PESQUISA OPERACIONAL: UMA ABORDAGEM À PROGRAMAÇÃO LINEAR. Rodolfo Cavalcante Pinheiro 1,3 Cleber Giugioli Carrasco 2,3 *

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1 PESQUISA OPERACIONAL: UMA ABORDAGEM À PROGRAMAÇÃO LINEAR 1 Graduando Rodolfo Cavalcante Pinheiro 1,3 Cleber Giugioli Carrasco 2,3 * 2 Pesquisador - Orientador 3 Curso de Matemática, Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, UEG * RESUMO: Neste trabalho, faz-se uma introdução à pesquisa operacional com uma abordagem a programação linear. É apresentado um exemplo real de problema de PO numa micro-cervejaria, a sua modelagem matemática numa planilha eletrônica e, a resolução deste problema através do método Simplex, utilizando a ferramenta Solver do MS-Excel Palavras-Chave: Método Simplex, Pesquisa Operacional, Programação Linear. 1.INTRODUÇÃO A pesquisa operacional (PO) é um método científico voltado para a resolução de problemas reais tendo como foco à tomada de decisões. Ela teria surgido durante a 2ª Guerra Mundial, quando os ingleses se viram na necessidade de resolver problemas de estratégia em guerra. Essa equipe foi altamente eficiente, o que gerou um alto interesse de outros países em investirem nessa nova área do conhecimento e conseqüentemente propagarem esse novo método, como foi o caso da Grã-Bretanha, Canadá e do Estados Unidos. A PO está inserida hoje em setores informatizados das mais variadas empresas, auxiliando na modelagem e resolução de problemas, como por exemplo, no planejamento de produção, na logística, em cadeias de suprimentos, entre outras aplicações. Em todos esses casos, é necessário que informações sejam processadas adequadamente para tomada rápida de decisões. O imenso avanço da Pesquisa Operacional se deve também, em grande parte, ao desenvolvimento de computadores digitais, em face de sua velocidade de processamento e recuperação de informações. (RASQUIN, 2005, Pág. 02).

2 2 Os problemas de PO são modelados na forma de uma função objetivo (finalidade do estudo), que em geral é a função a ser maximizada ou minimizada e, de uma ou mais restrições (limitantes). Uma das técnicas mais utilizadas para resolver problemas em PO é a programação linear (PL). A PL é uma técnica que trata de usar modelos para descrever um problema onde tanto as restrições do problema quanto a própria função objetivo também são lineares. Ela é utilizada para otimizar uma função linear de várias variáveis (função objetivo). A construção de um modelo matemático auxilia a compreensão das complexidades e possíveis incertezas que acompanham um problema de tomada de decisão, dentro de uma estrutura lógica passível de uma análise abrangente (GEHLEN, A.L., 1998, pág. 11). Neste trabalho, apresentamos as principais etapas na resolução de um problema de PO e, com o auxílio da PL, resolvemos um exemplo real de uma micro-cervejaria, através do uso do algoritmo Simplex implementado no software MS-Excel MATERIAL E MÉTODOS Os problemas de PO normalmente para serem resolvidos, passam por algumas etapas (RASQUIN, D.R., pág. 12, adaptado), como apresentado na Figura 1 abaixo: FIGURA 1: Fases da Pesquisa Operacional. Definição do problema: se resume em descobrir os objetivos a serem alcançados, reconhecendo, é claro, as restrições do mesmo. Construção do modelo: o modelo consiste em um conjunto de equações e inequações sendo a equação a função objetivo e as inequações as restrições do modelo. Solução do modelo: utiliza-se métodos matemáticos e, em geral, algoritmos implementados computacionalmente.

