Pesquisa Operacional Programação em Redes
|
|
- Iago Fernandes Bastos
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Pesquisa Operacional Programação em Redes Profa. Alessandra Martins Coelho outubro/2013
2 Modelagem em redes: Facilitar a visualização e a compreensão das características do sistema Problema de programação em redes Modelado por meio de uma estrutura de grafo ou rede que consiste em diversos nós, cada nó deve estar conectado a um ou mais arcos. Aplicações: Produção, transporte, localização de facilidades, gestão de projetos, finanças, entre outras Muitos podem ser formulados como problemas de programação linear e resolvidos pelo método simplex
3 Problema de programação em redes Exemplos de problemas: Transporte (clássico) Transbordo Designação de tarefas Caminho mais curto Fluxo máximo Árvore geradora mínima
4 A terminologia de Grafos e Redes Grafo: Um grafo é uma estrutura representada como um conjunto de pontos (vértices, nós) ligados por retas (arestas). Dependendo da aplicação, as arestas podem ser direcionadas (arcos), e são representadas por setas.
5 A terminologia de Grafos e Redes Os vértices podem representar facilidades (como fábricas, centros de distribuição, terminais ou portos marítimos), estações de trabalho ou Interseções; As arestas fazem conexões entre pares de nós, podendo representar caminhos, rotas, fios cabos, canis, entre outros. G= (V,A)
6 Um grafo cujas arestas(arcos) e/ou nós estão associados à variável numérica fluxo e/ou capacidade é chamado de rede A terminologia de Grafos e Redes Muitas vezes, as arestas (ou arcos) de um grafo que fazem conexões entre os nós estão associados a uma variável numérica chamada fluxo (como distância entre os nós, custo de transporte, tempo despendido, dimensão do fio, quantidade de peças transportadas, entre outras). Os nós de um grafo podem estar associados a uma variável numérica chamada capacidade, (podendo representar a capacidade de carga e descarga, suprimentos, demanda, entre outros).
7 Rede Os nós podem ser subdivididos em três tipos: oferta ou fontes demanda transbordo
8 Rede Nós de oferta ou fontes: Representam entidades que produzem ou distribuem determinada produto Nós de demanda: Representam entidades que consomem o produto Nós de transbordo Pontos intermediários entre nós de oferta e demanda e representam os pontos de passagem desses produtos
9 Rede Arco: Direcionado Não direcionado Quando todos os arcos da rede são direcionados rede direcionada Caminho entre dois nós: seqüência de diferentes arcos conectando esses dois nós. Um caminho que tem uma única direção: caminho direcionado
10 Rede Caminho hamiltoniano visita cada vértice (nó) uma única vez Um caminho que começa e termina no mesmo vértice (nó) ciclo Se o caminho percorrido no ciclo é direcionado ciclo direcionado Rede conexa - existe um caminho entre qualquer par de vértices (nós) Rede com estrutura de árvore conexa e acíclica
11 Rede Dentro do conceito de árvores: Uma árvore com n nós contém n-1 arcos Se um arco for adicionado à árvores, formase um ciclo Se um arco for eliminado da árvore, a rede deixa de ser conexa
12 Rede Árvore geradora ou de cobertura Dado um grafo G = (V, A), uma árvore geradora é um subgrafo de G que tem a estrutura de uma árvore e contém todos os nós de G.
13 Exemplos
14 Problemas de Transporte Esta classe de problemas recebeu este nome porque seu método de resolução, denominado Método de Transporte, foi inicialmente utilizado para determinar o menor custo de transporte entre diversas fábricas de um produto e diversos centros consumidores.
15 Problema Clássico de Transporte Determinar as quantidades de produtos a serem transportadas a partir de um conjunto de fornecedores para um conjunto de consumidores, de maneira que o custo total de transporte seja minimizado. Cada fornecedor fabrica um número fixo de produtos, e cada consumidor tem uma demanda conhecida que será atendida. O modelo é modelado a partir de dois elos da cadeia de suprimentos, ou seja, não considera facilidades intermediárias (centros de distribuição, terminal, porto marítimo ou fábrica)
16 Representação em redes do problema de transporte Origens c 11 :x 11 Destinos Cf 1 F1 C 1 d 1 Cf 2 F 2 C 2 d 2 Capacidade de fornecimento Cf m F m Demanda consumida Cn d n C mn ; X mn
17 Formulação matemática do problema Clássico de Transporte c ij : custo de transporte por unidade, do fornecedor i (i=1,..., m) para o consumidor j (j=1,..., n) x ij : quantidade transportada do fornecedor i (i=1,...m) para o consumidor j (j=1,..., n) Cf i : capacidade de abastecimento do fornecedor (origem) d i : demanda do consumidor (destino) j. Objetivo do problema: determinar as incógnitas x ij que minimizarão o custo total de transporte e, ao mesmo tempo, satisfarão todas as restrições de suprimento e demanda.
