecaedro com o nome de uma cidade conhecida. O objetivo era viajar ao redor do mundo ao determinar uma viagem circular que incluísse todas as cidades exatamente uma vez, com a restrição de que só fosse possível viajar de uma cidade a outra se existisse uma aresta entre os vértices correspondentes. Dodecaedro: sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces

12 Problema do Caixeiro Viajante Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, muitas das quais, aos pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade pessoalmente. Deve-se definir uma viagem circular (que o leve ao ponto de partida) visitando cada cidade exatamente uma vez, no menor percurso. Cenário: 20 cidades para serem visitadas, e a partir de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra. Número de rotas possíveis R(n) = (n-1)! Um computador capaz de executar 1 bilhão de adições por segundo. Capaz de calcular 10 9 / 19 = 53 milhões de rotas por segundo. 1.2 x / 53 milhões = 2.3 x 10 9 segundos

13 Distância entre dois vértices Denomina-se distância d(v, w), entre os vértices v e w, ao comprimento do menor caminho entre esses dois vértices. Caso não exista esse caminho considera-se a distância infinita. Distâncias: d(1, 7) = 1 d(1, 5) = 2 d(3, 6) = 1

14 Distância entre dois vértices Denomina-se distância d(v, w), entre os vértices v e w, ao comprimento do menor caminho entre esses dois vértices. Caso não exista esse caminho considera-se a distância infinita. Distâncias: d(1, 2) = 3 d(6, 1) = 7

15 Excentricidade de um vértice A excentricidade de um vértice v, denotada por e(v), é a máxima das distâncias d(v, w) para todo w V: e(v) = max(d(v, v i )), v i V Distâncias: d(a, b) = 1 d(a, c) = 1 d(a, d) = 2 d(a, e) = 2 Excentricidade(a) = 2

16 Raio de um Grafo conexo A excentricidade mínima, levando-se em consideração todos os vértices, é chamada de raio de um Grafo: r(g). Em outras palavras, o mínimo entre as máximas distâncias entre um vértice e todos os outros é considerado o raio de um Grafo G: r(g) = min(e(v i )), v i V Excentricidades: e(a) = 3 e(b) = 3 e(c) = 3 e(d) = 2 e(e) = 3 e(f) = 3 e(g) = 3 Raio: r(g) = 2

17 Diâmetro de um Grafo conexo A excentricidade máxima, levando-se em consideração todos os vértices, é chamada de diâmetro de um Grafo: d(g). Em outras palavras, o máximo entre as máximas distâncias entre um vértice e todos os outros é considerado o diâmetro de um Grafo G: d(g) = max(e(v i )), v i V Excentricidades: e(a) = 3 e(b) = 3 e(c) = 3 e(d) = 2 e(e) = 3 e(f) = 3 e(g) = 3 Diâmetro: d(g) = 3

18 Ponto central e Centro de um Grafo conexo Se a excentricidade de um vértice é igual ao raio do Grafo, então a chamamos de ponto central do Grafo, ou seja, se e(v) = r(g), então v é o ponto central do Grafo. O conjunto de todos os pontos centrais de um grafo G é chamado de centro do Grafo. Excentricidades: e(a) = 3 e(b) = 3 e(c) = 3 e(d) = 2 e(e) = 3 e(f) = 3 e(g) = 3 Ponto Central e(d) = r(g) = 2 Centro do Grafo {d} G Raio: r(g) = 2

19 Centro de um Grafo conexo Se a excentricidade de um vértice é igual ao raio do Grafo, então a chamamos de ponto central do Grafo, ou seja, se e(v) = r(g), então v é o ponto central do Grafo. O conjunto de todos os pontos centrais de um grafo G é chamado de centro do Grafo. Matriz de distâncias r(g) = 2 Centro = {c, d, e}

20 Centro de um Grafo conexo Para grafos orientados podemos encontrar o centro de saída, de retorno ou ambos. X 6 X 5 X 1 X 2 X 3 Matriz de distâncias D(G) X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 e s (X i ) X X X X X X e r (X i ) X 4 Centro de saída = {X 5 } Centro de retorno = {X 2, X 3, X 5, X 6 }

21 Centro de um Grafo conexo Para grafos orientados podemos encontrar o centro de saída, de retorno ou ambos. D(G) + D(G) T X 6 X 5 X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 e sr (X i ) X X X X X X Centro de saída e retorno= {X 2, X 5 } X 4