Pesquisa Operacional Programação em Redes

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1 Pesquisa Operacional Programação em Redes Profa. Alessandra Martins Coelho outubro/2013

2 Modelagem em redes: Facilitar a visualização e a compreensão das características do sistema Problema de programação em redes Modelado por meio de uma estrutura de grafo ou rede que consiste em diversos nós, cada nó deve estar conectado a um ou mais arcos. Aplicações: Produção, transporte, localização de facilidades, gestão de projetos, finanças, entre outras Muitos podem ser formulados como problemas de programação linear e resolvidos pelo método simplex

3 Problema de programação em redes Exemplos de problemas: Transporte (clássico) Transbordo Designação de tarefas Caminho mais curto Fluxo máximo Árvore geradora mínima

4 A terminologia de Grafos e Redes Grafo: Um grafo é uma estrutura representada como um conjunto de pontos (vértices, nós) ligados por retas (arestas). Dependendo da aplicação, as arestas podem ser direcionadas (arcos), e são representadas por setas.

5 A terminologia de Grafos e Redes Os vértices podem representar facilidades (como fábricas, centros de distribuição, terminais ou portos marítimos), estações de trabalho ou Interseções; As arestas fazem conexões entre pares de nós, podendo representar caminhos, rotas, fios cabos, canis, entre outros. G= (V,A)

6 Um grafo cujas arestas(arcos) e/ou nós estão associados à variável numérica fluxo e/ou capacidade é chamado de rede A terminologia de Grafos e Redes Muitas vezes, as arestas (ou arcos) de um grafo que fazem conexões entre os nós estão associados a uma variável numérica chamada fluxo (como distância entre os nós, custo de transporte, tempo despendido, dimensão do fio, quantidade de peças transportadas, entre outras). Os nós de um grafo podem estar associados a uma variável numérica chamada capacidade, (podendo representar a capacidade de carga e descarga, suprimentos, demanda, entre outros).

7 Rede Os nós podem ser subdivididos em três tipos: oferta ou fontes demanda transbordo

8 Rede Nós de oferta ou fontes: Representam entidades que produzem ou distribuem determinada produto Nós de demanda: Representam entidades que consomem o produto Nós de transbordo Pontos intermediários entre nós de oferta e demanda e representam os pontos de passagem desses produtos

9 Rede Arco: Direcionado Não direcionado Quando todos os arcos da rede são direcionados rede direcionada Caminho entre dois nós: seqüência de diferentes arcos conectando esses dois nós. Um caminho que tem uma única direção: caminho direcionado

10 Rede Caminho hamiltoniano visita cada vértice (nó) uma única vez Um caminho que começa e termina no mesmo vértice (nó) ciclo Se o caminho percorrido no ciclo é direcionado ciclo direcionado Rede conexa - existe um caminho entre qualquer par de vértices (nós) Rede com estrutura de árvore conexa e acíclica

11 Rede Dentro do conceito de árvores: Uma árvore com n nós contém n-1 arcos Se um arco for adicionado à árvores, formase um ciclo Se um arco for eliminado da árvore, a rede deixa de ser conexa

12 Rede Árvore geradora ou de cobertura Dado um grafo G = (V, A), uma árvore geradora é um subgrafo de G que tem a estrutura de uma árvore e contém todos os nós de G.

13 Exemplos

14 Problemas de Transporte Esta classe de problemas recebeu este nome porque seu método de resolução, denominado Método de Transporte, foi inicialmente utilizado para determinar o menor custo de transporte entre diversas fábricas de um produto e diversos centros consumidores.

15 Problema Clássico de Transporte Determinar as quantidades de produtos a serem transportadas a partir de um conjunto de fornecedores para um conjunto de consumidores, de maneira que o custo total de transporte seja minimizado. Cada fornecedor fabrica um número fixo de produtos, e cada consumidor tem uma demanda conhecida que será atendida. O modelo é modelado a partir de dois elos da cadeia de suprimentos, ou seja, não considera facilidades intermediárias (centros de distribuição, terminal, porto marítimo ou fábrica)

16 Representação em redes do problema de transporte Origens c 11 :x 11 Destinos Cf 1 F1 C 1 d 1 Cf 2 F 2 C 2 d 2 Capacidade de fornecimento Cf m F m Demanda consumida Cn d n C mn ; X mn

17 Formulação matemática do problema Clássico de Transporte c ij : custo de transporte por unidade, do fornecedor i (i=1,..., m) para o consumidor j (j=1,..., n) x ij : quantidade transportada do fornecedor i (i=1,...m) para o consumidor j (j=1,..., n) Cf i : capacidade de abastecimento do fornecedor (origem) d i : demanda do consumidor (destino) j. Objetivo do problema: determinar as incógnitas x ij que minimizarão o custo total de transporte e, ao mesmo tempo, satisfarão todas as restrições de suprimento e demanda.