18 Formulação matemática do problema Clássico de Transporte Min Z = s. a: n i= 1 m i= 1 x ij x m n i = 1 j = 1 ij x ij 0 Cfi d c ij x ij j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n)
19 Formulação matemática do problema Clássico de Transporte Min Z = s. a: n i= 1 m i= 1 x m n i = 1 j = 1 ij x ij Cfi d c ij x ij j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n) Corresponde a um problema de programação linear x ij 0
20 Problemas de Transporte O problema de transporte poderia ser resolvido pelo método Simplex. No entanto, a estrutura especial do problema em redes permite a obtenção de algoritmos de solução mais eficientes, como o algoritmo de transporte
21 Problemas de Transporte Para que o problema tenha solução básica factível, a capacidade total de fornecimento deve ser maior ou igual à demanda de todos os consumidores. n i= 1 Cfi di
22 Problemas de Transporte Min Z = s. a: Se a capacidade total de fornecimento é exatamente igual á demanda total consumida, isto é, n i= 1 Cfi = di o problema é conhecido como problema de transporte balanceado, podendo ser reescrito como: i= 1 m n i= 1 x ij m n i = 1 j = 1 x x = ij ij = 0 d c ij x ij Cfi j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n)
23 Problemas de Transporte Se a capacidade de fornecimento total for menor que a demanda total consumida n i= 1 Cfi < di alguns consumidores não serão atendidos. Os fornecedores utilizarão sua capacidade máxima. O problema pode ser escrito como: Min Z = s. a: n i= 1 m i= 1 x ij m n i = 1 j = 1 x ij = x ij 0 d c ij x ij Cfi j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n)
24 Exemplo 1 A Karpet Ltda é uma empresa fabricante de autopeças, cujas sedes estão localizadas em Osasco, Sorocaba e São Sebastião. Seus clientes encontram-se em São Paulo, Rio de Janeiro e Curitiba. Os custos unitários de transporte de cada origem para cada destino, assim como a capacidade de cada fornecedor, encontram-se na tabela abaixo: Fornecedor custo unitário de transporte consumidor São Paulo Rio de Janeiro Curitiba Capacidade Osasco Sorocaba São Sebastião demanda O objetivo é atender a demanda de cada consumidor final, respeitando as capacidades de fornecimento, de forma a minimizar o custo total de transporte. Modelar o problema de transporte
25 Solução A capacidade de fornecimento é igual á demanda total consumida problema de transporte balanceado Variáveis de decisão: x ij (quant. de peças transportadas do fornecedor i para o consumidor j), com i=1,2,3 e j=1,2,3 x 11 = transporte de Osasco para São Paulo x 12 = transporte de Osasco para Rio de Janeiro x 13 = transporte de Osasco para Curitiba x 21 = transporte de Sorocaba para São Paulo x 22 = transporte de Sorocaba para Rio de Janeiro x 23 = transporte de Sorocaba para Curitiba x 31 = transporte de São Sebastião para São Paulo x 32 = transporte de São Sebastião para Rio de Janeiro x 33 = transporte de são Sebastião para Curitiba
26 Solução A função objetivo busca minimizar o custo total de transporte: Min Z= 12x x x x x x x x x 33
27 Solução As restrições do modelo: 1. A capacidade de cada fornecedor será utilizada para atender a demanda dos consumidores x 11 +x 12 +x 13 = 100 x 21 +x 22 +x 23 =140 x 31 +x 32 +x 33 =160
28 Solução As restrições do modelo: 2. A demanda de cada consumidor deve ser atendida x 11 +x 21 +x 31 = 120 x 21 +x 22 +x 32 =130 x 31 +x 23 +x 33 =150
29 Solução As restrições do modelo: 3. As variáveis de decisão do modelo são não negativas. xij 0 i= 1,2,3 e j=1,2,3
30 Algoritmo de transporte Início: o problema deve estar balanceado (fluxo total de entrada = fluxo total de saída) e representado na forma tabular Passo 1: encontrar uma solução básica factível inicial. Para isso, são apresentados 3 métodos: método do canto noroeste, método do custo mínimo e método da aproximação de Vogel. Passo 2: Teste de otimalidade usar método dos multiplicadores, baseado na teoria da dualidade. Aplicar a condição de otimalidade do método simplex ao problema de transporte. Se a condição é satisfeita, o algoritmo termina aqui, caso contrário, determina-se uma SBF adjacente melhor.
31 Algoritmo de transporte Iteração: Determinar uma SBF adjacente melhor Três passos devem ser tomados: 1. determinar a variável não básica que entrará na base, utilizando o método dos multiplicadores. 2. escolher a variável básica que passará para o conjunto de variáveis não básica utilizando a condição de factibilidade do método simplex. Recalcular a nova solução básica.
32 Início Problema Balanceado Forma Tabular
33 Consumidor x12 x13 Capacidade 100 Fornecedor x x22 x x x32 x Demanda m fornecedores n consumidores Problema de transporte balanceado possui m+n restrições de igualdade O problema balanceado possui fluxo total de entrada = saída. Pode-se afirmar que uma das restrições é redundante. Assim possui m +n-1 equações independentes e m+n-1 variáveis básicas Para o problema acima: m = 3 e n =3, tem-se 5 variáveis básicas
34 Passo 2 Determinar solução Básica Factível
35 Método do canto noroeste Passo 1: selecione a célula x 11, localizada no canto superior esquerdo (noroeste) Passo 2: Verificar a capacidade total do Fornecedor 1 e a demanda do consumidor 1.Verificar a quantidade máxima que deve ser alocada. O valor máximo a ser alocado nessa célula é o mínimo entre esses dois valores Passo 3: Se o limite máximo de capacidade do fornecedor 1 ou a demanda for atingida, as células correspondentes à mesma linha/coluna devem ser bloqueadas.
