Teoria dos Grafos. Aulas 3 e 4. Profa. Alessandra Martins Coelho

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Aulas 3 e 4 Profa. Alessandra Martins Coelho fev/2014

2 Passeio ou percurso Um passeio ou percurso é uma sequência finita de vértices e arestas

3 Exemplo Em (1) o passeio inicia pelo vértice 1, avançando na sequência Um passeio é aberto quando o vértice inicial é diferente do vértice final e fechado caso contrário. Em (2) tem-se o passeio fechado

4 Cadeia ou Trilha Uma cadeia ou trilha é um passeio sem repetição de arestas. Em (1) cadeia aberta: 5-a8-1-a7-4-a3-3-a4-2-a5-6-a1-1 Em (2) cadeia fechada: OBS: a cadeia da figura (1) é aberta apesar de possuir uma subcadeia fechada ( )

5 Caminho Um caminho é uma cadeia sem repetição de vértices. Um caminho entre os vértices a e b será denotado por a-b, por Pa-b ou por Pi. Em um grafo não ponderado, o comprimento de um caminho é o número de arestas desse caminho. Em um grafo ponderado, o comprimento de um caminho é a soma dos pesos das arestas desse caminho.

6 Conceitos

7 Ciclo Em um grafo G, um ciclo é um caminho fechado. Quando um grafo G é orientado, alguns autores denominam circuito a sequência de arcos distintos que repete somente o primeiro e último nó visitados.

8 Ciclo Euleriano Percurso passando por todas as arestas uma única vez e retornando ao ponto inicial: este percurso (ciclo) só existe se o grau dos vértices for par. Onde, o grau de um vértice é o número de arestas incidentes. A B D C A grau 3 B grau 5 C grau 3 D grau 3

9 Caminho Euleriano Um vértice com um número ímpar de arcos tem de ser o primeiro ou o último da trajetória. Isto é, podem haver, no máximo, dois vértices com um número ímpar de arcos ligados a eles. No caso das pontes de Königsberg, existem quatro vértices com um número ímpar de arcos, logo, não tem solução.

10 Grafo euleriano Possui um ciclo euleriano Todos os vértices são de grau par Grafo semi-euleriano Possui um caminho euleriano Tem dois vértices de grau ímpar Alguns autores usam os termos cadeia euleriana e cadeia euleriana fechada para notar caminho euleriano e ciclo euleriano, respectivamente.

11 Caminho Hamiltoniano Trata-se de um caminho em G, passando por todos os vértices, os visita somente uma vez

12 Observação O uso dos termos caminho euleriano e ciclo euleriano deve ser cuidadoso. Há possibilidade de ambiguidade, tendo em vista que caminhos e ciclos são definidos como sequência de vértices, não como sequência de arestas.

13 Ciclos eulerianos e hamiltonianos

14 Corda É uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo.

15 Cintura e Circunferência Cintura é o comprimento do menor ciclo de G. Circunferência é o comprimento do maior ciclo de G.

16 Cintura e Circunferência Cintura é o comprimento do menor ciclo de G. Circunferência é o comprimento do maior ciclo de G.

17 Grafo de Heawood

18 Grau de um vértice Grau ou valência de um vértice, em um grafo não direcionado é igual ao número de arestas incidentes no vértice.

19 Grafo conexo G é conexo se para todo par i,j de vértices existe um caminho que liga i a j. Grafo desconexo

20 Grafos acíclicos Árvore é um grafo conexo que não possui ciclos. Em uma árvore, um vértice com grau 1 é denominado folha ou vértice terminal. Quando o numero de vértices terminais de um grafo é 2, é usual denominá-los vértices extremos de G. As árvores modelam um enorme número de aplicações reais.

21 Árvores árvore Folhas da árvore Vértices extremos

22 Conexidade ou conectividade em vértices κ(g) é o menor número de vértices cuja remoção resulta em um grafo desconexo ou em um grafo trivial.

23 Conexidade ou conectividade em arestas λ(g) é dada pelo menor número de arestas cuja remoção resulta na desconexão de G

24 Grafos Especiais Grafo Planar É um grafo cuja representação geométrica admite alguma representação plana (R²) e não há cruzamento de arestas.

25 Exemplo Grafo completo de 4 vértices ou K4

26 Exemplo Grafo completo de 4 vértices ou K4

27 Conceitos Se existe um G representado em uma superfície, ele é imersível. Se um G planar está representado em um plano, então as linhas que dividem o plano em regiões são chamadas de faces. Existe somente uma face ilimitada que nós chamamos de face externa ou infinita.

28 Pergunta Dado um grafo planar, existe uma representação plana onde todas as arestas são retas?

29 Pergunta Dado um grafo planar, existe uma representação plana onde todas as arestas são retas?

30 Pergunta Dado um grafo planar, existe uma representação plana onde todas as arestas são retas?

31 Exemplo

32 Exemplo