18 Formulação matemática do problema Clássico de Transporte Min Z = s. a: n i= 1 m i= 1 x ij x m n i = 1 j = 1 ij x ij 0 Cfi d c ij x ij j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n)

19 Formulação matemática do problema Clássico de Transporte Min Z = s. a: n i= 1 m i= 1 x m n i = 1 j = 1 ij x ij Cfi d c ij x ij j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n) Corresponde a um problema de programação linear x ij 0

20 Problemas de Transporte O problema de transporte poderia ser resolvido pelo método Simplex. No entanto, a estrutura especial do problema em redes permite a obtenção de algoritmos de solução mais eficientes, como o algoritmo de transporte

21 Problemas de Transporte Para que o problema tenha solução básica factível, a capacidade total de fornecimento deve ser maior ou igual à demanda de todos os consumidores. n i= 1 Cfi di

22 Problemas de Transporte Min Z = s. a: Se a capacidade total de fornecimento é exatamente igual á demanda total consumida, isto é, n i= 1 Cfi = di o problema é conhecido como problema de transporte balanceado, podendo ser reescrito como: i= 1 m n i= 1 x ij m n i = 1 j = 1 x x = ij ij = 0 d c ij x ij Cfi j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n)

23 Problemas de Transporte Se a capacidade de fornecimento total for menor que a demanda total consumida n i= 1 Cfi < di alguns consumidores não serão atendidos. Os fornecedores utilizarão sua capacidade máxima. O problema pode ser escrito como: Min Z = s. a: n i= 1 m i= 1 x ij m n i = 1 j = 1 x ij = x ij 0 d c ij x ij Cfi j (i = 1, 2,..., m) (j = 1, 2,..., n)

24 Exemplo 1 A Karpet Ltda é uma empresa fabricante de autopeças, cujas sedes estão localizadas em Osasco, Sorocaba e São Sebastião. Seus clientes encontram-se em São Paulo, Rio de Janeiro e Curitiba. Os custos unitários de transporte de cada origem para cada destino, assim como a capacidade de cada fornecedor, encontram-se na tabela abaixo: Fornecedor custo unitário de transporte consumidor São Paulo Rio de Janeiro Curitiba Capacidade Osasco Sorocaba São Sebastião demanda O objetivo é atender a demanda de cada consumidor final, respeitando as capacidades de fornecimento, de forma a minimizar o custo total de transporte. Modelar o problema de transporte

25 Solução A capacidade de fornecimento é igual á demanda total consumida problema de transporte balanceado Variáveis de decisão: x ij (quant. de peças transportadas do fornecedor i para o consumidor j), com i=1,2,3 e j=1,2,3 x 11 = transporte de Osasco para São Paulo x 12 = transporte de Osasco para Rio de Janeiro x 13 = transporte de Osasco para Curitiba x 21 = transporte de Sorocaba para São Paulo x 22 = transporte de Sorocaba para Rio de Janeiro x 23 = transporte de Sorocaba para Curitiba x 31 = transporte de São Sebastião para São Paulo x 32 = transporte de São Sebastião para Rio de Janeiro x 33 = transporte de são Sebastião para Curitiba

26 Solução A função objetivo busca minimizar o custo total de transporte: Min Z= 12x x x x x x x x x 33

27 Solução As restrições do modelo: 1. A capacidade de cada fornecedor será utilizada para atender a demanda dos consumidores x 11 +x 12 +x 13 = 100 x 21 +x 22 +x 23 =140 x 31 +x 32 +x 33 =160

28 Solução As restrições do modelo: 2. A demanda de cada consumidor deve ser atendida x 11 +x 21 +x 31 = 120 x 21 +x 22 +x 32 =130 x 31 +x 23 +x 33 =150

29 Solução As restrições do modelo: 3. As variáveis de decisão do modelo são não negativas. xij 0 i= 1,2,3 e j=1,2,3

30 Algoritmo de transporte Início: o problema deve estar balanceado (fluxo total de entrada = fluxo total de saída) e representado na forma tabular Passo 1: encontrar uma solução básica factível inicial. Para isso, são apresentados 3 métodos: método do canto noroeste, método do custo mínimo e método da aproximação de Vogel. Passo 2: Teste de otimalidade usar método dos multiplicadores, baseado na teoria da dualidade. Aplicar a condição de otimalidade do método simplex ao problema de transporte. Se a condição é satisfeita, o algoritmo termina aqui, caso contrário, determina-se uma SBF adjacente melhor.