36 Método do canto noroeste consumidor capacidade 1 x 11 x 12 x fornecedor 2 x 12 x 22 x x 13 x 32 x demanda
37 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor demanda
38 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor demanda
39 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x 160 demanda
40 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x x 160 demanda
41 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x x demanda
42 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x x demanda Solução básica : x 11 = 100, x 21 = 20, x 22 = 120, x 32 = 10, x 33 = 150, com z=9690 Variáveis não básicas: x 12, x 13, x 23, x 31 iguais a 0
43 Método do Custo Mínimo Adaptação do método do canto noroeste, em que, em vez de selecionar a célula mais próxima do canto noroeste, seleciona-se aquela com menor custo.
44 Método do Custo Mínimo Passo 1: Selecione a célula de custo mínimo Passo 2: alocar a maior quantidade possível Passo 3: Se a capacidade do fornecedor for atingida ou a demanda for atendida, bloquear as outras células da linha/coluna
45 Método do Custo Mínimo consumidor x12 x13 Capacidade 100 Fornecedor x x22 x x x32 x Demanda
46 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x x x Demanda
47 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x x Demanda
48 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x x Demanda
49 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x Demanda
50 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x Demanda Solução básica: x 11 = 100, x 21 = 20, x 23 = 120, x 32 = 130, x 33 = 30, com z=8370
51 Método de aproximação de Vogel Versão melhorada do método do custo mínimo que leva, geralmente, a melhores soluções iniciais.
52 Método de aproximação de Vogel Passo 1: para cada linha e coluna, calcular a penalidade que corresponde à diferença entre os dois menores custos unitários de transporte na respectiva linha (e coluna). A penalidade para uma linha (coluna) será calculada enquanto houver pelo menos duas células ainda não alocadas e não bloqueadas na mesma linha (coluna)
53 Método de aproximação de Vogel Passo 2: escolher a linha de maior penalidade. Em caso de empate, escolher qualquer uma delas, aleatoriamente.na linha ou coluna selecionada, escolha a célula de menor custo.
54 Método de aproximação de Vogel Passo 3: Aloque a maior quantidade possível de produto, de forma que a soma das células correspondentes na mesma linha e na mesma coluna não ultrapasse a capacidade de fornecimento total e de demanda total, respectivamenete.
55 Método de aproximação de Vogel Passo 4: bloqueie as células correspondentes à mesma linha ou coluna que atingiu o limite máximo de fornecimento ou demanda, enquanto restar mais de uma célula não alocada e não bloqueada, volte ao passo 1, caso contrário, vá para o passo 5.
56 Método de aproximação de Vogel Passo 5: aloque a essa última célula a capacidade ou demanda remanescente.
57 Método de aproximação de Vogel consumidor Capacidade 100 Penalidade na linha = 10 Fornecedor x21 x22 x = 6 x x32 x = 7 Demanda Penalidade Na coluna =6 =7 =2
58 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha = 10 Fornecedor x x22 x = 6 x x32 x = 7 Demanda Penalidade Na coluna =6 =7 =2
59 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x = 6 x x = 7 Demanda Penalidade Na coluna =4 =9 =2
60 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x x = 14 x x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =4 =9 =2
61 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x = x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =4 =2
62 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x = 14 x x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =4 =2
63 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =2
64 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x = 12 Demanda Solução Básica: x 11 = 100, x 21 = 20, x 23 = 120, x 32 = 130, x 33 = 30, com z=8370
65 Passo 2 Teste da otimalidade
66 Teste de Otimalidade Para verificar se a solução encontrada é ótima, utiliza-se o métodos dos multiplicadores, que é baseado na teoria da dualidade A cada linha i e a cada coluna j é associado os multiplicadores u i e v i. Os coeficientes da FO (custos reduzidos) da variável x ij (c ij ) são dados pela seguinte fórmula: c ij = u i + v j -c ij
67 Teste de Otimalidade Como os custos reduzidos das variáveis básicas são nulos, a fórmula c ij = u i + v j -c ij se resume a u i + v j = c ij Como o modelo contém m+n-1 equações independentes e, consequentemente, m+n-1 variáveis básicas, para resolver o sistema de equações u i + v j = c ij com m+n incógnitas, devese atribuir, arbitrariamente, o valor zero a um dos multiplicadores por exemplo, u 1 =0
68 Teste de Otimalidade Para o problema de transporte (problema de minimização), a solução atual é ótima se, e somente se, os custos reduzidos de todas as variáveis não básicas forem não positivos: u i + v i -c ij <=0, para cada variável não básica x ij Enquanto existir pelo menos uma variável não básica com custo reduzido positivo, há uma solução básica factível (SBF) adjacente melhor.
