Notas de aula número 1: Otimização *

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior Estagio Docência: Rafael Tiecher Cusinato. Notas de aula número 1: Otimização * Rafael Tiecher Cusinato. A. Estrutura de um problema de otimização Todo problema de otimização consiste em três elementos: 1. Variáveis de escolha: são as variáveis cujos valores ótimos devem ser determinados. Por exemplo: ( i ) Uma firma quer saber qual nível de produto deve produzir para obter o lucro máximo possível. Neste caso, o produto é a variável de escolha. ( ii ) Uma firma quer saber qual quantidade de trabalho, capital e insumos que deve usar para produzir determinado nível de produto ao mínimo custo possível. ( iii ) Um consumidor deseja comprar uma cesta de bens que ele tenha condições de adquirir e que lhe deixe na melhor situação. Aqui, as variáveis de escolha são as quantidades dos bens. 2. Função objetivo: fornece uma especificação matemática da relação entre as variáveis de escolha e a variável que desejamos maximizar ou minimizar. Assim, seguindo os exemplos do item 1, as funções objetivos podem tomar a forma de relacionar: ( i ) lucro ao nível de produto. ( ii ) custo à quantidade de trabalho, capital e insumos. ( iii ) um indexador da satisfação do consumidor às diferentes quantidades de bens que ele pode comprar.

2 Em ( i ) e (iii ), as funções devem ser maximizadas e em ( ii ), minimizada todas em respeito as suas respectivas variáveis de escolha. 3. Conjunto viável: uma parte essencial de qualquer problema de otimização é a especificação exata de quais alternativas estão disponíveis para o tomador de decisões. O conjunto de alternativas disponíveis é chamado de conjunto viável. Há três maneiras no qual um conjunto viável pode ser especificado: (a) Por enumeração direta, i.e., por uma proposição que afirme: as alternativas são A, B, C... (b) Por uma ou mais desigualdades que define diretamente um conjunto de valores alternativos para as variáveis de escolha. (c) Por uma ou mais funções ou equações que defina um conjunto de valores alternativos. Podemos resumir que um problema de otimização é formado pelas variáveis de escolha, função objetivo e conjunto viável. O problema é escolher a melhor alternativa do conjunto viável. Em geral, a teoria permite a representação do problema em uma procura pelo máximo ou mínimo da função objetivo em respeito às variáveis de escolha e sujeito à restrições. B. Soluções: questões e conceitos A solução de um problema de otimização é tal que o vetor de valores da variável de escolha está no conjunto viável e fornece o máximo ou o mínimo da função objetivo sobre o conjunto viável. A partir de agora, utilizaremos o exemplo de uma maximização cuja função objetivo é f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x). Denotaremos o conjunto viável dos vetores por S. Então, a solução para o problema é um vetor de variáveis de escolha x * que possui a seguinte propriedade: f (x * ) f (x) x, x * S (1) (O símbolo significa para todo.)

3 Soluções globais vs locais: uma solução global é aquela que satisfaz a condição (1). Naquele ponto, a função objetivo toma um valor que não é excedido em qualquer outro ponto dentro do conjunto viável. É, portanto, a solução que procuramos. Por outro lado, uma solução local satisfaz a condição: f (x ** ) f (x) x N ** S (2) onde N ** é um conjunto de pontos na vizinhança de x **. Unicidade da solução: a solução não é necessariamente única, é possível que haja mais de um máximo global. Solução interior vs de fronteira: na figura 1, os pontos x = 0 e x = x 0 são pontos de fronteira, enquanto todos os outros pontos no conjunto S são pontos de interior. Uma solução interior é um ponto interior que satisfaz a condição (1). Uma solução de fronteira é um ponto de fronteira que satisfaz a condição (1). A distinção é importante pois pequenas mudanças em uma restrição geralmente não afetam uma solução interior o ponto ótimo continua o mesmo. Porém, tendem a afetar uma solução de fronteira.

4 Dizemos que uma restrição está ou é ativa quando há uma solução de fronteira sob a fronteira definida pela restrição em questão. Uma restrição não está ativa ou é não-ativa quando a solução for interior ou quando a solução é de fronteira mas a solução está sob a fronteira de outra restrição. Continuidade da função objetivo: uma função y = f(x) é contínua se não há cortes no gráfico, ou seja, intuitivamente, se podemos desenhá-la sem tirar a caneta do papel. Na figura 2, as funções desenhadas em (b) e (c) não são contínuas, enquanto que (a) é contínua. Concavidade da função objetivo: na figura 3, temos os gráficos de quatro tipos de funções. Uma função com uma curvatura do tipo mostrado em (a) é chamada de função côncava. Em (b) temos uma função convexa e em (c), uma função que não é côncava nem convexa. Quando uma função for diferenciável, podemos expressar a concavidade pela condição f (x) < 0 e a convexidade por f (x) > 0.

