Problemas de transportes

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1 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Problemas de transportes Problema de transportes aso particular de programação linear Permite uma solução particular mais simples que o caso geral de PL Embora se chame problema de transportes, aplica-se em muitos outros casos

2 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 plicações de problemas de transporte Fornecimento de água Distribuição de energia eléctrica Dimensionamento de redes de telecomunicações conselhar/prever escoamento de tráfego Formulação geral (em rede) Min custo Origens Destinos Produtor (supplier) s onsumidor (demand) d Produtor s onsumidor d X ij Produtor s m m n onsumidor d n ustos c ij

3 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Exemplo: P&T Ervilhas enlatadas Produz ervilhas enlatadas em três fábricas ellingham, W, Eugene, OR, and lbert Lea, MN Envia em camiões a produção para quatro armazéns Sacramento,, Salt Lake ity, UT, Rapid ity, SD, and lbuquerque, NM Pode-se estimar as capacidades de produção, as necessidades para os armazéns, e os custos dos transportes Quere-se minimizar os custos em transportar as latas! P&T Ervilhas enlatadas

4 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Dados do problema Quantidades produzidas nas fábricas Quantidades necessárias nos armazéns Matriz de custo dos transportes rmazem fabrica 3 Procura (camiões) $ 464 $ 35 $ 5 8 $ 5 $ $ $ 654 $ 6 $ $ 867 $ 7 $ oferta (camiões) Formulação como rede Produtores onsumidores (ellingham) 75 (Eugene) 5 (lbert Lea) Origens 464 S S S Destinos D D D 3 D 4 8 (Sacramento) 65 (Salt Lake ity) 7 (Rapid ity) 85 (lbuquerque) 4

5 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Formulação como PL Variáveis de controlo: quantidade x ij transportada entre a fábrica i e o armazém j Em cada fábrica i : x i + x i + x i3 +. = s i Em cada armazém j : x j + x j + x 3j +. = d i usto a minimizar Z = c x + c x + c x + +c ij x ij capacidade de i procura de j Formulação como PL Minimizar = $464x + $5x + $654x + $867x 4 + $35x + $4x + $6x 3 + $7x 4 + $5x 3 + $68x 3 + $388x 33 + $685x 34 Sugeito a x +x +x +x 4 = 75 x +x +x 3 +x 4 = 5 x 3 +x 3 +x 33 +x 34 = x + x + x 3 = 8 x +x +x 3 = 65 x +x 3 +x 33 = 7 x 4 +x 4 +x 34 = 85 5

6 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 aracterísticas do PT Forma da matriz simplex Temos muitos, e alguns (matriz binária) ij só aparecem na função a minimizar Todas as restrições são IGULDDES Muitas variáveis de decisão (n x m) forma característica Forma balanceada: m i = n s i = d j = j Ideia geral do método dos transportes Não vamos ter necessidade de usar M e variáveis artificiais Vamos usar outras variáveis auxiliares, mas que são em menor número que as tradicionais Vamos construir um novo tipo de tabela Tabela do Problema de transportes passos: Obter solução inicial Iterar o passo de optimização até ter a solução óptima 6

7 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Ideia geral do método dos transportes Obtenção de solução inicial Verifica o critério rio de optimalidade? Não Escolher a variável vel de entrada e saída, e ajustar a tabela Sim FIM!!! a solução é óptima Tabela do método dos transportes Origens Destinos n c c c n s c c c n s m c m c m c mn s m Procura d d Z = d n 7

8 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 ada quadrícula da tabela Se x ij for variável básica ( ) Se x ij for não-básica (=) Variáveis auxiliares U i e Vj orrespondem às variáveis duais alculadas a partir dos coeficientes das variáveis básicas: ij - - = + = ij rbitra-se que u =, ou = na linha onde houver mais variáveis básicas ij ij xij ij - - Determinação de uma solução inicial Método do canto noroeste Mais simples e fácil de entender solução inicial pode ser longe de óptima Método dos mínimos custos Mais complexo, mas melhor solução inicial Método de Vogel Geralmente consegue uma solução inicial melhor 8