69 Teste de Otimalidade Iteração: Determinar uma SBF adjacente melhor Passo 1. determinar a variável não básica que entrará na base, utilizando o método dos multiplicadores. A variável não básica x ij selecionada e aquela com maior custo reduzido (maior valor de u i + v i c ij ) Passo2. Escolher a variável básica que sairá da base Passo 3. Recalcular a nova solução básica (diretamente na forma tabular do problema de transporte)
70 Teste de Otimalidade fornecedor consumidor capacidade x x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 =
71 Teste de Otimalidade fornecedor consumidor capacidade x x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = 18 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = -3 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 = 37
72 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = 18 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = -3 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 = 37 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = c 13 = u 1 + v 3 c 13 = c 23 = u 2 + v 3 c 23 = c 31 = u 3 + v 1 c 31 =
73 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = 18 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = -3 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 = 37 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = = -4 c 13 = u 1 + v 3 c 13 = = 7 c 23 = u 2 + v 3 c 23 = = 11 c 31 = u 3 + v 1 c 31 = = -13 Como existem dois custos positivos, existe uma SBF adjacente melhor. Entra x 23, pois é o maior custo reduzido.
74 Determinar SBF adjacente melhor Um ciclo fechado deve ser construído para determinar a variável que sairá da base e para calcular a nova solução básica A) deve-se iniciar e terminar em x 23 B)ser formado por uma sequencia de segmentos verticais e horizontais conectados entre si C) cada esquina deve estar associada a uma variável básica, com exceção de x 23 fornecedor 1 2 consumidor capacidade x x x demanda
75 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda Determinar a variável que sairá da base. Escolher a variável que possui o menor valor (120<150) (esquinas vizinhas). A restrição de capacidade do fornecedor deve ser respeitada
76 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda x 23 = 120 e x 22 = 0 Calcular os novos valores para x 32 e x 33. X 32 = 130 e x 33 =
77 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = para x 23 : u 2 + v 3 = 32 v 3 = para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 =
78 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 23 : u 2 + v 3 = 32 v 3 = 26 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = 8 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 = 7
79 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 23 : u 2 + v 2 = 32 v 3 = 26 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = 8 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 = 7 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = c 13 = u 1 + v 3 c 13 = c 22 = u 2 + v 2 c 23 = c 31 = u 3 + v 1 c 31 =
80 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 23 : u 2 + v 2 = 32 v 3 = 26 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = 8 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 = 7 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = = -15 c 13 = u 1 + v 3 c 13 = = -4 c 22 = u 2 + v 2 c 23 = = -11 c 31 = u 3 + v 1 c 31 = = -2 Como todos os custos reduzidos de todas as variáveis não básicas são negativos, a solução atual é ótima. x 11 = 100, x 21 = 20, x 23 = 120, x 32 = 130 e x 33 = 30, com z= 8370
81 Capacidade de fornecimento > que a demanda total consumida Para que o algoritmo de transporte seja utilizado o problema deve estar balanceado. Solução: criar um consumidor fantasma que irá absorver todo o excesso de oferta.
82 A empresa Caramelos & Confetes atua no ramo doceiro desde 1990 e possui 3 lojas localizadas na Grande São Paulo. Seus principais clientes estão localizados na Capital Paulista, Baixada Santista e Vale do Paraíba. A capacidade de produção das lojas, a demanda dos clientes e os custos por unidade distribuída de cada loja para cada cliente estão na tabela abaixo. A fim de minimizar o custo total de transporte, a empresa quer determinar quanto distribuir de cada loja para os respectivos consumidores, respeitando a capacidade de produção e garantindo que as demandas serão atendidas. Formule o problema de transporte da empresa. custo unitário de transporte consumidor São Paulo B. Santista Vale Paraíba capacidade fornecedor Loja Loja Loja demanda
83 Solução Solução (a): modelar as restrições na forma de desigualdade Min z = 8x x x x x x x x x 33 s. a: x 11 + x 12 + x 13 <= 50 x 21 + x 22 + x 23 <=100 x 31 + x 32 + x 33 <= 40 x 11 + x 21 + x 31 >= 60 x 12 + x 22 + x 32 >= 70 x 13 +x 23 +x 33 >=30 x ij >= 0 Solução ótima: x 11 = 0, x 12 =50, x 13 = 0, x 21 = 50, x 22 = 20, x 23 = 30, x 31 = 10, x 32 =0, com z = 1240
84 Solução Solução (b): para que o algoritmo de transporte possa ser aplicado, o problema deve estar balanceado. Criar um consumidor fantasma para absorver o excesso de oferta de 30 unidades. Min z = 8x x x x x x x x x 33 s. a: x 11 + x 12 + x 13 = 50 x 21 + x 22 + x 23 =100 x 31 + x 32 + x 33 = 40 x 11 + x 21 + x 31 = 60 x 12 + x 22 + x 32 = 70 X 13 + x 23 + x 33 = 30 X 14 + x 24 + x 34 = 30 x ij >= 0 Solução ótima: x 11 = 0, x 12 =50, x 13 = 0, x 21 = 50, x 22 = 20, x 23 = 30, x 31 = 10, x 32 =0, com z = 1240
85 Capacidade de fornecimento < que demanda total consumida Deve-se criar um fornecedor fantasma
86 Exercício Modelar o programa, a seguir, e resolvê-lo usando o algortimo de Transporte
87
88
PESQUISA OPERACIONAL
PARTE I Para os exercícios de programação linear abaixo, apresentar a modelagem do problema, a solução algébrica e a solução gráfica: 1. Uma confecção produz dois tipos de vestido: um casual e um de festa.
Leia mais7 - Análise de redes Pesquisa Operacional CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE REDES. 4 c. Figura 7.1 - Exemplo de um grafo linear.
