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1 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Faltas Balanceadas 2.1 Introdução O problema consiste em determinar as tensões de barra e as correntes nas linhas de transmissão para diferentes tipos de faltas. As faltas podem ser do tipo balanceada (trifásica) e desbalanceada (monofásica, bifásica, bifase-terra). Os estudos de curto-circuito trifásico servem para ajustar os relés de fase, enquanto que os monofásicos, servem para ajustar os relés de terra. Estudos de falta, também servem para dimensionar disjuntores. O comportamento do gerador, para estudos de faltas, pode ser dividido em três períodos: subtransitório, transitório, e regime permanente. 2.2 Curto-circuito trifásico Não ocorre com frequência e é o tipo de falta mais severa. Considerando a rede balanceada, este tipo de falta pode ser resolvido por fase. Nas outras duas fases, fluem correntes com mesmo módulo, porém defasadas de 120. Durante o curto-circuito, a X do gerador varia no tempo. A X''d descreve os 1 os ciclos, a X'd, 30 ciclos e a Xs, daí para frente. Como a duração do curto-circuito é função do tempo de atuação da proteção, não é fácil decidir qual tipo de reatância utilizar nos estudos. Geralmente, a X''d é utilizada quando se deseja determinar a capacidade de interrupção de disjuntores. A X'd é tipicamente utilizada em estudos de proteção e estabilidade transitória. Exemplo 2.1 Determine a corrente de falta no ponto de falta, as correntes de falta nas linhas de transmissão e tensões pós-falta nas barras, para Zf=0,16 pu. Fazer para a barra 1, 2 e 3 do sistema representado na Figura 2.1. a) Curto-circuito na barra 3: Figura 2.1 Sistema de potência.

2 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Figura 2.2 (a) Curto-circuito na barra 3. (b) Equivalente de Thévenin. A corrente de falta na barra 3 é: Onde V 3 (0) é a tensão de Thévenin ou tensão pré-falta na barra 3. Essa pode ser obtida por meio de estudos de fluxo de potência. Neste exemplo, as cargas foram desprezadas e as tensões internas dos geradores foram consideradas como sendo iguais. Portanto, todas as tensões pré-falta são iguais a 1 pu e estão em fase, ou seja: V 1 (0) = V 2 (0) = V 3 (0) = 1,0 pu Z 33 é a impedância equivalente de Thévenin vista a partir da barra em falta.

3 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Figura 2.3 (a) Transformação -Y. (b,c) Redução da rede para encontrar o equivalente de Thévenin. Por meio da Figura 2.3 (c), pode-se calcular a corrente de falta no ponto de falta. A Figura 2.3 (a) permite calcular a contribuição dos geradores, ou seja: As mudanças nas tensões de barras, de acordo com a Figura 2.3 (b) são: As tensões pós-falta das barras podem ser obtidas por superposição das tensões pré-falta e variação das tensões devido ao curto-circuito, como mostrado em Figura 2.2 (b), ou seja: As correntes de curto-circuito nas linhas de transmissão são: a) Curto-circuito na barra 2:

4 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Figura 2.4 (a) Curto-circuito na barra 2. (b) Equivalente de Thévenin. A corrente de falta na barra 2 é: Figura 2.5 (a,b) Redução da rede para encontrar o equivalente de Thévenin. Por meio da Figura 2.3 (a), pode-se calcular a contribuição dos geradores. A Figura 2.3 (a) permite calcular a contribuição dos geradores, ou seja:

5 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior As variações nas tensões de barras, de acordo com a Figura 2.3 (b) são: As tensões pós-falta das barras podem ser obtidas por superposição das tensões pré-falta e variação das tensões devido ao curto-circuito, como mostrado em Figura 2.2 (b), ou seja: As correntes de curto-circuito nas linhas de transmissão são: a) Curto-circuito na barra 1: Figura 2.6 (a) Curto-circuito na barra 1. (b) Equivalente de Thévenin.

6 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Figura 2.7 (a,b) Redução da rede para encontrar o equivalente de Thévenin. A corrente de falta na barra 2, de acordo com a Figura 2.6 é: Por meio da Figura 2.7 (a), pode-se calcular a contribuição dos geradores. As variações nas tensões de barras, de acordo com a Figura 2.7 (b) são: As tensões pós-falta das barras podem ser obtidas por superposição das tensões pré-falta e variação das tensões devido ao curto-circuito, como mostrado em Figura 2.2 (b), ou seja: As correntes de curto-circuito nas linhas de transmissão são: Neste exemplo as tensões nodais pré-falta foram consideradas como sendo 1 pu. Uma maior precisão nos resultados pode ser obtida por meio do uso da tensão de pré-falta obtida em estudo de fluxo de potência. O procedimento a ser usado, quando se deseja incluir os efeitos da carga nos estudos de curto-circuito é descrito a seguir: Obter as tensões de barra pré-falta por meio do fluxo de potência; Converter as cargas em impedância constante, sendo para tal utilizada a tensão pré-falta do fluxo de carga; Encontrar o equivalente de Thévenin; Encontrar as variações de tensão em cada barra; Encontrar as tensões pós-falta para cada barra por meio do método da superposição; Encontrar as correntes de falta na rede elétrica. 2.3 Potência de curto-circuito A potência de curto-circuito de uma barra expressa a sua capacidade de escoamento e é usada para dimensionar a barra e a capacidade de interrupção de disjuntores.