31 Algoritmo de transporte Iteração: Determinar uma SBF adjacente melhor Três passos devem ser tomados: 1. determinar a variável não básica que entrará na base, utilizando o método dos multiplicadores. 2. escolher a variável básica que passará para o conjunto de variáveis não básica utilizando a condição de factibilidade do método simplex. Recalcular a nova solução básica.

32 Início Problema Balanceado Forma Tabular

33 Consumidor x12 x13 Capacidade 100 Fornecedor x x22 x x x32 x Demanda m fornecedores n consumidores Problema de transporte balanceado possui m+n restrições de igualdade O problema balanceado possui fluxo total de entrada = saída. Pode-se afirmar que uma das restrições é redundante. Assim possui m +n-1 equações independentes e m+n-1 variáveis básicas Para o problema acima: m = 3 e n =3, tem-se 5 variáveis básicas

34 Passo 2 Determinar solução Básica Factível

35 Método do canto noroeste Passo 1: selecione a célula x 11, localizada no canto superior esquerdo (noroeste) Passo 2: Verificar a capacidade total do Fornecedor 1 e a demanda do consumidor 1.Verificar a quantidade máxima que deve ser alocada. O valor máximo a ser alocado nessa célula é o mínimo entre esses dois valores Passo 3: Se o limite máximo de capacidade do fornecedor 1 ou a demanda for atingida, as células correspondentes à mesma linha/coluna devem ser bloqueadas.

36 Método do canto noroeste consumidor capacidade 1 x 11 x 12 x fornecedor 2 x 12 x 22 x x 13 x 32 x demanda

37 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor demanda

38 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor demanda

39 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x 160 demanda

40 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x x 160 demanda

41 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x x demanda

42 Método do canto noroeste consumidor capacidade x x 100 fornecedor x x demanda Solução básica : x 11 = 100, x 21 = 20, x 22 = 120, x 32 = 10, x 33 = 150, com z=9690 Variáveis não básicas: x 12, x 13, x 23, x 31 iguais a 0

43 Método do Custo Mínimo Adaptação do método do canto noroeste, em que, em vez de selecionar a célula mais próxima do canto noroeste, seleciona-se aquela com menor custo.

44 Método do Custo Mínimo Passo 1: Selecione a célula de custo mínimo Passo 2: alocar a maior quantidade possível Passo 3: Se a capacidade do fornecedor for atingida ou a demanda for atendida, bloquear as outras células da linha/coluna

45 Método do Custo Mínimo consumidor x12 x13 Capacidade 100 Fornecedor x x22 x x x32 x Demanda

46 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x x x Demanda

47 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x x Demanda

48 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x x Demanda

49 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x x Demanda

50 Método do Custo Mínimo consumidor x x Capacidade 100 Fornecedor x x Demanda Solução básica: x 11 = 100, x 21 = 20, x 23 = 120, x 32 = 130, x 33 = 30, com z=8370

51 Método de aproximação de Vogel Versão melhorada do método do custo mínimo que leva, geralmente, a melhores soluções iniciais.

52 Método de aproximação de Vogel Passo 1: para cada linha e coluna, calcular a penalidade que corresponde à diferença entre os dois menores custos unitários de transporte na respectiva linha (e coluna). A penalidade para uma linha (coluna) será calculada enquanto houver pelo menos duas células ainda não alocadas e não bloqueadas na mesma linha (coluna)

53 Método de aproximação de Vogel Passo 2: escolher a linha de maior penalidade. Em caso de empate, escolher qualquer uma delas, aleatoriamente.na linha ou coluna selecionada, escolha a célula de menor custo.

54 Método de aproximação de Vogel Passo 3: Aloque a maior quantidade possível de produto, de forma que a soma das células correspondentes na mesma linha e na mesma coluna não ultrapasse a capacidade de fornecimento total e de demanda total, respectivamenete.