9 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método no canto noroeste No canto noroeste, escolher o maior valor possível: min(s,d ) Se se escolheu s, então escolher a linha seguinte para anular d (senão escolher a coluna seguinte para anular s ) Repetir até todos os s e d serem cumpridos Exemplo: Método de menor custo Escolher para primeira variável a maximizar, aquela que tiver menor ij Proceder como para o canto noroeste, mas escolher sempre como variável seguinte a que tiver menor ij É uma aproximação gulosa

10 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método de Vogel Ideia base Não interessa o que tem custo menor, mas sim aquele que fôr mais penalizado se não escolher o custo menor alcular para cada linha e coluna a diferença entre os dois menores, ou penalização Na linha ou coluna onde ocorrer a maior o penalização escolher a célula que tiver o menor valor Entrada e saída de variáveis Variável que entra Seleccionar a variável com menor (negativo com maior valor absoluto) c ij (ou c ij ) Variável que sai Determinar a reacção cadeia que resulta da entrada da variável variável que sai será a primeira a chegar a por causa dessa reacção O valor da nova variável base será igual a esse valor

11 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Reacção em cadeia Para uma variável aumentar, outra vai ter que diminuir omo os coeficientes são todos (ou ), os aumentos são directamente proporcionais às descidas Um aumento de uma variável leva a um decréscimo na mesma coluna que leva a um aumento nessa linha que leva a um decréscimo. É necessário recalcular os x ij, os, e os Exemplo: Exemplo simples usto por carga de camião rmazéns Fábricas Procura

12 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Reduzir à forma balanceada O que fazer se a procura não fôr igual à oferta? Introduzir consumidor onsome o excesso de produção orresponde a produtos que não saem da fábrica usto do transporte = Introduzir produtor Produz o que falta orresponde a produtos que não chegam ao armazém usto do transporte = Outros problemas Percursos impossíveis tribuir custos arbirariamente grandes (M) Empates Podem ser resolvidos de forma arbitrária, pois não afectam a qualidade da solução final

13 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Exemplo mais complexo Distribuição de ipods para a época natalícia Produção em três fábricas : k unidades : 35k unidades : 5k unidades Procura em 4 centros mundias de distrinuição: N: k unidades S: 4k unidades E: 3k unidades W: 5k unidades Total de oferta vs. procura Produzem-se 7 mil unidades, são necessárias 7 mil Solução onsideramos uma fábrica que produz mil. Quem recebe os s não recebe nada! ustos e tabela de transporte Procura Z =

14 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Escolha pelo noroeste Origem N S E W Procura Z = Solução inicial (pelo noroeste ) Origem Procura N S E W Z = v Z= + j

15 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método de Vogel () Procura Z = Método de Vogel () Procura Z = 5

16 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método de Vogel (3) Procura Z = Método de Vogel (4) Procura Z =

17 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método de Vogel (5) Procura Z = Método de Vogel (6) Procura Z = 7

18 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Teste de optimalidade Temos que calcular os e Temos que calcular os c para as variáveis não-básicas Teste de optimalidade () Procura

19 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Teste de optimalidade () Procura Teste de optimalidade (3) Procura

20 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Vamos iterar! Escolher variável que entra Encontrar o ciclo crítico lterar a tabela Testar optimalidade Iteração Origem N 6 S E 4 7 W ? Procura

21 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Fim da iteração Origem N 6 S E 4 7 W Procura Z=8 Teste de optimalidade Procura

22 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Iteração Origem N 6 S E 4 7 W ? Procura Fimdaiteração Origem N 6 S E 4 7 W Procura Z=

23 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Teste de optimalidade Procura Iteração 3 Origem N 6 S E 4 7 W Procura 4?

24 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Fimdaiteração3 Origem N 6 S E 4 7 W Procura Z= Teste de optimalidade Procura Z= 4

25 V., V.Lobo, EN / ISEGI, 8 Solução óptima Origens Destinos = = 35 = N Procura = S Procura = 4 E Procura = 3 W Procura = 5 5