CAPÍTULO 7 7 ANÁLISE DE REDES 7.1 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos Diversos problemas de programação linear, inclusive os problemas de transporte, podem ser modelados como problemas de fluxo de redes.
Leia maisCAPÍTULO 2. Grafos e Redes
CAPÍTULO 2 1. Introdução Um grafo é uma representação visual de um determinado conjunto de dados e da ligação existente entre alguns dos elementos desse conjunto. Desta forma, em muitos dos problemas que
Leia maisPROBLEMA DE TRANSPORTE: MODELO E MÉTODO DE SOLUÇÃO
PROBLEMA DE TRANSPORTE: MODELO E MÉTODO DE SOLUÇÃO Luciano Pereira Magalhães - 8º - noite lpmag@hotmail.com Orientador: Prof Gustavo Campos Menezes Banca Examinadora: Prof Reinaldo Sá Fortes, Prof Eduardo
Leia mais15.053 Quinta-feira, 14 de março. Introdução aos Fluxos de Rede Handouts: Notas de Aula
15.053 Quinta-feira, 14 de março Introdução aos Fluxos de Rede Handouts: Notas de Aula 1 Modelos de Rede Modelos de programação linear que exibem uma estrutura muito especial. Podem utilizar essa estrutura
Leia maisMétodo Simplex Especializado para Redes
Método Simplex Especializado para Redes Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisO Problema do Transporte. Pesquisa Operacional. Formulação do Problema. Descrição Geral de um problema de transporte. Parte 2
Pesquisa Operacional Parte Graduação em Engenharia de Produção DEPROT / UFRGS Prof. Flavio Fogliatto, Ph.D. O Problema do Transporte Descrição Geral de um problema de transporte:. Um conjunto de m pontos
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisUtilização do SOLVER do EXCEL
Utilização do SOLVER do EXCEL 1 Utilização do SOLVER do EXCEL José Fernando Oliveira DEEC FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO MAIO 1998 Para ilustrar a utilização do Solver na resolução de
Leia maisTeoria dos Grafos. Aulas 3 e 4. Profa. Alessandra Martins Coelho
Teoria dos Grafos Aulas 3 e 4 Profa. Alessandra Martins Coelho fev/2014 Passeio ou percurso Um passeio ou percurso é uma sequência finita de vértices e arestas Exemplo Em (1) o passeio inicia pelo vértice
Leia maisUniversidade Federal de Ouro Preto - UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB
Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE VEÍCULOS 1 (Vehicle Scheduling Problem) Cássio Roberto de Araújo cassio@em.ufop.br Elva
Leia maisAnálise e Complexidade de Algoritmos
Análise e Complexidade de Algoritmos Uma visão de Intratabilidade, Classes P e NP - redução polinomial - NP-completos e NP-difíceis Prof. Rodrigo Rocha prof.rodrigorocha@yahoo.com http://www.bolinhabolinha.com
Leia maisProjetos. Universidade Federal do Espírito Santo - UFES. Mestrado em Informática 2004/1. O Projeto. 1. Introdução. 2.
Pg. 1 Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Mestrado em Informática 2004/1 Projetos O Projeto O projeto tem um peso maior na sua nota final pois exigirá de você a utilização de diversas informações
Leia mais2 Problema das p-medianas
2 Problema das p-medianas 2.1 Definição O PMNC é definido da seguinte forma: determinar quais p facilidades (p m, onde m é o número de pontos onde podem ser abertas facilidades) devem obrigatoriamente
Leia mais1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira
Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Método Simple.. Solução eata para os modelos de Programação Linear O modelo de Programação Linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto
Leia maisProblema de Transporte. Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto 8 modelos
Problema de Transporte Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto 8 modelos Problema de Transporte Rede bipartida onde um conjunto contém nós de oferta e o outro
Leia maisO Método Simplex para
O Método Simplex para Programação Linear Formas de Programas Lineares O problema de Programação Matemática consiste na determinação do valor de n variáveis x 1, x 2,, x n que tornam mínimo ou máximo o
Leia maisInvestigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES
Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 3 PROGRAMAS LINEARES Formulação A programação linear lida com problemas nos quais uma função objectivo linear deve ser optimizada (maximizada ou minimizada)
Leia maisPesquisa Operacional
Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,
Leia maisFaculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
1 Programação Linear (PL) Aula 5: O Método Simplex. 2 Algoritmo. O que é um algoritmo? Qualquer procedimento iterativo e finito de solução é um algoritmo. Um algoritmo é um processo que se repete (itera)
Leia maisProblemas de transportes
V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Problemas de transportes Problema de transportes aso particular de programação linear Permite uma solução particular mais simples que o caso geral de PL Embora se chame problema
Leia maisLei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico que passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisDisciplina: Suprimentos e Logística II 2014-02 Professor: Roberto Cézar Datrino Atividade 3: Transportes e Armazenagem
Disciplina: Suprimentos e Logística II 2014-02 Professor: Roberto Cézar Datrino Atividade 3: Transportes e Armazenagem Caros alunos, Essa terceira atividade da nossa disciplina de Suprimentos e Logística
Leia maisInvestigação Operacional
Ano lectivo: 2014/2015 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o 5 Problemas de Transportes e Afectação. Cursos: Economia, Gestão e Optometria
Leia maisFACULDADE CAMPO LIMPO PAULISTA MESTRADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Projeto e Análise de Algoritmos II Lista de Exercícios 2
FACULDADE CAMPO LIMPO PAULISTA MESTRADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Projeto e Análise de Algoritmos II Lista de Exercícios 2 Prof. Osvaldo. 1. Desenvolva algoritmos para as operações abaixo e calcule a complexidade
Leia maisAULA 6 - Operações Espaciais
6.1 AULA 6 - Operações Espaciais Essa aula descreve as operações espaciais disponíveis no TerraView. Antes de iniciar sua descrição é necessário importar alguns dados que serão usados nos exemplos. Exercício:
Leia maisCAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção
Leia maisPesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Conteúdos do Capítulo. Programação Linear. Lindo. s.t. Resolvendo Programação Linear Em um Microcomputador
ª Edição Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Resolvendo Programação Linear Em um Microcomputador Gerson Lachtermacher,00 Programação Linear Software Versão Windows e comandos Formulação do problema
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Grafos Cliques Maximais Para determinar os cliques maximais de um grafo G podemos usar o método de Maghout em Dado o grafo abaixo, calcule Determine os conjuntos independentes maximais em
Leia maisMatemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.
Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução
Leia maisPesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof.
Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período
Leia maisProjeto e Análise de Algoritmos Projeto de Algoritmos Tentativa e Erro. Prof. Humberto Brandão humberto@bcc.unifal-mg.edu.br
Projeto e Análise de Algoritmos Projeto de Algoritmos Tentativa e Erro Prof. Humberto Brandão humberto@bcc.unifal-mg.edu.br Laboratório de Pesquisa e Desenvolvimento Universidade Federal de Alfenas versão
Leia maisMÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM IA. Busca em espaço de estados. Estados e Operadores. Jogo dos 8. Sumário. Exemplo: jogo dos 8
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM IA Sumário busca em espaço de estados redução de problemas Busca em espaço de estados Exemplo: jogo dos 8 2 8 3 1 6 4 7 5 Jogo dos 8 Estados e Operadores Estado: uma
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisResolução da Lista 2 - Modelos determinísticos
EA044 - Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Resolução da Lista 2 - Modelos determinísticos Exercício 1 a) x ij são as variáveis de decisão apropriadas para o problemas pois devemos indicar quantos
Leia maisAlgoritmos e Estrutura de Dados III. Árvores
Algoritmos e Estrutura de Dados III Árvores Uma das mais importantes classes de estruturas de dados em computação são as árvores. Aproveitando-se de sua organização hierárquica, muitas aplicações são realizadas
Leia maisUFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior 2012 1
UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior 2012 1 2 Faltas Balanceadas 2.1 Introdução O problema consiste em determinar as tensões de barra e as correntes nas linhas de transmissão para diferentes tipos de faltas.
Leia maisJoaquim J. Júdice. Pedro C. Martins. Marta B. Pascoal. Jorge P. Santos OPTIMIZAÇÃO EM REDES. Departamento de Matemática Universidade de Coimbra
Joaquim J Júdice Pedro C Martins Marta B Pascoal Jorge P Santos OPTIMIZAÇÃO EM REDES Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 006 Conteúdo Introdução Alguns Problemas de Optimização em Redes
Leia maisTécnicas para Programação Inteira e Aplicações em Problemas de Roteamento de Veículos 14
1 Introdução O termo "roteamento de veículos" está relacionado a um grande conjunto de problemas de fundamental importância para a área de logística de transportes, em especial no que diz respeito ao uso
Leia maisEduardo C. Xavier. 24 de fevereiro de 2011
Reduções Eduardo C. Xavier Instituto de Computação/Unicamp 24 de fevereiro de 2011 Eduardo C. Xavier (IC/Unicamp) Reduções 24 de fevereiro de 2011 1 / 23 Programação Linear (PL) Vimos que na tentativa
Leia maisBCC 342 Fluxo Máximo. Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto
BCC 34 Fluxo Máximo Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto Problema de Representação Residentes R, R,... R r Clubes C, C,... C q Partidos P, P,..., P p residente
Leia maisREFLEXÃO DA LUZ: ESPELHOS 412EE TEORIA
1 TEORIA 1 DEFININDO ESPELHOS PLANOS Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz nela incidente (Figura 1). Figura 1: Reflexão regular
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisPROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
(Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é
Leia maisNotas de aula número 1: Otimização *
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior
Leia maisMATERIAL MATEMÁTICA I
MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades
Leia maisUM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA
UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção
Leia maisANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVO DC (03/12/2013)
Governo do Estado de Pernambuco Secretaria de Educação Secretaria Executiva de Educação Profissional Escola Técnica Estadual Professor Agamemnon Magalhães ETEPAM Aluno: Avaliação do Prof. (N5): ANÁLISE
Leia maisGrafo: Algoritmos e Aplicações
Grafo: Algoritmos e Aplicações Leandro Colombi Resendo leandro@ifes.edu.br Grafos: Algortimos e Aplicações Referências Basicas: Boaventura Netto, P. O., Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos, 2ª, SP, Edgar
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL: UMA ABORDAGEM À PROGRAMAÇÃO LINEAR. Rodolfo Cavalcante Pinheiro 1,3 Cleber Giugioli Carrasco 2,3 *
PESQUISA OPERACIONAL: UMA ABORDAGEM À PROGRAMAÇÃO LINEAR 1 Graduando Rodolfo Cavalcante Pinheiro 1,3 Cleber Giugioli Carrasco 2,3 * 2 Pesquisador - Orientador 3 Curso de Matemática, Unidade Universitária
Leia maisComplexidade de Algoritmos. Edson Prestes
Edson Prestes Idéias básicas Um algoritmo guloso seleciona, a cada passo, o melhor elemento pertencente a entrada. Verifica se ele é viável - vindo a fazer parte da solução ou não. Após uma seqüência de
Leia maisUso de SAS/OR para diminuir o tempo de resposta com um melhor posicionamento de ambulâncias.