5 Funções quase-côncavas fazer: Dado uma função y = f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x), podemos escolher algum número c e f ( x ) = c (3) Podemos dizer que (3) define o contorno da função f (x) e que o conjunto de valores de x que satisfaz (3) é o conjunto dos contornos. A continuidade dos contornos é definida da mesma maneira que a continuidade da função e pode ser pensada como a inexistência de cortes, brechas ou pulos no gráfico. A continuidade de uma função e a de seus contornos estão intimamente relacionados pode ser mostrado que a continuidade da função implica a continuidade de seus contornos. Analisaremos agora, a concavidade dos contornos. Restringiremos nossas atenções às funções com derivadas f 1, f 2 positivas. A figura 4 ilustra a concavidade dos contornos destas funções. Escolha dois pontos sobre o mesmo contorno tal como x e x na figura. Ou seja, f (x ) = f (x ) = c. Escolha qualquer ponto da linha reta que liga x e x tal como x * na figura. Então, dizemos que o contorno é côncavo se: f (x * ) f (x ) = f (x ) = c (4) Em palavras, uma combinação convexa de qualquer dois pontos de um contorno fornece valores pelo menos tão altos quanto da função e, portanto, está sob o mesmo contorno ou sob um contorno mais alto. Uma função cujos contornos satisfazem esta definição é dita função quase-côncava. As funções cujo contornos são mostrados em (a) e (b) da figura 4 são quase-côncavas enquanto a mostrada em (c) não é.

6 Podemos fazer uma distinção observando (a) e (b) da figura acima. Em (a), para qualquer dois pontos do contorno, a linha que liga eles estará sempre acima do contorno e nunca sob o contorno. Tal função é chamada de estritamente quase-côncava. No caso de (b), podemos encontrar pontos em que a linha que os une ficará sob o contorno e, portanto, apesar desta função ser quase-côncava, ela não é estritamente quase-côncava. Em um problema de otimização, dado f 1, f 2 > 0, quanto mais alto o contorno alcançado, maior é o valor da função objetivo. Portanto, maximizar a função objetivo é equivalente a encontrar o contorno mais alto possível. Propriedades do conjunto viável Não-vazio: um conjunto é não-vazio se contém pelo menos um elemento. Um problema de otimização só tem solução se o conjunto viável for não-vazio. Fechado: um conjunto é fechado se todos os pontos de sua fronteira são elementos do conjunto. Portanto, o conjunto de números do intervalo 0 x 1 é fechado enquanto os conjuntos definidos nos intervalos 0 < x < 1 e 0 x < 1 não são. Limitado: um conjunto é limitado quando não é possível ir adiante para o infinito em qualquer direção mantendo-se dentro do conjunto. Assim, o conjunto de números x do intervalo 0 < x < 1 é limitado, enquanto o conjunto x 0 é não-limitado. Note que as definições de conjunto fechado e limitado são diferentes: o conjunto definido por 0 < x < 1 é limitado mas não é fechado; o conjunto de valores x 0 é não-limitado mas é fechado.

7 Convexidade: um conjunto é convexo se para cada par de pontos que pertencem ao conjunto, podemos ligá-los com uma linha reta e esta linha fica completamente dentro do conjunto. Portanto, os conjuntos de (a) da figura 5 são convexos enquanto os de (b) não são convexos. Quando qualquer dois pontos da fronteira de um conjunto convexo são ligados por uma reta que, exceto em seus pontos terminais, estão no interior do conjunto, então o conjunto é estritamente convexo. C. Existência de soluções Teorema da existência: Um problema de otimização sempre tem solução se: ( i ) a função objetivo é contínua ( ii ) o conjunto viável é não-vazio, fechado e limitado. D. Ótimo local e global Teorema: Um máximo local é sempre um máximo global se: ( i ) a função objetivo é quase-côncava ( ii ) o conjunto viável é convexo. E. Unicidade da solução Teorema da unicidade: Dado um problema de otimização no qual o conjunto viável é convexo e a função objetivo é quase-côncava, a solução é única se: ( i ) o conjunto viável é estritamente convexo ou ( ii ) a função objetivo é estritamente quase-côncava ou ( iii ) ambos