3 3 Validação do modelo: será analisado o resultado, verificando se forneceu uma precisão aceitável do comportamento do sistema. Implementação da solução: é uma situação que altera a já existente, portanto deve ser feita juntamente com uma equipe especializada. Avaliação Final: após a implementação verifica-se na prática se o objetivo esperado foi alcançado. Consideremos o exemplo adaptado de Pádua (2004), para podermos assim visualizar as fases de resolução de um problema de PO. Neste exemplo, a empresa ADT BIER, Sauber Cervejaria Ltda, pretende saber se é interessante produzir novos tipos de cervejas e, o quanto deve produzir de cada uma, a fim de obter um custo mínimo, ou seja, essa é a definição do problema da empresa. Através de pesquisas e levantamento de dados da empresa, chegou-se a conclusão que ela tem a capacidade máxima de produção para litros/mês. Sabe-se também que ela pode produzir 9 tipos de cerveja: Pilsen não filtrada, Pilsen, Escura, Albiers, Brow Ale, Stout, Light Ale, Weinzenbiers e a Pale Al, e que o custo de produção para cada litro de cerveja é de: R$ 0,64; R$ 0,72; R$ 0,68; R$ 0,82; R$ 0,93; R$ 0,96; R$ 0,95; R$ 1,02 e R$ 1,16 respectivamente. Distribuiu-se as cervejas em 3 grupos, o grupo 1 é composto pelas cervejas que já estão em produção e detém cerca de 65% do mercado, o grupo 2 pelas cervejas com características de verão, cuja produção é responsável por 25% do mercado e, por último o grupo 3 composto pelas cervejas de inverno, que ficam com 10% da produção total. Assim temos: GRUPO 1: X 1 (Pilsen não filtrada), X 2 (Pilsen). GRUPO 2: X 3 (Escura), X 5 (Altbiers), X 7 (Brow ale), X 9 (Stout). GRUPO 3: X 4 (Light Ale), X 6 (Weinzenbiers), X 8 (Pale Ale). A empresa tem uma estimativa para o consumo das cervejas já produzidas por ela, ou seja, quando se vende 1 litro de Pilsen não filtrada, também se vende 5 litros da filtrada. E ainda, quando se vende 1 litro de Pilsen filtrada, também se vende 5 litros da Escura. Desta forma, com os dados levantados, busca-se construir um modelo para resolução do problema, ou seja, determinar o custo mínimo de produção utilizando o máximo dos recursos possíveis. Assim, necessita-se construir um modelo matemático que minimize os

4 4 custos de produção sujeito as restrições de capacidade máxima de produção, de mercado dos grupos e de consumo. Portanto, podemos representar esse modelo na forma padrão de PF, dado por: MIN Z = 0.64X X X X X X X X X 9 sujeito às restrições: Capacidade máxima: X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 = Mercado do grupo 1: X 1 + X 2 = 0.65(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 ) Mercado do grupo 2: X 3 + X 5 + X 7 + X 9 = 0.25(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 ) Mercado do grupo 3: X 4 + X 6 + X 8 = 0.10(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 ) Consumo Pilsen não filtrada Vs Filtrada: X 2 = 5X 1 Consumo Pilsen filtrada Vs Escura: X 2 = 3X 3 Não negatividade: X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6, X 7, X 8, X 9 0 Para resolvermos este problema de PL, uma solução é utilizar o método Simplex, um algoritmo construído para obter solução algebricamente e, que vem sendo o mais utilizado para resolver problemas de PL. Podemos encontrar esse algoritmo implementado na ferramenta Solver encontrada no software MS-Excel Após a resolução do problema, o modelo será avaliado, isto é, se o resultado encontrado não fornecer uma precisão aceitável, o mesmo deverá ser revisto ou até mesmo abandonado. Por fim, se o modelo for aceitável, a sua implementação será apresentada aos administradores da empresa e a avaliação final mostrará na prática se o problema inicial foi resolvido. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Para a resolução do problema adaptado de Pádua (2004), construímos o modelo com suas restrições numa planilha eletrônica do MS-Excel, e utilizando a ferramenta Solver, encontramos a solução ótima desse problema de PL. A Figura 2, apresenta a formulação do modelo na planilha do Excel, e a solução dada pelo Solver. Observe que o custo mínimo para a produção é de R$ ,61, entretanto para isto, a empresa deve produzir mensalmente 3.683