Uso de SAS/OR para diminuir o tempo de resposta com um melhor posicionamento de ambulâncias. Fábio França 1, 1 Logical Optimization Rua Tanhaçu número 405, CEP 05679-040 São Paulo, Brasil fabio.franca@optimization.com.br
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisA TEORIA DOS GRAFOS NA ANÁLISE DO FLUXOGRAMA DO CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DA UFF
RELATÓRIOS DE PESQUISA EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, v.13, Série B. n.3, p. 20-33. A TEORIA DOS GRAFOS NA ANÁLISE DO FLUXOGRAMA DO CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DA UFF Pedro Henrique Drummond Pecly Universidade
Leia maisEquação do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau 1. (G1 - ifsp 014) A soma das soluções inteiras da equação x 1 x 5 x 5x 6 0 é a) 1. b). c) 5. d) 7. e) 11.. (G1 - utfpr 014) O valor da maior das raízes da equação x + x + 1 = 0,
Leia maisEspecificação do 3º Trabalho
Especificação do 3º Trabalho I. Introdução O objetivo deste trabalho é abordar a prática da programação orientada a objetos usando a linguagem Java envolvendo os conceitos de classe, objeto, associação,
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisAula 03 - Modelagem em PPLIM
Thiago A. O. 1 1 Universidade Federal de Ouro Preto 1 Componentos do modelo 2 3 4 5 6 Componentes de uma modelagem matemática Elementos; Conjuntos; Parâmetros; Variáveis; Objetivo; Restições; Elementos
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia maisPROGRAMAÇÃO INTEIRA. Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto 5 modelos
PROGRAMAÇÃO INTEIRA Prof. Gustavo Peixoto Silva Departamento de Computação Univ. Federal de Ouro Preto 5 modelos M9.1 - Problema de Seleção de Projetos ver Taha Capítulo 9 Cinco projetos estão sob avaliação
Leia maisLista de Exercícios 4: Soluções Sequências e Indução Matemática
UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios : Soluções Sequências e Indução Matemática Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 05 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja,
Leia mais2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais
Leia maisCircuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados
Introdução Circuitos Elétricos Circuitos Magneticamente Acoplados Alessandro L. Koerich Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR) Os circuitos que estudamos até o momento
Leia maisLEI DE OHM. Professor João Luiz Cesarino Ferreira. Conceitos fundamentais
LEI DE OHM Conceitos fundamentais Ao adquirir energia cinética suficiente, um elétron se transforma em um elétron livre e se desloca até colidir com um átomo. Com a colisão, ele perde parte ou toda energia
Leia maisCAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES
CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística
PESQUISA OPERACIONAL Fabiano F. T. dos Santos Instituto de Matemática e Estatística Origens da Pesquisa Operacional O termo pesquisa operacional é atribuído a A. P. Rowe, que, em 1938 na Grã-Bretanha,
Leia maisUniversidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Mina 1 45 80 140 Mina 2 70 145 95
Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ano lectivo: 2008/2009; Curso: Economia Ficha de exercícios nº5: Problema de Transportes e Problema de Afectação. 1. Uma
Leia mais5 Equacionando os problemas
A UA UL LA Equacionando os problemas Introdução Nossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar
Leia maisUNIDADE I PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA
UNIDADE I PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA ) INTRODUÇÃO Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos como casos específicos da Programação Linear (conjunto solução contínuo), onde todas, ou
Leia maisCurso: Redes II (Heterogênea e Convergente) Tema da Aula: Características Roteamento
Curso: Redes II (Heterogênea e Convergente) Tema da Aula: Características Roteamento Professor Rene - UNIP 1 Roteamento Dinâmico Perspectiva e histórico Os protocolos de roteamento dinâmico são usados
Leia maisUma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).