55 Método de aproximação de Vogel Passo 4: bloqueie as células correspondentes à mesma linha ou coluna que atingiu o limite máximo de fornecimento ou demanda, enquanto restar mais de uma célula não alocada e não bloqueada, volte ao passo 1, caso contrário, vá para o passo 5.

56 Método de aproximação de Vogel Passo 5: aloque a essa última célula a capacidade ou demanda remanescente.

57 Método de aproximação de Vogel consumidor Capacidade 100 Penalidade na linha = 10 Fornecedor x21 x22 x = 6 x x32 x = 7 Demanda Penalidade Na coluna =6 =7 =2

58 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha = 10 Fornecedor x x22 x = 6 x x32 x = 7 Demanda Penalidade Na coluna =6 =7 =2

59 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x = 6 x x = 7 Demanda Penalidade Na coluna =4 =9 =2

60 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x x = 14 x x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =4 =9 =2

61 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x = x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =4 =2

62 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x = 14 x x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =4 =2

63 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x x = 12 Demanda Penalidade Na coluna =2

64 Método de aproximação de Vogel consumidor x x Capacidade 100 Penalidade na linha - Fornecedor x x = 12 Demanda Solução Básica: x 11 = 100, x 21 = 20, x 23 = 120, x 32 = 130, x 33 = 30, com z=8370

65 Passo 2 Teste da otimalidade

66 Teste de Otimalidade Para verificar se a solução encontrada é ótima, utiliza-se o métodos dos multiplicadores, que é baseado na teoria da dualidade A cada linha i e a cada coluna j é associado os multiplicadores u i e v i. Os coeficientes da FO (custos reduzidos) da variável x ij (c ij ) são dados pela seguinte fórmula: c ij = u i + v j -c ij

67 Teste de Otimalidade Como os custos reduzidos das variáveis básicas são nulos, a fórmula c ij = u i + v j -c ij se resume a u i + v j = c ij Como o modelo contém m+n-1 equações independentes e, consequentemente, m+n-1 variáveis básicas, para resolver o sistema de equações u i + v j = c ij com m+n incógnitas, devese atribuir, arbitrariamente, o valor zero a um dos multiplicadores por exemplo, u 1 =0

68 Teste de Otimalidade Para o problema de transporte (problema de minimização), a solução atual é ótima se, e somente se, os custos reduzidos de todas as variáveis não básicas forem não positivos: u i + v i -c ij <=0, para cada variável não básica x ij Enquanto existir pelo menos uma variável não básica com custo reduzido positivo, há uma solução básica factível (SBF) adjacente melhor.

69 Teste de Otimalidade Iteração: Determinar uma SBF adjacente melhor Passo 1. determinar a variável não básica que entrará na base, utilizando o método dos multiplicadores. A variável não básica x ij selecionada e aquela com maior custo reduzido (maior valor de u i + v i c ij ) Passo2. Escolher a variável básica que sairá da base Passo 3. Recalcular a nova solução básica (diretamente na forma tabular do problema de transporte)

70 Teste de Otimalidade fornecedor consumidor capacidade x x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 =

71 Teste de Otimalidade fornecedor consumidor capacidade x x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = 18 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = -3 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 = 37

72 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = 18 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = -3 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 = 37 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = c 13 = u 1 + v 3 c 13 = c 23 = u 2 + v 3 c 23 = c 31 = u 3 + v 1 c 31 =

73 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 22 : u 2 + v 2 = 24 v 2 = 18 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = -3 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 u 3 = 37 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = = -4 c 13 = u 1 + v 3 c 13 = = 7 c 23 = u 2 + v 3 c 23 = = 11 c 31 = u 3 + v 1 c 31 = = -13 Como existem dois custos positivos, existe uma SBF adjacente melhor. Entra x 23, pois é o maior custo reduzido.