8 F. Ótimo de interior e de fronteira Em geral, a solução de um problema de otimização que é um ponto interior do conjunto viável não é afetada por pequenas mudanças nas fronteiras do conjunto. Por outro lado, uma solução de fronteira deverá ser sensitiva à mudanças em pelo menos uma restrição. Nas partes (a) e (b) da figura 6, o conjunto viável está inicialmente na área 0ab. Em (a), temos um ótimo interior em x * e em (b) e (c), temos ótimo de fronteira também denotado por x *. A solução (a) não é afetada por pequenas mudanças na restrição por exemplo, para a b. Em (b), a mudança para a b afeta a solução e em (c), uma mudança da restrição cd têm efeito sobre a otimização, mas o mesmo não ocorre para pequenas mudanças em ab, como ilustrado. A ausência de resposta da solução (a) à mudanças é devido a existência de um ponto de saciedade em x * no qual a função objetivo atinge o máximo. A ocorrência de um ponto de saciedade no interior do conjunto viável é claramente uma condição necessária para existir um máximo interior. Portanto, podemos caracterizar um máximo de fronteira como um máximo em que não existe um ponto de saciedade. Uma classe deste tipo de máximo é quando a função objetivo é monotonicamente crescente; i.e., f i > 0, onde f i é a i-ésima derivada parcial da função. Neste caso, a solução estará necessariamente sob a fronteira superior do conjunto viável.

9 As partes (b) e (c) da figura 6 mostram dois tipos de ótimos de fronteira. Em (b), existe apenas uma fronteira superior e, dado a suposição que c 2 > c 1, a mudança na fronteira modifica o ótimo. Em (c), conjunto viável inicial é dado pela área 0ceb definida pelas duas desigualdades lineares fracas. O ótimo inicial é na fronteira em x *. Neste ponto, a restrição definida pela linha ab é satisfeita. Esta restrição é efetivamente inoperante na solução e, portanto, esta restrição é não-ativa. Uma vez que sabemos onde a solução está, uma restrição não-ativa pode ser deixada de fora de qualquer análise que esteja interessada em movimentos pequenos nas vizinhanças do ótimo. Seguidamente, isto permite uma simplificação da análise. G. Localização do ótimo A condição necessária para o ponto x * = (x * 1, x * 2,..., x * n ) alcançar o máximo da função f (x) quando não há restrições é f i (x * ) = 0 i = 1, 2,..., n (5) isto é, cada derivada parcial da função, avaliada em x *, deve ser zero. Quando há restrições garantindo a inadimissibilidade de quantidades negativas, i.e., x i 0 para i = 1,2,...,n, temos as seguintes condições necessárias: f i (x * ) 0 x i * 0 x i * f i (x * ) = 0 i=1,2,...,n (6) Método de Lagrange Quando há restrições funcionais, devemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Suponha o problema da maximização da função objetivo f (x 1,x 2 ) sujeito à restrição funcional g (x 1,x 2 ) b. Na figura 7, o problema está colocado na forma gráfica.

10 Neste caso, devemos montar a função lagrangeano: L (x 1, x 2, ) = f (x 1, x 2 ) [ g (x 1, x 2 ) b ] (7) E, a partir de sua diferenciação, temos as condições necessárias para maximização: f 1 - * g 1 = 0 f 2 - * g 2 = 0 (8) g (x 1 *, x 2 * ) b = 0 Interpretação do multiplicadores de Lagrange ( * ) Em economia, as derivadas são usualmente designadas pelo termo marginal. Assim, * pode ser pensado como a mudança marginal no valor otimizado da função objetivo com respeito à mudanças na restrição. H. Generalização adicional Suponha que queremos o maximizar o problema na forma geral: Max f (x) s. a. g j (x) b j x 0 ( j=1,..., m ) (9)

11 Desta forma, temos a função lagrangeano: L (x, ) = f (x) j [ g j (x) b j ] (10) As condições necessárias são: f i j * g i j 0; x i * 0; x i * L i = 0 ( i=1,..., n ) (11) b g i (x * ) 0; i * 0; i* L i = 0 ( j=1,..., m ) (12) * Resumo do capítulo 2, optimization, de GRAVELLE, H & REES, R. Microeconomia. London, Longman, 1981.