Quinta-feira, 14 de março. Introdução aos Fluxos de Rede Handouts: Notas de Aula

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1 Quinta-feira, 14 de março Introdução aos Fluxos de Rede Handouts: Notas de Aula 1

2 Modelos de Rede Modelos de programação linear que exibem uma estrutura muito especial. Podem utilizar essa estrutura para reduzir significativamente a complexidade dos cálculos. As primeiras aplicações de PL amplamente utilizadas em problemas de logística industrial. Utilizados em um grande número de aplicações. 2

3 Notação e Terminologia Observação: A terminologia das redes não é (e nunca será) padronizada. O mesmo conceito pode ser aplicado de modos diferentes. Termo: REDE Grafo direcionado Dígrafo Grafo Handouts de Aula (Ahuja, Magnanti, Orlin) Rede G = (N, A) Conjunto de nós N = {1, 2, 3, 4} Conjunto de arcos {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 4), (2, 4)} Também Utilizado Grafo G = (V, E) Conjunto de vértices V = {1, 2, 3, 4} Conjunto de bordas: A = {1-2, 1-3, 3-2, 3-4, 2-4} 3

4 Redes Direcionadas e Nãodirecionadas Um grafo não-direcionado Um grafo direcionado As redes são utilizadas no transporte de produtos. Bens físicos (objetos, líquidos) Comunicação Eletricidade, etc. O campo da otimização de redes trata de problemas de otimização em redes. 4

5 Uma Visão Geral de Algumas Aplicações da Otimização de Redes Aplicações Equivalentes físicos Equivalentes físicos Fluxo dos nós dos arcos Sistemas de Centrais telefônicas, Cabos, enlaces de Transmissões de comunicação computadores, fibra óptica, enlaces de mensagens de voz, instalações de relés de microondas dados e vídeo transmissão, satélites Sistemas hidráulicos Estações de bombeamento, Tubulações Água, gás, óleo, fluidos hidráulicos reservatórios, lagos Circuitos integrados Portas, registradores, Fios Corrente elétrica processadores Sistemas mecânicos Juntas Hastes, vigas, molas Calor, energia Sistemas de transporte Rodovias, rotas aéreas, ferrovias Interseções, aeroportos, pátios ferroviários Passageiros, carga, veículos, operadores 5

6 Exemplos de termos Percurso: Exemplo: 5, 2, 3, 4 (ou 5, c, 2, b, 3, e, 4) Note que o sentido é ignorado. Percurso direcionado: Exemplo: 1, 2, 3, 4 (ou 1, a, 2, b, 3, e) O sentido é importante. Dois percursos a-b-e (ou ) e a-c-d-e (ou ) Ciclo ou circuito (ou loop) 1, 2, 3, 1 (ou 1, a, 2, b, 3, e) Note que o sentido é ignorado. Ciclo direcionado: (1, 2, 3, 4, 1) ou 1, a, 2, b, 3, c, 4, d, 1 O sentido é importante. Ciclos (loops): a-b-c-d (ou ) b-a-d-c (ou ) e-b-a (ou ) c-d-e (ou ) 6

7 Mais Definições Uma rede está conectada se cada nó pode ser alcançado a partir de qualquer nó, seguindo-se uma seqüência de arcos na qual o sentido é ignorado. Uma árvore geradora é um subconjunto conectado de uma rede incluindo todos os nós, mas sem nenhum loop. 7

8 O Problema do Fluxo de Custos Mínimos Rede G = (N, A) - Conjunto de nós N, conjunto de arcos A - Capacidades u ij no arco (i, j) - Custo c ij no arco (i, j) - Suprimento/demanda b i para o nó i (O sinal positivo indica suprimento) Uma rede com custos, capacidades, suprimentos e demandas Minimize o custo da aplicação do fluxo Fluxo para fora de i Fluxo para dentro de i = b i Fluxo no arco (i, j) u ij 8

9 O Problema do Fluxo de Custos Mínimos Considere x ij o fluxo no arco (i, j). Minimize o custo da aplicação do fluxo Fluxo para fora de i Fluxo para dentro de i = b i Minimize para todo i para todo i-j) 9

10 Exemplo de Formulação 10

11 Uma Aplicação do Problema do Fluxo de Custos Mínimos Fábricas Suprimentos 200 Depósitos Clientes Demandas Expedir dos fornecedores aos clientes, possivelmente por meio dos depósitos, ao custo mínimo para atender à demanda. 11

12 Fatos Importantes sobre o Problema do Fluxo de Custos Mínimos Suponha que as seguintes propriedades da matriz de restrições A (ignorando os limites simples de variável superior e inferior, como x 7) estabeleçam que: (1) todos os itens de A são 0, 1 ou 1. (2) existe no máximo um 1 em qualquer coluna e no máximo um 1. Então, este é um problema do fluxo de custos mínimos. 12

13 Fatos Importantes (continuação) Teorema. Se o algoritmo simplex for utilizado no problema do fluxo de custos mínimos com RHS e capacidades de valor inteiro, em cada iteração do algoritmo simplex, cada coeficiente no quadro (exceto pelos custos e o RHS) será igual a 0, -1 ou 1. Colorário. A solução ótima do PL é um valor inteiro. 13