7 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior a Scc (MVA) de uma barra é definida como sendo: onde VLk é a tensão de linha em kv e Ik(F) é expressa em A. A corrente de curto-circuito trifásica em pu é: Eq. 2.1 Eq. 2.2 onde, Vk(0) é a tensão pré-falta em pu e Xkk é a reatância em pu no ponto de falta. A resistência do sistema é desprezada e somente a X é utilizada. Este cenário implica em uma menor impedância e portanto, na maior corrente de falta (bastante conservador). A corrente base é: Eq. 2.3 onde, SB é a base em MVA e VB é a tensão de linha em kv. Deste modo, a corrente de falta em A é: Substituindo Ik(F) na equação 2.1 tem-se: Eq. 2.4 Se a tensão base for igual a tensão nominal do sistema, VL = VB, então: Eq. 2.5 Eq. 2.6 Normalmente, a tensão pré-falta da barra é considerada como sendo 1 pu. Logo, a equação 2.6 pode ser aproximada por, Eq Análise de faltas por Zbus Esta seção apresenta um meio de se calcular as correntes de falta por meio do método nodal. É mostrado que as correntes e tensões pós-falta nas barras podem ser facilmente obtidas por meio dos elementos que constituem a matriz Ybus. Considere o sistema n-barras mostrado na Figura 2.8. O sistema opera em condições balanceadas e o modelo por fase é utilizado. Uma falta trifásica com Zf é aplicada na barra k. As tensões pré-falta da barras são obtidas do fluxo de carga e estão representadas pelo vetor coluna V(0).

8 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Figura 2.8 Barramento típico de um sistema de potência. Eq. 2.8 Os valores das correntes de curto-circuito são muito maior que aquelas que fluem pelo sistema em regime permanente, e portanto a carga pode ser desprezada. Porém, uma boa aproximação é representar a carga como impedância constante, calculada para a tensão pré-falta na barra onde está conectada, ou seja: Eq. 2.9 O circuito equivalente de Thévenin pode ser obtido zerando as fontes de tensão e representando todos os componentes e cargas por suas impedâncias, conforme mostra a Figura 2.9. As variações de tensão causadas pela falta são representadas pelo vetor coluna. Eq. 2.10

9 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Figura 2.9 Barramento típico de um sistema de potência. As tensões de barra pós-falta pode ser obtidas por superposição, considerando as tensões pré-falta nas barras. Eq A equação nodal para n-barras com as correntes injetadas nas barras expressas em termos das tensões de barras (com a barra zero como referência). Eq onde, Ibus é o vetor que contém as correntes injetadas nas barras e Ybus é a matriz de admitância. Os elementos da diagonal são formados por: Os fora da diagonal são: Eq Eq onde yij é a admitância real do equipamento entre i-j. No circuito equivalente de Thévenin mostrado na Figura 2.9 a corrente injetada em cada barra é zero com exceção da barra em falta. Como a corrente está saindo da barra em falta, essa é considerada como sendo uma corrente negativa injetada na barra k. Eq resolvendo para Vbus O vetor que contém as tensões pós-falta é Eq Eq Eq. 2.18

10 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior A k ésima equação é Da Figura 2.9 tem-se: Para falta sólida, Zf = 0 e Vk(F) = 0, assim, Eq Eq Eq Eq Portanto, para uma falta na barra k, é necessário conhecer o elemento Zkk. Esse elemento é a impedância equivalente de Thévenin vista pela barra em falta. A i-ésima eq é Substituindo Ik(F) Eq Eq As correntes pós-falta (positivo na direção i-j) em todas as linhas podem ser calculadas com base nas tensões de barra pós-falta. Eq A matriz Zbus pode ser obtida por meio da inversão de Ybus (não é factível para sistemas de grande porte). Outro meio é montagem direta de Zbus. Exemplo 2.2 Calcule a corrente de falta no ponto de falta, as tensões pós-falta e as correntes nas linhas para um curto-circuito trifásico com Zf = j0,16 pu na barra 3 do sistema da Figura 2.1.