5 5 de Pilsen não filtrada, de Pilsen filtrada, de Escura, de Ligth Ale, de Altbiers e ainda, não produzir as cervejas Weinzembiers, Brow Ale, Pale Ale e Stout. "ADT BIER" - SAUBER CERVEJARIA LTDA Função Coeficiente da Variável Objetivo X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0,64 0,72 0,68 0,82 0,93 0,96 0,95 1,02 1,16 Produção Resultado R$ ,61 Restrições Coeficiente da Variável Constantes Nº X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 LHS RHS ,35 0,35-0,65-0,65-0,65-0,65-0,65-0,65-0,65-9,1E ,25-0,25 0,75-0,25 0,75-0,25 0,75-0,25 0,75 2,3E ,1-0,1-0,1 0,9-0,1 0,9-0,1 0,9-0,1-8,2E ,0E ,6E-12 0 FIGURA 2: Visualização no Excel. Portanto, verifica-se que para o custo mínimo da produção produzindo o máximo possível, implica na não produção de 4 tipos de cerveja. Logo de acordo com a solução encontrada pela PL através do método Simplex, é vantajoso para a empresa produzir apenas as cervejas do grupo 1, a Escura e a Altbiers do grupo 2 e somente a Ligth Ale do grupo 3. Além da resolução do problema de PL, o Solver dispõe de um relatório conhecido como relatório de sensibilidade. Este relatório apresentado na Figura 3, nos mostra que além das cervejas Weinzembiers, Brow Ale, Pale Ale e Stout não serem incluídas no processo de produção, suas eventuais produção de uma unidade acarretaria num acréscimo (custo reduzido) de R$ 0,14, R$ 0,02, R$ 0,20 e R$ 0,23 respectivamente, no custo da empresa. Figura 3: Relatório de sensibilidade do Solver.

6 6 Com relação ao comportamento das restrições, percebe-se que cinco restrições foram atuantes no problema, o que pode ser verificado pelo fato dos preços sombras serem não nulos. Por exemplo, substituindo-se a solução ótima obtida nessas restrições da capacidade máxima, observa-se que os litros disponíveis são efetivamente utilizados, sendo que na eventualidade de se obter um litro adicional, o valor da função objetivo (custo) é aumentado em R$ 0,72. A variação do RHS é, portanto diretamente proporcional ao valor do preçosombra, porém essa proporcionalidade deverá respeitar alguns limites que serão estabelecidos de acordo com os valores do acréscimo permissível e do decréscimo permissível. Por exemplo, para o caso da última restrição, enquanto seu RHS observar um acréscimo de ,66 unidades e um decréscimo de até 7083,33 unidades, a variação correspondente no valor da função objetivo continuará a ser diretamente proporcional ao valor do preço-sombra. 4. CONCLUSÃO A Pesquisa Operacional vem sendo muito utilizada atualmente, pois os administradores a cada dia, se vêm a todo o momento, na necessidade de tomar decisões. Com a utilização de programação linear, os problemas de PO podem ser resolvidos, em geral facilmente com a ajuda de softwares, entre eles, destacamos o MS-Excel 2003, que possui a ferramenta Solver, que através do algoritmo Simplex, calcula a solução ótima para um problema de PL e, apresenta o relatório de sensibilidade, onde é possível avaliar quão sensível é a solução ótima a mudanças nos vários coeficientes do modelo. Neste trabalho, vimos a necessidade de formularmos um modelo matemático na resolução de um problema de minimização de custo numa micro-cervejaria, com a utilização das técnicas de PO juntamente com a PL, permitiu identificar a solução ótima de acordo com as variáveis consideradas no modelo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Gehlen, A.L. Pesquisa Operacional p. 2. Rasquin, D.R. Pesquisa Operacional p. 3. José Pádua, R.P. A utilização da Programação Linear em uma Microcervejaria. Universidade Federal de Itajubá Departamento de Produção Disponível em:

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