14 O Problema do Fluxo de Custos Mínimos Rede G = (N, A) Conjunto de nós N, conjunto de arcos A Capacidades u ij no arco (i, j) Custo c ij no arco (i, j) Suprimento/demanda b i para o nó i (O sinal positivo indica suprimento) Uma rede com custos, capacidades, suprimentos e demandas Minimize o custo da aplicação do fluxo Fluxo para fora de i Fluxo para dentro de i = b i Fluxo no arco (i, j) u ij 14

15 O Problema do Transporte Suponha que seja necessário expedir a partir dos depósitos aos varejistas. Neste exemplo 3 depósitos 4 varejistas a i é o suprimento no depósito i. b j é a demanda no varejista j. c ij é o custo da expedição de i a j. Não existem capacidades nos arcos. x ij é a quantidade de fluxo expedida do depósito i ao varejista j. Como formulamos um PL? 15

16 O Problema do Transporte é um Problema do Fluxo de Custos Mínimos Minimize o custo da aplicação do fluxo Fluxo para fora de i Fluxo para dentro de i = b i O fluxo para fora ocorre nos nós de suprimento O fluxo para dentro ocorre nos nós de demanda As capacidades são infinitas: u ij = 16

17 O Problema do Transporte Em geral, a formulação do LP é a seguinte: Minimize Todos os arcos são de um nó em S para um nó em D e sem capacidades. S: Nós de suprimento D: Nós de demanda 17

18 Fatos Importantes sobre o Problema do Transporte Suponha que: (1) A matriz de restrições pode ser particionada em A 1 x = b 1 e A 2 x = b 2 (2) Todos os itens de A 1 e A 2 são 0 ou 1. (3) Existe no máximo um 1 em qualquer coluna de A 1 ou A 2 Então, este é um problema do transporte. Teorema. Se o algoritmo simplex for utilizado no problema do transporte em cada iteração do algoritmo, cada coeficiente no quadro (exceto pelos custos e o RHS) será igual a 0, -1 ou 1. Os custos e o RHS serão valores inteiros. Colorário. A solução ideal do PL é um valor inteiro. 18

19 O Problema da Atribuição Suponha que seja necessário atribuir tarefas a pessoas Tarefas Pessoas Neste exemplo 4 tarefas 3 pessoas Não devem ser atribuídas duas tarefas à mesma pessoa. A cada pessoa é atribuída somente uma tarefa. c ij é o custo da atribuição da tarefa i à pessoa j. x ij = 1, se a tarefa i é atribuída a j. Caso contrário, x ij = 0. Como formulamos um PL? 19

20 O Problema da Atribuição Em geral, a formulação do LP é a seguinte: Minimize Cada suprimento é 1 Cada demanda é 1 20

21 Mais sobre o Problema da Atribuição Tarefas Pessoas O problema da atribuição é um caso especial do problema do transporte. O algoritmo simplex pode solucionar a relaxação do PL e fornecer soluções inteiras, isto é, soluciona o problema da atribuição. 21

22 Uma Aplicação do Problema da Atribuição Suponha que existam alvos móveis no espaço. Você pode identificar cada alvo como um pixel em uma tela de radar. Após observar duas telas sucessivas, determine como os alvos se movem. 22

23 O Problema do Fluxo Máximo Rede G = (N, A) Fonte s e ponto de convergência t Capacidades u ij no arco (i, j) Variável: Fluxo x ij no arco (i, j) Grafo com capacidades Maximize o fluxo que sai de s Fluxo para fora de i Fluxo para dentro de i = 0 para i s, t 23

24 O Problema do Fluxo Máximo Em geral, a formulação do PL é a seguinte: Maximize de outro modo O PL não é formulado como um caso especial de uma formulação do fluxo de custos mínimos. Podemos reformular desse modo? 24

25 Mais sobre o problema do fluxo máximo O fluxo atual é ideal? Um corte s-t é uma separação dos nós em duas partes, S e T, com s em S e t em T. Grafo com capacidades e fluxos (sublinhados) A capacidade do corte é a soma das capacidades de S a T. O fluxo máximo de s a t é, no máximo, a capacidade de qualquer corte s-t. 25

26 O Problema do Caminho Mais Curto Qual é o caminho mais curto entre um nó de origem ou fonte (muitas vezes denotado como s) e um nó de destino ou convergência (muitas vezes denotado como t)? Qual é o caminho mais curto do nó 1 ao nó 6? Suposições atuais: 1. Existe um caminho do nó s a todos os outros nós. 2. Todos os comprimentos de arco são positivos ou nulos. 26

27 Aplicações Diretas Qual é o caminho com o menor tempo de viagem entre a 77 Massachusetts Avenue e o Boston City Hall? Qual é o caminho entre os edifícios 7 e E40, o qual minimiza o tempo gasto no lado de fora? Qual é o percurso de comunicação mais rápido entre i e j (considerando-se o congestionamento nos nós)? 27

28 Formulação como um programa linear Em geral, a formulação do LP é a seguinte: Minimize de outro modo 28

29 O Problema do Caminho Mais Curto Fato: O problema do caminho mais curto é um caso especial do problema do fluxo de custos mínimos. Muitas aplicações interessantes (em breve) Algoritmo extremamente rápido (em breve) Vínculo com a programação dinâmica (daqui a muitas aulas) 29

30 Conclusões As vantagens dos problemas do transporte e do fluxo de custos mínimos Soluções inteiras Métodos de solução extremamente rápidos Métodos comuns em modelagem Hoje, vimos o seguinte: O problema do fluxo de custos mínimos O problema do transporte O problema da atribuição O problema do fluxo máximo O problema do caminho mais curto 30

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