11 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Note que os elementos da diagonal principal são os equivalentes de Thévenin encontrados no exemplo 2.1. Com a vantagem de evitar a redução de rede para cada local da falta. A corrente de falta no ponto de falta pode ser calculada por meio da equação Figura 2.10 Diagrama de admitância do sistema da Figura 2.2(b). As tensões pós-falta são calculadas por meio da equação As correntes de curto-circuito que fluem pelas linhas são calculadas por meio da equação 2.5 Algoritmo para formação da matriz Zbus Utiliza a teoria do grafo Grafo: o grafo de uma rede descreve a estrutura geométrica da rede elétrica. Consiste em redesenhar a rede, onde a linha (aresta) representa cada elemento de rede. O grafo da Figura 2.2(a)

12 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior antes da falta é mostrado na Figura 2.11(a). As barras são representadas por nós ou vértices e impedâncias por segmentos de linhas chamadas elementos ou aresta. Árvore: é um subgrafo que conecta todos os nós sem formar um laço. Os elementos de uma árvore são chamados de ramos. Um grafo contém múltiplas árvores. O número de ramos b de uma árvore é Eq onde n é o número de nós incluindo o de referência 0. Uma vez definida a árvore do grafo, os elementos restantes são os links. A linha cheia da Figura 2.11(b) define a árvore. Co-árvore: é um conjunto de links. Se e é o número total de elementos do grafo, então o número de co-árvore é A linha tracejada da Figura 2.11(b) define a co-árvore. Eq Figura 2.11 Grafo, árvore e co-árvore do sistema da Figura 2.2(b). A Zbus pode ser montada inserindo um elemento de cada vez. Considere que Zbus de dimensão m existe para parte do sistema, incluindo a barra de referência 0, como mostrado em Figura Parte do sistema elétrico. A equação que corresponde a esse sistema é Eq Para um sistema de n barras, m barras estão incluidas no sistema parcial, e Zbus é de ordem mxm. Pode-se agora adicionar um elemento de cada vez, sendo este ramo ou link, conforme segue: ADIÇÃO DE UM RAMO:

13 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Quando o elemento adicionado é um ramo, uma nova barra é adicionada ao sistema elétrico parcial, adicionado-se uma linha e uma coluna, e a ordem do sistema fica (m+1)x(m+1). Considere que zpq é adicionado, conforme mostra a Figura A equação de rede fica, Figura Adição de um ramo pq. Eq A adição de um ramo não afeta a matriz original, mas requer o calculo dos elementos p e q. Sendo Zqi = Ziq, para q = 1,...,m. Calculo dos elementos Zqi para i = 1,...,m sendo i q (com exceção do elemento da diagonal). Para calcular esses elementos, faça Ii = 1 pu e mantenha as outras barras em circuito aberto (Ik = 0, k = 1,...,m, para k i. Da equação 2.29 tem-se, Da Figura 2.13(a) onde vpq é a queda de tensão do ramo adicionado Eq Eq fica Eq Como o elemento adicionado é um ramo, ipq = 0, e portanto, vpq = 0, logo a equação 2.31

14 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Eq Para calcular o elemento Zqq, injeta-se um corente de 1 pu na barra q, Iq = 1 pu, e mantem as outras barras em circuito aberto. De 2.29, tem-se, Eq Como na q-ésima barra, a corrente injetada flui de q para p, ipq = -Iq = -1. Portanto, a eq fica, Substituindo vpq na equação 2.31 Eq Da eq. 2.20, i =q, Vq = Zqq e Vp = Zpq, logo a eq fica Se o nó p é o de referencia, como mostra a Figura 2.13 (b), Vp = 0 e tem-se, Da eq. 2.37, o elemento da diagonal é ADIÇÃO DE UM LINK: Eq Eq Eq Eq Quando o elemento a ser adicionado for um link de uma co-árvore, entre as barras p e q, então nenhuma nova barra é criada. A dimensão de Zbus fica a mesma. Vamos adicionar um link zpq como mostra a Figura 2.14(a) Figura Adição do link pq. Se Il é a corrente através do link, com o sentido indicado na figura, tem-se, ou Eq Eq. 2.41

15 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior O link adicionado modifica a antiga corrente Ip para (Ip - Il) e a antiga corrente Iq para (Iq+Il), como mostra a Figura 2.14(a), e a equação de rede fica, Substituindo Vp e Vq da eq em 2.41, tem-se Eq Adicionando a eq em 2.42, tem-se m+1 equações Eq onde Eq Eq e Eq Agora a corrente Il do link pode ser eliminada. A eq pode ser rescrita na forma compacta onde Expandindo 2.47 tem-se, e ou Eq Eq Eq Eq Substituindo 2.51 por Il na eq. 2.49, tem-se Eq. 2.51