74 Determinar SBF adjacente melhor Um ciclo fechado deve ser construído para determinar a variável que sairá da base e para calcular a nova solução básica A) deve-se iniciar e terminar em x 23 B)ser formado por uma sequencia de segmentos verticais e horizontais conectados entre si C) cada esquina deve estar associada a uma variável básica, com exceção de x 23 fornecedor 1 2 consumidor capacidade x x x demanda

75 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda Determinar a variável que sairá da base. Escolher a variável que possui o menor valor (120<150) (esquinas vizinhas). A restrição de capacidade do fornecedor deve ser respeitada

76 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda x 23 = 120 e x 22 = 0 Calcular os novos valores para x 32 e x 33. X 32 = 130 e x 33 =

77 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = para x 23 : u 2 + v 3 = 32 v 3 = para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 =

78 Determinar SBF adjacente melhor fornecedor consumidor capacidade x x x demanda Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 23 : u 2 + v 3 = 32 v 3 = 26 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = 8 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 = 7

79 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 23 : u 2 + v 2 = 32 v 3 = 26 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = 8 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 = 7 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = c 13 = u 1 + v 3 c 13 = c 22 = u 2 + v 2 c 23 = c 31 = u 3 + v 1 c 31 =

80 Teste de Otimalidade Para cada variável básica x ij, descrever a equação u i + v j = c ij para x 11 : u 1 + v 1 = 12 fazendo u 1 = 0, tem-se: v 1 = 12 para x 21 : u 2 + v 1 = 18 u 2 = 6 para x 23 : u 2 + v 2 = 32 v 3 = 26 para x 32 : u 3 + v 2 = 15 u 3 = 8 para x 33 : u 3 + v 3 = 34 v 2 = 7 A partir desses multiplicadores, determinam-se os custos reduzidos das variáveis não básicas por meio de fórmula c ij = u i + v i -c ij c 12 = u 1 + v 2 c 12 = = -15 c 13 = u 1 + v 3 c 13 = = -4 c 22 = u 2 + v 2 c 23 = = -11 c 31 = u 3 + v 1 c 31 = = -2 Como todos os custos reduzidos de todas as variáveis não básicas são negativos, a solução atual é ótima. x 11 = 100, x 21 = 20, x 23 = 120, x 32 = 130 e x 33 = 30, com z= 8370

81 Capacidade de fornecimento > que a demanda total consumida Para que o algoritmo de transporte seja utilizado o problema deve estar balanceado. Solução: criar um consumidor fantasma que irá absorver todo o excesso de oferta.

82 A empresa Caramelos & Confetes atua no ramo doceiro desde 1990 e possui 3 lojas localizadas na Grande São Paulo. Seus principais clientes estão localizados na Capital Paulista, Baixada Santista e Vale do Paraíba. A capacidade de produção das lojas, a demanda dos clientes e os custos por unidade distribuída de cada loja para cada cliente estão na tabela abaixo. A fim de minimizar o custo total de transporte, a empresa quer determinar quanto distribuir de cada loja para os respectivos consumidores, respeitando a capacidade de produção e garantindo que as demandas serão atendidas. Formule o problema de transporte da empresa. custo unitário de transporte consumidor São Paulo B. Santista Vale Paraíba capacidade fornecedor Loja Loja Loja demanda

83 Solução Solução (a): modelar as restrições na forma de desigualdade Min z = 8x x x x x x x x x 33 s. a: x 11 + x 12 + x 13 <= 50 x 21 + x 22 + x 23 <=100 x 31 + x 32 + x 33 <= 40 x 11 + x 21 + x 31 >= 60 x 12 + x 22 + x 32 >= 70 x 13 +x 23 +x 33 >=30 x ij >= 0 Solução ótima: x 11 = 0, x 12 =50, x 13 = 0, x 21 = 50, x 22 = 20, x 23 = 30, x 31 = 10, x 32 =0, com z = 1240

84 Solução Solução (b): para que o algoritmo de transporte possa ser aplicado, o problema deve estar balanceado. Criar um consumidor fantasma para absorver o excesso de oferta de 30 unidades. Min z = 8x x x x x x x x x 33 s. a: x 11 + x 12 + x 13 = 50 x 21 + x 22 + x 23 =100 x 31 + x 32 + x 33 = 40 x 11 + x 21 + x 31 = 60 x 12 + x 22 + x 32 = 70 X 13 + x 23 + x 33 = 30 X 14 + x 24 + x 34 = 30 x ij >= 0 Solução ótima: x 11 = 0, x 12 =50, x 13 = 0, x 21 = 50, x 22 = 20, x 23 = 30, x 31 = 10, x 32 =0, com z = 1240

85 Capacidade de fornecimento < que demanda total consumida Deve-se criar um fornecedor fantasma

86 Exercício Modelar o programa, a seguir, e resolvê-lo usando o algortimo de Transporte

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