5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por
Leia maisCapítulo 04. Geradores Elétricos. 1. Definição. 2. Força Eletromotriz (fem) de um Gerador. 3. Resistência interna do gerador
1. Definição Denominamos gerador elétrico todo dispositivo capaz de transformar energia não elétrica em energia elétrica. 2. Força Eletromotriz (fem) de um Gerador Para os geradores usuais, a potência
Leia maisArquitetura de Rede de Computadores
TCP/IP Roteamento Arquitetura de Rede de Prof. Pedro Neto Aracaju Sergipe - 2011 Ementa da Disciplina 4. Roteamento i. Máscara de Rede ii. Sub-Redes iii. Números Binários e Máscara de Sub-Rede iv. O Roteador
Leia maisMicrosoft Project 2003
Microsoft Project 2003 1 [Módulo 4] Microsoft Project 2003 2 Definindo durações Inter-relacionamentorelacionamento Caminho crítico Microsoft Project 2003 3 1 Duração das Atividades Microsoft Project 2003
Leia maisTeoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Complemento de Grafos Mostre que para qualquer Grafo G com 6 pontos, G ou possui um triângulo Considere um vértice v de V(G). Sem perda de generalidade, podemos assumir v é adjacente a outros
Leia maisIA: Problemas de Satisfação de Restrições. Prof. Msc. Ricardo Britto DIE-UFPI rbritto@ufpi.edu.br
IA: Problemas de Satisfação de Restrições Prof. Msc. Ricardo Britto DIE-UFPI rbritto@ufpi.edu.br Introdução Um PSR é definido por um conjunto de variáveis X 1, X 2,..., X n, e por um conjunto de restrições,
Leia maisGEADA. Gerador de Expressões Algébricas em Digrafos Acíclicos. para versão 1.0, de agosto/2008. Autor: Márcio Katsumi Oikawa
GEADA Gerador de Expressões Algébricas em Digrafos Acíclicos para versão 1.0, de agosto/2008. Autor: Márcio Katsumi Oikawa 1 1 Introdução O GEADA (Gerador de Expressões Algébricas em Digrafos Acíclicos)
Leia maisO Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração
Leia maisCálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante
Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos
Leia maisSistemas Distribuídos: Conceitos e Projeto Eleição de Coordenador
Sistemas Distribuídos: Conceitos e Projeto Eleição de Coordenador Francisco José da Silva e Silva Laboratório de Sistemas Distribuídos (LSD) Departamento de Informática / UFMA http://www.lsd.deinf.ufma.br
Leia maisBCC204 - Teoria dos Grafos
BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal
Leia maisCapítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante
Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante 7.1 Números em ponto fixo Observação inicial: os termos ponto fixo e ponto flutuante são traduções diretas dos termos ingleses fixed point e floating
Leia maisSimulado OBM Nível 2
Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é
Leia maisMLP (Multi Layer Perceptron)
MLP (Multi Layer Perceptron) André Tavares da Silva andre.silva@udesc.br Roteiro Rede neural com mais de uma camada Codificação de entradas e saídas Decorar x generalizar Perceptron Multi-Camada (MLP -
Leia maisProf. Rafael Gross. rafael.gross@fatec.sp.gov.br
Prof. Rafael Gross rafael.gross@fatec.sp.gov.br Todo protocolo define um tipo de endereçamento para identificar o computador e a rede. O IP tem um endereço de 32 bits, este endereço traz o ID (identificador)
Leia maisEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,
Leia maisExercícios Leis de Kirchhoff
Exercícios Leis de Kirchhoff 1-Sobre o esquema a seguir, sabe-se que i 1 = 2A;U AB = 6V; R 2 = 2 Ω e R 3 = 10 Ω. Então, a tensão entre C e D, em volts, vale: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Os valores medidos
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS
PESQUISA OPERACIONAL TEORIA DOS GRAFOS Um grafo G(V,A) pode ser conceituado como um par de conjuntos V e A, onde: V - conjunto não vazio cujos elementos são de denominados vértices ou nodos do grafo; A
Leia maisSistemas de Numerações.
Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões; Sistemas de Numerações. Nosso sistema
Leia maisPROGRAMAÇÃO LINEAR. Resolução de problemas de programação linear usando o comando Solver, no Excel.
PROGRAMAÇÃO LINEAR Resolução de problemas de programação linear usando o comando Solver, no Excel. Para além da resolução pelo método gráfico e/ou outros métodos, é possível resolver um problema de PL
Leia maisCapítulo 7 Medidas de dispersão
Capítulo 7 Medidas de dispersão Introdução Para a compreensão deste capítulo, é necessário que você tenha entendido os conceitos apresentados nos capítulos 4 (ponto médio, classes e frequência) e 6 (média).
Leia maisMatemática Discreta. Leandro Colombi Resendo. Matemática Discreta Bacharel em Sistemas de Informações
Matemática Discreta Leandro Colombi Resendo Algoritmos para Grafos Grafos Direcionados e Relações Binárias; o Algoritmo de Warshall Caminho de Euler e Circuito Hamiltoniano Caminho Mínimo e Árvore Geradora
Leia maisEquações do segundo grau
Módulo 1 Unidade 4 Equações do segundo grau Para início de conversa... Nesta unidade, vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Na unidade anterior, você estudou sobre as equações de primeiro
Leia maisA equação do 2º grau
A UA UL LA A equação do 2º grau Introdução Freqüentemente, ao equacionarmos um problema, obtemos uma equação na qual a incógnita aparece elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Leia mais4 Avaliação Econômica
4 Avaliação Econômica Este capítulo tem o objetivo de descrever a segunda etapa da metodologia, correspondente a avaliação econômica das entidades de reservas. A avaliação econômica é realizada a partir
Leia maisCIRCUITOS ELÉTRICOS II
CIRCUITOS ELÉTRICOS II Prof.: Helder Roberto de O. Rocha Engenheiro Eletricista Doutorado em Computação Corrente Elétrica Quantidade de carga elétrica deslocada por unidade de tempo As correntes elétricas
Leia mais