16 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior ou onde Eq Eq Eq Note que a eq reduz a matriz ao seu tamanho original. Isto, pois não se está adicionando uma nova barra, apenas ligando duas barras pré-existentes. A Zbus pode ser construída adicionando-se ramos ou link em qualquer sequencia. Porém, é melhor selecionar a árvore que contém os elementos ligados á referência. Se mais de um elemento está conectado entre o nó e a referência, somente um deve ser selecionado como ramo, sendo que o outro faz parte da co-árvore. O procedimento passo a passo é descrito a seguir: Regra 1: adição de um ramo da árvore à referência Inicie com os ramos conectados à referência. A adição de um ramo zq0 entre um novo nó q e a refência 0 da Zbusold de ordem (mxm) resulta em uma nova matriz Zbusnew de ordem (m+1)x(m+1). Com os resultados da eq e 2.39, tem-se Essa matriz é diagonal e contém os valores das impedâncias reais dos ramos. Eq Regra 2: adição de um ramo da árvore de uma barra nova para uma velha Conecte os ramos situados entre um nó novo e um já existente. A adição de zpq entre o nó novo q e o nó existente p a uma Z old bus de ordem (mxm) resulta em uma Z new bus de ordem (m+1)x(m+1). Com base nos resultados das eq e 2.37 tem-se, Eq Regra 3: adição de um link de uma co-árvore entre duas barras existentes A adição de um link zpq entre dois nós existentes implica em aumentar em uma coluna e uma linha a Zbusold. Das eq e 2.45 tem-se:

17 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior onde A nova linha e coluna é eliminada por meio da eq. 2.54, a qual é repetida aqui Eq Eq e Z é definido como, Eq Eq Quando a barra q for a de referência, Zqi = Ziq = 0 (para i = 1,m), e a eq reduz para onde Zll = zpq + Zpp, e Eq Eq O algoritmo de construção da Zbus, onde um elemento de rede é adicionado por vez, pode ser utilizado para remover linhas ou geradores (equipamentos de rede) do sistema. O procedimento é o mesmo, com exceção de que o elemento a ser removido possui impedância negativa, de modo a cancelar o seu efeito.

18 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Exemplo 2.3 Construa a Zbus do sistema mostrado na Figura 2.15(a). Figura Diagrama de impedância do exemplo 2.1 e a árvore representativa. Os elementos conectados à referência são incluídos na árvore conforme mostra a Figura 2.15(b). Adicionar ramos ligados á referência: Adicionar o ramo 1, z10 = j0,2 (q = 1, referência = 0) De acordo com a regra 1, Adicionar o ramo 2, z20 = j0,4 (q = 2, referência = 0) De acordo com a regra 2, adicionar o ramo 3, z13 = j0,4 (q = 3, p = 1) De acordo com a regra 3, adicionar o link 4, z12 = j0,8 (q = 2, p = 1) Da Eq. 2.57, Da eq. 2.58,

19 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Da eq. 2.59, a nova Zbus é Finalmente, adiciona-se o link 5, z23 = j0,4 (q = 3, p = 2). Da eq. 2.57, Da eq. 2.58, e Da eq. 2.59, tem-se, Essa é a mesma matriz obtida no exemplo 2.2, por inversão da Ybus. Exemplo 2.4

20 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Determine a nova Zbus do sistema da Figura 2.16, supondo que a linha de transmissão 1-3 seja removida. Figura Diagrama de impedância do exemplo 2.3. A remoção do elemento 1-3 equivale a conectar um link com Z = -j0,56 entre o nó q =3 e o nó p=1. Da eq tem-se De onde se tem, Da eq e A nova Zbus é obtida a partir da eq

21 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Programa Zbuild e Symfault Exemplo 2.5 Uitilize zbus para montar a matriz do exemplo 2.3 Exemplo 2.6 Uma falta trifásica com Zf = j0,16pu ocorre na barra 3 do sistema do exemplo 2.1. Utilize a função symfault para calcular as correntes e tensões de falta. Exemplo 2.7 Simule uma falta franca na barra 8 do sistema 11 barras mostrado na Figura Desconsidere a influência dos capacitores shunt e cargas Assim, ver CHP9EX7.M Figura Diagrama de impedância do exemplo 2.3. Exemplo 2.8 Simule uma falta franca na barra 8 do sistema 11 barras mostrado na Considere a influência dos capacitores shunt e despreze as cargas. Assim, ver CHP9EX8.M Exemplo 2.9

22 UFSM Prof. Ghendy Cardoso Junior Simule uma falta franca na barra 8 do sistema 11 barras mostrado na Considere a influência dos capacitores shunt e das cargas. Assim, ver CHP9EX9.M

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